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第三章 章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题5分，共40分）
1．（2020·全国高二课时练习）已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
2．（2020·全国高二课时练习）抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为( )
A．2 B．1
C．2 D．3
3．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高二课时练习）曲线与曲线的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
5．（2020·全国高二课时练习）与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国高二课时练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆；
B．当或时，曲线C表示双曲线；
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
10．（2020·广东汕头高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．若，则的面积为32
11．（2019·山东青岛二中高二月考）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．双曲线的渐近线方程为
12．（2019·山东淄博.高二期中）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )
A．3 B．4 C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·湖北襄阳。高二期中）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
14．（2020·平罗中学高二月考（文））已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．
15．（2020·全国高二课时练习）若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.
16．（2020·全国高二课时练习）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的方程是.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
18．（2020·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线：的离心率为，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点，，求的取值范围.
19．（2020·全国高二课时练习）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
20．（2020·全国高二课时练习）点在椭圆：上，且点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知动直线与椭圆相交于两点，若，求证：为定值
21．（2020·定远县育才学校高二期末（理））双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．
22．（2019·广东高二期末（理））已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．
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第三章 章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题5分，共40分）
1．（2020·全国高二课时练习）已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】如图，作垂直准线于点，由题意可得，
显然，当三点共线时，的值最小；
因为，，准线，
所以当三点共线时，，所以.
故选A
2．（2020·全国高二课时练习）抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为( )
A．2 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝± ，∴点P到y轴的距离为.
故选A.
3．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得即
∴或
故选：D.
4．（2020·全国高二课时练习）曲线与曲线的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】D
【解析】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.
故选D.
5．（2020·全国高二课时练习）与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆可化为标准方程，
可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，
故可设所求椭圆方程为，则.
又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.
故选：B.
6．（2020·全国高二课时练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知解得.
7．（2020·全国高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为等腰直角三角形，，即得，解得．
8．（2020·全国高二课时练习）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题（每题5分，共20分）
9．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆；
B．当或时，曲线C表示双曲线；
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
【答案】BC
【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误.
由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确.
由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确.
当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确.
综上所述，正确的选项为BC.
故选：BC
10．（2020·广东汕头高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．若，则的面积为32
【答案】BC
【解析】
，故错误；
双曲线的渐近线方程为即，故正确；
设双曲线上一点，即
则到两渐近线的距离的乘积为，故正确；
若，则
由焦点三角形面积公式，故错误.
综上，正确的有
故选：
11．（2019·山东青岛二中高二月考）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．双曲线的渐近线方程为
【答案】ACD
【解析】方程即，表示，两条直线，所以A正确；
椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B选项错误；
曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C选项正确；
双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D选项正确.
故选：ACD
12．（2019·山东淄博.高二期中）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )
A．3 B．4 C． D．
【答案】ABD
【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,
所以过焦点作直线的垂线,
则到直线的距离为的最小值,如图所示：
所以,选项ABD均大于或等于3.
故选:ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·湖北襄阳。高二期中）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
【答案】
【解析】根据题意，椭圆，
其中，，
则，
点在椭圆上，若，则，
在△中，，，，
则，
则有，故答案为．
14．（2020·平罗中学高二月考（文））已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图,因为为正三角形，所以，
所以是直角三角形.
因为，，所以,.
因为，所以
即，所以.
故答案为：
15．（2020·全国高二课时练习）若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.
【答案】9.
【解析】设双曲线的右焦点，则，
∴，
等号成立当且仅当共线.
故答案为：.
16．（2020·全国高二课时练习）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于________.
【答案】24
【解析】双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，
由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=×8×6=24．
故答案为24．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的方程是.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
【答案】（1）焦点坐标，，离心率，渐近线方程为；（2）.
【解析】（1）解：由得，所以，，，
所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为.
（2）解：由双曲线的定义可知，
∴
，则.
18．（2020·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线：的离心率为，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，可得，
所以，
故双曲线方程可化为，
将点代入双曲线的方程，
解得，所以双曲线的方程为；
（2）联立直线与双曲线方程，
，
由题意得，
，
解得且，
所以的取值范围为.
19．（2020·全国高二课时练习）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
20．（2020·全国高二课时练习）点在椭圆：上，且点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知动直线与椭圆相交于两点，若，求证：为定值
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解得即椭圆的方程为
（2）设，联立得．
，
21．（2020·定远县育才学校高二期末（理））双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设双曲线的方程为，则，
故，故双曲线的方程是.
（2）由，得，
由，且得，且，
设，因为以为直径的圆过原点，所以，
所以，又，
所以，
所以解得.
22．（2019·广东高二期末（理））已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．
【答案】(1) ；(2) 或
【解析】（1）由已知可得，
消去得：，
抛物线的方程为
（2）设，，菱形的中心
当轴，则在原点，，
，，菱形的面积，
解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为
消去得：
，，∵为的中点
∴，点在抛物线上，
且直线的斜率为．
解得：，
，
综上，或
解法二：设，直线的斜率为
，直线的斜率为，
可以设直线：
消去得：
∵
，
解方程：，解得，，接下去同上．
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