苏教版高中数学选择性必修第一册第5章§5.1 5.1.2 第3课时导数同步教学课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
第3课时　导　数
第5章　 5.1.2　瞬时变化率——导数
1.理解导数及导函数的概念.
2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数.
学习目标
同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就.
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数的概念
二、求函数在某一点处的导数
三、导函数
内容索引
一、导数的概念
问题1　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示　瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；
它的数学意义是函数在该点的导数.
1.导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx 时，比值 无限趋近于一个 ，则称f(x)在x＝x0处 ，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 .
2.导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点 处的切线的 .
知识梳理
无限趋近于0
常数A
可导
f′(x0)
P(x0，f(x0))
斜率
√
反思感悟　利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系.
A.f′(x) B.f′(2) C.f(x) D.f(2)
解析　因为函数f(x)可导，
√
二、求函数在某一点处的导数
从而f′(1)＝2.
反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为
A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
√
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
√
三、导函数
问题2　以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示　这涉及到函数在任意一点的导数问题，
这就是函数在任意一点的导数，
即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数.
导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数记作 或 ，即f′(x)＝y′＝
.
注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值.(2)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数.
知识梳理
f′(x) y′
反思感悟　求导函数的一般步骤：
(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x).
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
1.知识清单：
(1)导数的概念及几何意义.
(2)求函数在某点处的导数.
(3)导函数的概念.
2.方法归纳：定义法.
3.常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)
等于
A.4 B.－4 C.－2 D.2
解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2.
√
1
2
3
4
4.已知函数f(x)＝ ，则f′(1)＝ .
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
解析　因为f′(x0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则s′ 为
A.3 m/s B.5 m/s C.7 m/s D.9 m/s
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于
A.－2 B.2 C.－1 D.1
解析　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知曲线f(x)＝ x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为
A.－2 B.－1 C.1 D.2
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
√
5.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为
的是
A.(0,0) B.(1，－1)
C.(－1,1) D.(1,1)
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
√
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值
A.与x0有关 B.与h有关
C.与x0无关 D.与h无关
解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝ .
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝ .
解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，
所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为
A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设切点为(x0，y0)，
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.若曲线y＝f(x)＝x＋ 上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范
围是
A.(－∞，－1) B.(－1,1)
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
即k<1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是
A.0B.0C.0D.0√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由f(x)的图象可知，
f(x)在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，且斜率为正，
∴0∴f(3)－f(2)可看作过(2，f(2))和(3，f(3))的割线的斜率，
由图象可知f′(3)∴01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离
为 __ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，
点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，
设y＝f(x)＝x2，
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则 的最小值为 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
解　设P(x0，y0)，
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束