苏教版高中数学选择性必修第一册平面解析几何(第1～3章)阶段测试（Word含解析）

苏教版高中数学选择性必修第一册平面解析几何(第1～3章)阶段测试
(满分150分，时间120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知抛物线关于坐标轴对称，顶点在原点，且过点P(－4,4)，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝－4x　 B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y　 D．y2＝4x或x2＝－4y
2．“a＝－1”是“直线ax＋2y＋2＝0与直线x＋(a－1)y＋1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件
3．已知5＜m＜6，则曲线＋＝1与曲线＋＝1的(　　)
A．焦距相等　 B．离心率相同　
C．焦点坐标相同　 D．顶点坐标相同
4．已知O为坐标原点，F1,F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上一点，且AF2⊥F1F2,AF1与y轴交于点B，则OB的长为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
5．若圆x2＋y2－10x＋9＝0被直线y＝kx＋k－2截得的两段圆弧的长度之比为1∶3，则实数k的值为(　　)
A．1　 B．　
C．1或－　 D．0或
6．已知直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点F，且与抛物线C在第一象限内交于点M，点N在抛物线C的准线l1上，且MN⊥l1.若点M到直线NF的距离是4，则直线l的斜率是(　　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
7．已知双曲线－＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与点F2重合．设P为抛物线与双曲线的一个交点，若cos∠PF1F2＝，则双曲线的离心率为(　　)
A．或　 B．或3　
C．2或　 D．2或3
8．若A，B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则AC＋BC的最小值为(　　)
A．7　 B．8　
C．9　 D．10
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列说法中正确的有(　　)
A．当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B．当－1＜m＜0时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)
C．当0＜m＜1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线
D．当m＞1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
10．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的一个动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的一个动点，则下列结论中正确的有(　　)
A．椭圆C的焦距为　 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部　 D．PQ长的最小值为
11．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论中正确的有(　　)
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°　 B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合　 D．对任意的k，l1与l2都不垂直
12．我们把离心率e＝的双曲线称为黄金双曲线．如图，双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，B1(0，b)，B2(0，－b)，过点F2(c,0)作MN⊥x轴，交双曲线于点M，N，则下列说法中正确的有(　　)
(第12题)
A．双曲线x2－＝1是黄金双曲线
B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线
C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题第一个空2分、第二个空3分．
13．若直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值为________.
14．已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，且双曲线C的一个焦点到直线l的距离为2，则双曲线C的标准方程为________.
15．若直线l过点(4,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，当△AOB的面积取得最小值时直线l的方程是________.
16．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，直线x＋y＝1与椭圆E交于点M,N，以线段MN为直径的圆经过原点．若椭圆E的离心率不大于，则a的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)有下列3个条件：①方程＋＝1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；②点(m，m)在圆(x－2)2＋y2＝20外；③直线2x－y－m＝0与圆(x－m)2＋(y－1)2＝没有公共点．从中任选1个，补充到下面的问题中并解答．
已知条件p：________，条件q：方程＋＝1表示的曲线是双曲线．若p是q的必要不充分条件，求实数t的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(12分)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于点A，B.
(1)求公共弦AB所在直线的方程；
(2)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．
19．(12分)过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于点A，B.若四边形OAMB被直线AB平分，求直线AB的方程．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，A，B是直线x－y＋m＝0(m∈R)与圆O的两个公共点，点C在圆O上．
(1)若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；
(2)若直线x－y－＝0上存在点P满足·＝0，求m的取值范围．
21．(12分)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，点M在PF1上，且满足＝λ(λ>0)，PO⊥F2M(O为坐标原点)．
(第21题)
(1)若椭圆的方程为＋＝1,P(2,)，求点M的横坐标；　
(2)若λ＝2，求椭圆的离心率e的取值范围．
22．(12分)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)如图，直线x＝2与椭圆C交于P,Q两点，点P位于第一象限，A,B是椭圆C上位于直线x＝2两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．
②当点A,B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，那么直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
(第22题)
参考答案与解析
1. C　2.C　3.A　4.A　5.C　提示　由题意得圆心(5,0)到直线y＝kx＋k－2的距离为2　6.D　提示　由题意可知F(2,0)．设M(x0，y0)，则N(－2，y0)，所以直线NF的方程为y＝－(x－2)，即y0x＋4y－2y0＝0.因为点M到直线NF的距离是4，所以＝4.因为点M在抛物线C上，所以y＝8x0，从而＝4，整理得y(y＋16)＝64×48，解得y0＝4，所以x0＝6，即M(6,4)，故直线l的斜率是＝　7.D　提示　过点P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N.设PF1＝m，PF2＝n，则F1M＝PN＝PF2＝PF1cos∠PF1F2＝.因为PF1－PF2＝2a，所以m－＝2a，即m＝7a，n＝5a.在△PF1F2中，cos∠PF1F2＝＝，即c2－5ac＋6a2＝0，故e2－5e＋6＝0，解得e＝2或3　
(第8题)
8．A　提示　如图，设圆M′是圆M：x2＋(y－3)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆，可得M′(－3，0)，半径r＝1，所以圆M′的方程为(x＋3)2＋y2＝1.易知当C为线段NM′与直线x＋y＝0的交点时，AC＋BC取得最小值，为NM′－3.因为点N(3,8)，所以NM′＝＝10，因此AC＋BC的最小值为NM′－3＝7　9.ABD　提示　设P(x，y)(x≠±1)，则kAP·kBP＝·＝m(x≠±1)，即x2＋＝1(x≠±1)．当m＝－1时，x2＋y2＝1(x≠±1)表示圆(除去与x轴的交点)，故A正确；当－10时，x2－＝1(x≠±1)表示焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)，故C错误，D正确　10.BC　提示　由椭圆C的方程可得a2＝6，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝5，从而焦距2c＝2，故A不正确．离心率e＝＝＝，故B正确．设P(x，y)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥＞，所以圆D在椭圆C的内部，故C正确．由题意可得PQ长的最小值为－＝，故D不正确　11.ABD　提示　对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；联立可得(2k＋1)x＝0，此方程恒有解，可得l1与l2有交点，故B正确；当k＝－时，＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率不存在或斜率为－＝－1－≠－1，所以对于任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确　12.BCD　提示　在双曲线x2－＝1中，因为e＝≠，所以双曲线x2－＝1不是黄金双曲线，故A不正确．因为b2＝ac，所以e＝＝＝，从而e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，所以该双曲线是黄金双曲线，故B正确．因为F1，F2为左、右焦点，A1，A2为左、右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°，所以B1F＋B1A＝A2F，即b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得b2＝ac.由B知该双曲线是黄金双曲线，故C正确．因为MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，所以NF2＝OF2，从而＝c，即b2＝ac.由B知该双曲线是黄金双曲线，故D正确　13.1或3　14.－＝1　15.8　x＋4y－8＝0　提示　由题意设直线l：y＝k(x－4)＋1，则OA＝>0，OB＝1－4k>0，解得k<0.而S△OAB＝OA·OB＝－＝－8k－＋4≥2·＋4＝8，当且仅当－8k＝－，即k＝－时取等号，此时直线l的方程为x＋4y－8＝0　16.　提示　因为直线x＋y＝1与椭圆E：＋＝1交于点M，N，所以a＞1.联立得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为以线段MN为直径的圆经过原点，所以OM⊥ON，即x1x2＋y1y2＝0，故x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，即2x1x2＋1－(x1＋x2)＝0，代入整理得a2＋b2＝2a2b2.因为e≤，所以1－≤，即b2≥a2，故≥a2，解得a≤　17.无论选择哪个条件，若p为真，则有m<－2或m>4.若q为真，则有m－t>0，m－t－1<0，解得t0，b>0，直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay＝ab.因为MA⊥MB，所以2(2－a)＋4(4－b)＝0，即a＝10－2b.由题意得点O到直线AB的距离等于点M到直线AB的距离，即＝.因为2b＋4a－ab＝2b＋40－8b－10b＋2b2＝2b2－16b＋40＝2(b－4)2＋8>0，所以10b－2b2＝2b2－16b＋40，即2b2－13b＋20＝0，解得b＝或b＝4，从而a＝5或a＝2，所以直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0　20.(1)由△ABC为正三角形，得∠AOB＝2∠ACB＝，所以∠ABO＝∠BAO＝，从而原点O到直线AB的距离d＝1×sin＝.由点到直线的距离公式得＝，解得m＝或－，所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x－y－1＝0　(2)因为·＝0，所以点P在以AB为直径的圆上．设该圆的圆心为(x0，y0)，则解得故以AB为直径的圆的方程为2＋2＝1－，其中－.综上，椭圆的离心率e的取值范围为　22.(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c.因为它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点(0，)，所以b＝.因为离心率e＝＝＝＝，解得a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1　(2)① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋t，代入椭圆C的方程化简可得x2＋2tx＋2t2－4＝0.由Δ＝4t2－4(2t2－4)＞0，解得－2＜t＜2.利用根与系数的关系可得x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.在＋＝1中，令x＝2，得P(2,1)，Q(2，－1)，所以四边形APBQ的面积S＝S△APQ＋S△BPQ＝·PQ·|x1－x2|＝×2×|x1－x2|＝|x1－x2|＝＝＝，故当t＝0时，四边形APBQ的面积取得最大值，为4　② 当∠APQ＝∠BPQ时，直线PA，PB的斜率之和等于0，故设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，把它代入椭圆C的方程化简可得(1＋4k2)x2＋8k(1－2k)x＋4(1－2k)2－8＝0，故x1＋2＝.同理可得直线PB的方程为y－1＝－k(x－2)，x2＋2＝，所以x1＋x2＝，x1－x2＝，因此kAB＝＝＝＝＝