2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数
一、选择题
1．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，
∴cosB= = ，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，直接用锐角三角函数的意义可求cosB的值。
2．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= =12，
∴sinA= = ，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的意义可求sinA的值。
3．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC= = =2 ，
∴cosC= = = ．
故答案为：B．
【分析】先将△ABC转化为直角三角形ADC，用勾股定理求出AC的长，则cosC的值可求。
4．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E
由勾股定理，得
AB=AC=，BC=．
由等腰三角形的性质，得
BE=BC=．
由勾股定理，得
AE==3，
由三角形的面积，得
AB CD=BC AE．
即CD==．
sin∠CAB===，
故选：B．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
5．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=4，则AC为（ ）
A．4tan50° B．4tan40° C．4sin50° D．4sin40°
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由余切是邻边比对边，得
AC=4cot50°，
由一个角的余切等于它余角的 正切，得
AC=4tan40°，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余，可求出∠B的度数，再根据∠B的正切=对边邻边可求得AC的长。
6．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）将一张矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在C'处，测量得AB=4，DE=8．则sin∠C'ED为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△CDE≌△C′DE，
∴C′D=CD．
∵AB=4，DE=8，
∴C′D=4．
∴sin∠C'ED= = = ．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质知△CDE≌△C′DE，则可得C′D=CD，再根据锐角三角函数的意义可求得sin∠C'ED的值。
7．（2017九上·滦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，AB= = =5．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．
∴∠ACD=∠B，
∴cosα=cosB= = ．
故选A．
【分析】证明∠ACD=∠B，则∠ACD的余弦值等于∠B的余弦值，在直角△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，利用余弦的定义求解．
8．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
∴sinA= ，cosA= ，tanA= ，cosB= ．
故A、B、D错误，选C．
【分析】在△ABC中，根据勾股定理的逆定理可判断∠C=90°，再根据求出∠A的锐角三角函数值即可得解。
9．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故答案为：D．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可比较大小。
10．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。
二、填空题
11．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）若α为锐角，化简 = ．
【答案】1﹣sinα
【知识点】锐角三角函数的定义；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
∴ = =1﹣sinα．
【分析】根据α为锐角可得到sinα的范围，再根据二次根式的非负性可化简。
12．（2016九下·邵阳开学考）一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为 ．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．可得BD=CD=3cm，所以cosB= ；
②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm，因此cosB= = .
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一得出BD=CD=3cm求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可；②4cm为底边时，同理可得cosB 。
13．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ，则BC的长是 ．
【答案】6
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA= ，
∴ = ，
解得BC=6．
故答案为：6．
【分析】根据∠A的正弦函数的意义可列出方程求BC的长。
14．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c sinB，②a=c cosB，③a=c tanB，④a= ，必定成立的是 ．
【答案】②
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴sinB= ，
∴b=c sinB，故①错误；
cosB= ，
∴a=c cosB，故②正确；
tanB= ，
∴b=a tanB，故③错误；
tanB= ，
∴a= ，故④错误．
故答案为②．
【分析】根据锐角三角函数的意义可判断正误。
15．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB= ，则cotB的值等于 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵tanB= = ，
∴cotB= = ．
故答案是： ．
【分析】根据正切和余切之间的关系可求解。
16．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（90°﹣α）= ．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP= =5．
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
sin（90°﹣α）=cosα= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP，再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
三、解答题
17．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，cosA= ，求这个三角形的周长．
【答案】解：可设AC=5xcm，AB=13xcm，
则BC=12xcm，
由12x=24得x=2，
∴AB=26，AC=10，
∴△ABC的周长为：10+24+26=60cm
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据cosA的比值可表示AC和AB，根据勾股定理可表示BC，结合已知条件可求出△ABC的三边长，则三角形的周长可求。
18．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求 的值．
【答案】解：∵cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，
∴由求根公式有，cosα= ，
∴cosα= （cosα=3不符合题意，舍去），
∵sin2α+cos2α=1，
∴sin2α=1﹣（ ）2= ，
∴sinα= ，
∴ = = =sinα﹣cosα=
【知识点】公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先求出已知一元二次方程的根，然后根据cosα是方程的一个根可求出cosα的值或α的度数，则代数式的值可求。
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数
一、选择题
1．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（ ）
A． B． C． D．
5．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=4，则AC为（ ）
A．4tan50° B．4tan40° C．4sin50° D．4sin40°
6．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）将一张矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在C'处，测量得AB=4，DE=8．则sin∠C'ED为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2017九上·滦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
10．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
二、填空题
11．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）若α为锐角，化简 = ．
12．（2016九下·邵阳开学考）一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为 ．
13．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ，则BC的长是 ．
14．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c sinB，②a=c cosB，③a=c tanB，④a= ，必定成立的是 ．
15．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB= ，则cotB的值等于 ．
16．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（90°﹣α）= ．
三、解答题
17．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）在△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，cosA= ，求这个三角形的周长．
18．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，
∴cosB= = ，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，直接用锐角三角函数的意义可求cosB的值。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= =12，
∴sinA= = ，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的意义可求sinA的值。
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC= = =2 ，
∴cosC= = = ．
故答案为：B．
【分析】先将△ABC转化为直角三角形ADC，用勾股定理求出AC的长，则cosC的值可求。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E
由勾股定理，得
AB=AC=，BC=．
由等腰三角形的性质，得
BE=BC=．
由勾股定理，得
AE==3，
由三角形的面积，得
AB CD=BC AE．
即CD==．
sin∠CAB===，
故选：B．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由余切是邻边比对边，得
AC=4cot50°，
由一个角的余切等于它余角的 正切，得
AC=4tan40°，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余，可求出∠B的度数，再根据∠B的正切=对边邻边可求得AC的长。
6．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△CDE≌△C′DE，
∴C′D=CD．
∵AB=4，DE=8，
∴C′D=4．
∴sin∠C'ED= = = ．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质知△CDE≌△C′DE，则可得C′D=CD，再根据锐角三角函数的意义可求得sin∠C'ED的值。
7．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，AB= = =5．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．
∴∠ACD=∠B，
∴cosα=cosB= = ．
故选A．
【分析】证明∠ACD=∠B，则∠ACD的余弦值等于∠B的余弦值，在直角△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，利用余弦的定义求解．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
∴sinA= ，cosA= ，tanA= ，cosB= ．
故A、B、D错误，选C．
【分析】在△ABC中，根据勾股定理的逆定理可判断∠C=90°，再根据求出∠A的锐角三角函数值即可得解。
9．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故答案为：D．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可比较大小。
10．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。
11．【答案】1﹣sinα
【知识点】锐角三角函数的定义；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
∴ = =1﹣sinα．
【分析】根据α为锐角可得到sinα的范围，再根据二次根式的非负性可化简。
12．【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．可得BD=CD=3cm，所以cosB= ；
②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm，因此cosB= = .
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一得出BD=CD=3cm求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可；②4cm为底边时，同理可得cosB 。
13．【答案】6
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA= ，
∴ = ，
解得BC=6．
故答案为：6．
【分析】根据∠A的正弦函数的意义可列出方程求BC的长。
14．【答案】②
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴sinB= ，
∴b=c sinB，故①错误；
cosB= ，
∴a=c cosB，故②正确；
tanB= ，
∴b=a tanB，故③错误；
tanB= ，
∴a= ，故④错误．
故答案为②．
【分析】根据锐角三角函数的意义可判断正误。
15．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵tanB= = ，
∴cotB= = ．
故答案是： ．
【分析】根据正切和余切之间的关系可求解。
16．【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP= =5．
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
sin（90°﹣α）=cosα= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP，再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
17．【答案】解：可设AC=5xcm，AB=13xcm，
则BC=12xcm，
由12x=24得x=2，
∴AB=26，AC=10，
∴△ABC的周长为：10+24+26=60cm
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据cosA的比值可表示AC和AB，根据勾股定理可表示BC，结合已知条件可求出△ABC的三边长，则三角形的周长可求。
18．【答案】解：∵cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，
∴由求根公式有，cosα= ，
∴cosα= （cosα=3不符合题意，舍去），
∵sin2α+cos2α=1，
∴sin2α=1﹣（ ）2= ，
∴sinα= ，
∴ = = =sinα﹣cosα=
【知识点】公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先求出已知一元二次方程的根，然后根据cosα是方程的一个根可求出cosα的值或α的度数，则代数式的值可求。
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