丰城市第九中学2022-2023学年高二上学期入学质量检测数学试卷（含答案）

丰城市第九中学2022-2023学年高二上学期入学质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设，则( )
A.0 B. C.1 D.
2、已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3、“”是“直线与直线平行”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要
4、设P为x轴上的一点，，，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍，则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
5、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，外接圆的半径为6，则( )
A. B. C. D.
6、设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
7、 若点 到直线 的距离为 3 , 则 ( )
A.2 B.3 C. D.4
8、已知，，，，若P点是所在平面内一点，且，则的最大值等于( )
A.76 B.78 C.80 D.82
二、多项选择题
9、若直线l不平行于平面，且，则下列说法正确的是( )
A.内存在一条直线与l平行 B.内不存在与l平行的直线
C.内所有直线与l异面 D.内有无数条直线与l相交
10、已知直线，其中，下列说法正确的是( )
A.当时，直线l与直线垂直
B.若直线l与直线平行，则
C.直线l过定点
D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11、如图，在棱长均相等的四棱锥中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的有( )
A.平面OMN
B.平面平面OMN
C.直线PD与直线MN所成角的大小为
D.
12、已知函数，则下列结论正确的有( )
A.为偶函数
B.的最小值为
C.在上共有4个零点
D.在区间上单调递减
三、填空题
13、直线l过点，且与直线：的夹角为，则直线l的方程为______.
14、若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，则圆柱 圆锥 球的表面积之比为___________.
15、已知向量，，，_______.
16、若方程在内有解，则a的取值范围是______.
四、解答题
17、 已知两条直线 ，， 当 m 为何值 时, 与 :
（1）相交；
（2）平行；
（3）垂直.
18、已知函数.
（1）若点在角的终边上，求的值；
（2）若，求的值域.
19、已知直线l的方程为.
（1）求证：不论m为何实数，直线l必过定点；
（2）若过该定点的直线l分别与x、y轴的负半轴交于A、B两点，求的面积最小时直线l的方程.
20、如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和.
（1）求该棱台的侧棱长；
（2）求直线与BC的距离.
21、已知函数部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）设函数在区间上有两个不同的零点，，求.
22、如图，在四棱锥中，平面PCD，平面平面ABCD，是正三角形，.
（1）求证：平面PAB；
（2）求证：平面PAC；
（3）若，，求四面体PABC的体积V.
参考答案
1、答案：C
解析：，则，故选C.
2、答案：C
解析：因圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为，所以该圆锥的体积为.故选：C
3、答案：A
解析：因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：A.
4、答案：B
解析：设，而，，则，，
因为直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍，
所以，解得，即点P的坐标为，故选：B.
5、答案：D
解析：因为，所以,
因为，所以,
因为外接圆的半径R为6，所以.
因为，所以.
因为，A为锐角，所以，
因为，
所以,故选:D
6、答案：C
解析：A选项，若，，，则或m，n异面，A错误；
B选项，如图，
满足，，，而，故B错误；
C选项，因为，设，，，所以，因为，所以，因为，，所以，则，C正确；
D选项，如图，
满足，，而，D错误.故选：C
7、答案：A
解析: 点 到直线 的距离为 3 , 可得 , 解得 ,故选：A.
8、答案：A
解析：以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，
，，，即，
，，，
，（当且仅当，即时取等号），
.故选：A.
9、答案：BD
解析：A.若内存在一条直线与l平行，则由线面平行的判定定理知，故错误；
B.因为直线l不平行于平面，且，所以直线与平面相交，故内不存在与l平行的直线，故正确；
C.因为直线l不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线与l共面，故错误；
D.因为直线l不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线有无数条与l相交，故正确；
故选：BD
10、答案：AC
解析：对于A，当时，直线l的方程为，显然与直线垂直，所以A中说法正确；
对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B中说法不正确；
对于C，当时，，所以直线l过定点，所以C中说法正确；
对于D，当时，直线l的方程为，其在x轴、y轴上的截距分别是，1，所以D中说法不正确.故选AC.
11、答案：ABD
解析：对于选项A，连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以，平面OMN，平面OMN，所以平面OMN，选项A正确；
对于选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得，又底面为正方形，所以，同理可得平面OMN,又由选项A得平面OMN，，所以平面平面OMN，选项B正确；
对于选项C，因为，所以（或补角）为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以，故直线PD与直线MN所成角的大小为，选项C不正确；
对于选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以，故，又，所以，选项D正确.
故选：ABD.
12、答案：AB
解析：对于A，，故A正确；
对于B，令|，则，，当时，，故B正确；
对于C，令，则，，令，则，即，所以在上共有5个零点，故C错误；
对于D，由B可知，存在，使得，此时取到最小值，而，故D错误.
故选：AB.
13、答案：或
解析：由题设，直线斜率为，则其倾斜角为，所以直线l的倾斜角为或，且过，故直线l的方程为或，即或.故答案为：或
14、答案：
解析：设球的半径为R，则圆柱的表面积，圆锥的表面积，球的表面积，所以圆柱，圆锥，球的表面积之比为.故答案为：
15、答案：
解析：由已知可得，因此，.故答案为：.
16、答案：
解析：把方程变为，设，则.
显然当且仅当的值域时,有解.
且由知,，
所以当时，有最小值，当时，有最大值
的值域为,
所以a的取值范围是.
故答案为：.
17、答案：（1）且；
（2）；
（3）.
解析：（1）直线相交，则，即，
所以且.
（2）直线相交，则，即，
所以或.
当时，，，符合题设；
当时，，，两线重合，不合题设；
综上，.
（3）直线垂直，则，可得.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点在角的终边上，所以，，所以
（2），
因为，所以，
所以，
所以的值域是.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，则，
令，解得,
故不论m为何实数，直线l必过定点.
（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设为，则直线，
可得直线l在x、y轴上的截距分别为，
故的面积，当且仅当，即时等号成立，
此时直线l的方程，即.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）过点、分别在平面内作，，
垂足分别为点E、F，如下图所示：
根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形，
因为四边形ABCD为正方形，且，则，同理，
在等腰梯形内，因为，，，
所以，四边形为矩形，所以，，，
，，，所以，，
所以，，
所以，该正四棱台的侧棱长为.
（2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点M、N，
在等腰梯形中，，，，
则四边形为矩形，所以，，，
，，，所以，，
则，所以，.
因此，直线与BC的距离为.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）由图可知：，，，，
，代入点，，
根据五点法作图，得，，，
，，
.
（2）函数在区间上有两个不同的零点，，即，和的图象有两个不同交点，
作出函数在上的图象，其中，，，，由图可知，不妨设，则，关于直线对称，故，
所以.
22、答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）2.
解析：（1）因为在四棱锥中，平面PCD，平面ABCD，平面平面，
所以，
因为平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB；
（2）
证明：取AC中点O，连接PO，则，
因为平面平面ABCD，平面PAC，平面平面，
所以平面ABCD，则，
又因为，，PO，平面PAC，
则平面PAC；
（3）在中，因为，，所以，
所以，
在等边三角形PAC，由，得，
又平面ABC，所以.