浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有【答案】必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量、分别是平面，的法向量，若，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知样本数据、、、…、的方差为1，若，则样本数据、、、…、的方差是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
4．已知，，，若、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数（ ）
A．0 B．9 C．5 D．3
5．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（ ）
A．恰有一个红球的概率为
B．两个球都是红球的概率为
C．“至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件
D．“至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件
8．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．《中华流行病学杂志》对感染新冠并死亡的人员做了统计，以下是某同学将所得数据按年龄分为10组：，……，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．死亡年龄的众数在区间内 B．死亡年龄的中位数大于80岁
C．现已知某地新增一新冠死亡病例，则此人为70岁及以上老人的概率大约是
D．现已知某地新增一新冠阳性感染病人，年龄为75岁，则可以根据上图估计他今年因为感染新冠而死亡的概率为
10．若曲线的方程为：，则（ ）
A．可能为圆
B．若，则为椭圆
C．若为焦点在轴上的椭圆，则越大，离心率越大
D．若为焦点在轴上的椭圆，则越大，离心率越大
11．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（Chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，且，，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．直线与直线所成的夹角为
C．到底面的距离为
D．五面体的体积为
12．已知圆，斜率为的直线经过圆内与点不重合的一个定点，且与圆相交于、两点，下列选项中正确的是（ ）
A．若为定值，则存在，使得
B．若为定值，则存在，使得
C．若为定值，则存在，使得圆上恰有三个点到的距离均为
D．若为定值，则存在，使得圆上恰有三个点到的距离均为
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．
13．据统计，在某师范学校中，男生每天体育锻炼的时间平均值是44分钟，女生每天体育锻炼的时间平均值是34分钟．若此学校的男生与女生人数比是1：9，则此校学生每天体育锻炼的时间平均值是__________分钟．
14．已知，，，若，则在上的投影向量可以是__________．（只需写出一个符合题意的答案）
15．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是__________．
16．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，则当点在圆上运动时，可求得线段的中点的轨迹方程是椭圆，相当于把圆压缩后得到了椭圆．由此可见椭圆和圆之间可以通过伸缩变换进行转化，进一步，可利用伸缩变换研究一些与椭圆和圆相关的几何问题．现有一条不过原点的直线与椭圆交于、两点，则由伸缩变换可知，面积的最大值是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（满分10分）已知直线，，直线被和所截得的线段中点为原点．
（1）求直线的方程；
（2）若圆经过点以及直线与坐标轴的两个交点，求圆的方程．
18．（满分12分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，、分别是和的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求棱的长，使得点到直线的距离为．
19．（满分12分）已知圆，圆．
（1）求两圆的公共弦长；
（2）求两圆的公切线方程．
20．（满分12分）已知椭圆，、分别为其左右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方．
（1）若，求弦长；
（2）若的面积为，求椭圆的方程．
21．（满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，是矩形对角线的交点，为上底面的重心，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
22．（满分12分）已知圆，，圆上有一动点，线段的中垂线与线段交于点，记点的轨迹为．第一象限有一点在曲线上，满足轴，一条动直线与曲线交于、两点，且直线与直线的斜率乘积为．
（1）求曲线的方程；
（2）当直线与圆相交所成的弦长最短时，求直线的方程．
2022学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C C B D B
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 ABC AC ABD AC
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．
13．35 14．，（写出其中一个答案即可）
15． 16．4
详细解析如下：
1．【答案】C
【解析】设直线倾斜角为，则直线的斜率．
，，故选C．
2．【答案】A
【解析】，，，，，故选A．
3．【答案】D
【解析】，故选D．
4．【答案】C
【解析】因为，，不能构成空间直角坐标系上的一组基底，所以存在唯一的实数对，
使得，所以，，，故选C．
5．【答案】C
【解析】直线经过定点，，．
又直线与线段相交，或，故选C．
6．【答案】B
【解析】设的中点为，由题意得：，
由椭圆定义得：，，故选B．
7．【答案】D
【解析】设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为，
记：恰有一个红球，
，即．
记：两个球都是红球，，．
记：至少一个黄球，，，
所以“至少一个黄球”与“两个球都是红球”是互斥事件．
记：至少一个绿球，
．
记：至多一个绿球，
因为，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件．故选D．
8．【答案】B
【解析】关于直线的对称点为，
由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，
所以，解得：，故选B．
9．【答案】ABC
【解析】由题知A、B正确；，所以C正确；
因为并没有感染人员的数据，所以不知道各年龄病人的死亡率，D错误，故选ABC．
10．【答案】AC
【解析1】时，为圆，A正确；
或时，为椭圆，B错误；
若为焦点在轴上的椭圆，则，此时，关于单调递增，C正确；
若为焦点在轴上的椭圆，则，此时，关于单调递减，D错误；故选AC．
【解析2】时，为圆，A正确；
若为椭圆，则或，B错误；
若为焦点在轴上的椭圆，则，此时，，则增大时，变大，变小，椭圆会变扁，离心率变大，C正确；
若为焦点在轴上的椭圆，则，此时，，则增大时，变小，变大，椭圆会变圆，离心率变小，D错误；故选AC．
11．【答案】ABD
【解析】易知，面，面面，，A正确；
过点做，，，，为正三角形，B正确；
过，做，，，，，
则，，，C错误；
，，所以五面体的体积为，D正确；故选ABD．
12．【答案】AC
【解析】为弦中点时，，A正确，B错误；
与距离为非零定值的所有点的轨迹是与平行的两条平行线，
若为定值，当趋向于0时，两条平行线与的距离趋向于0，都与圆相交，
当趋向于无穷大时，两条平行线与的距离趋向于无穷大，都与圆相离．
由于点在圆内且与点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆上恰有三个点到的距离均为，符合题意，C正确；
若为定值，当圆上恰有三个点到的距离均为时，的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆相交．
设原点与的距离为，直线与的夹角为，
此时，即，由于，所以，所以．
相应地，当时，不存在圆上恰有三个点到的距离均为，D错误，故选AC．
13．【答案】35
【解析】．
14．【答案】，（写出其中一个答案即可）
【解析】，，
当时，，，，
同理，时，，．
15．【答案】
【解析】由题意可知，，，，
，，三点共线，，．
16．【答案】4
【解析】设直线与轴交于点，伸缩变换时点对应圆上的点，点对应圆上的点．
则，，显然，
由于，所以（当且仅当时取等号），
所以．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）设所截得的线段端点为和，则有．
解得：，所以直线的方程为：．
（2）直线与坐标轴的交点为和，线段的中点为，直线的斜率为，
则线段的中垂线方程为，
以点和点为端点的线段的中垂线方程为：，
根据垂径定理，两条中垂线的交点即为圆心，
半径为，所以圆的方程为：．
18．【解析】（1）法一：，，，
面面，面面，面，
易知面面，所以面，所以平面平面．
法二：如图建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
可求得面的一个法向量为，面的一个法向量为，
所以平面平面．
（2），，，
，．
19．【解析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程为，点到的距离为，
所以．
（2）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
由图象可知，有一条公切线为：，
直线与的交点为，
设另一条公切线的方程为，也即，
则点到此公切线的距离，解得：，
所以另一条公切线的方程为：，
综上，两圆的公切线方程为和．
20．【解析】（1）设，，时，直线的方程为：，
联立椭圆方程得：，所以，，
所以．
（2）设，，则，化简得：．
另外，由余弦定理得：，结合，可得：，
代入，消元得：，即，
结合可得：．
又因为，所以，，综上，椭圆的方程为：．
21．【解析】（1）法一：，，
，，．
如图建立坐标系，，，，
，，，，，，，
所以平面的一个法向量为，
，所以平面．
法二：延长，交于，连接，延长交与中点，连接，延长交于，
易知，易知，为中点，所以为中点，
，，，所以平面．
（2），，可解得面的一个法向量为，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
所以．
22．【解析】（1）由题意得：，且，所以点轨迹为椭圆，
且，，，所以粗圆的方程为：．
（2）由（1）可知点坐标为，当直线的斜率不存在时，设为，
可解得点和点的坐标分别为和，
此时，
化简得：，解得（舍）或，所以直线$AB$的方程为，
当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，
联立得：，
所以，，，
，
，
由，
可得：，
化简得：，也即，
可分解因式得：，
当时，直线的方程为：，过定点，舍去，
当时，直线的方程为：，过定点，
显然直线也过定点，由于点在椭圆内，所以成立，
综上，直线必过定点，
又因为点在圆内，所以当直线与圆相交所成的弦长最短时，应满足，
因为，所以，此时直线的方程为：．