1.2 反比例函数图象与性质的应用题型 同步练习（含解析）

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第一章 反比例函数
反比例函数图象与性质的应用题型
题型1 利用反比例函数解与旋转相关的问题
1.如图,在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b的图象与函数 的图象相交于点 B(1，6)，并与x轴交于点A.点C是线段AB上一点,△OAC与△OAB的面积比为2:3.
(1)求k和b的值;
(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点 C的对应点 落在 x轴正半轴上，得到判断点 是否在函数 0)的图象上，并说明理由.
题型2 利用反比例函数解与轴对称相关的问题
2.如图,已知直线l:y=x+4与反比例函数 的图象交于点
A(-1,n),直线经过点A,且与关于直线x=-1对称.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积.
题型3 利用反比例函数解与平移相关的问题
3.如图，反比例函数y= 的图象经过点(2,4)和点A(a,2).
(1)求该反比例函数的表达式和a的值.
(2)若点 A 先向左平移m个单位，再向下平移m个单位(m>0)，仍落在该反比例函数的图象上，求m的值.
题型4 利用反比例函数解与中心对称相关的问题
4.已知一次函数y =ax-1(a为常数，a≠0)的图象与x轴交于点 A，与反比例函数
的图象交于B，C 两点，点B的横坐标为-2.
(1)求出一次函数的表达式并在图中画出它的图象；
(2)求出点 C的坐标，并根据图象写出当y ＜y 时对应自变量x的取值范围；
(3)若点 B与点 D关于原点中心对称，求出△ACD的面积.
题型5 利用反比例函数解与图象交点相关的问题
5.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于A(2,3),B(6,n)两点.
(1)求一次函数的表达式；
(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于点 M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求 的值.
题型6 利用反比例函数解与最值相关的问题
6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边 OC,OA 分别在坐标轴上,且OA =2,OC=4，连接OB.反比例函数 的图象经过线段 OB 的中点 D,并与AB,BC分别交于点 E,F. 一次函数y=k x+b的图象经过E,F 两点.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点 P是x轴上一动点,当PE+PF的值最小时，点P的坐标为_.
题型7 利用反比例函数解与不等式相关的问题
7.如图，一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 为常数且m≠0)的图象都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式 的解集是( )
A. x<-1 B.-12
8.如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴,y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数 (n为常数，且n≠0)的图象在第二象限交于点 C. CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE 的面积；
(3)直接写出不等式 的解集.
题型8 利用反比例函数解与图形面积相关的问题
9.如图,矩形ABCD的两边AB,BC 的长分别为3,8,C,D在y轴上,E是AD的中点,反比例函数 且x<0)的图象经过点 E,与BC交于点 F,且CF-BE=1.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在y轴上找一点P，使得 矩形ABCD,求此时点 P的坐标.
题型9 利用反比例函数解与一次函数、几何综合的问题
10.如图,一次函数y=x+1与反比例函数 的图象相交于A(m,2),B两点,分别连接OA,OB.
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积;第10题微课
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.【解】(1)∵函数y=x+b的图象与函数 0)的图象相交于点 B(1,6),. ∴b=5,k=6.
(2)点A'不在函数 的图象上.
理由如下：
如图,过点 C作CM⊥x轴于M,过点 B作 BN⊥x轴于N,过点 A'作A'G⊥x轴于G.
∵点B(1,6),∴ON=1,BN=6.
∵△OAC与△OAB 的面积比为2:3,
即点C的纵坐标为4.
把y=4代入y=x+5,解得x=-1,∴C(-1,4).
∵y=x+5中,当y=0时,x=-5,∴A(-5,0).∴OA=5.
由旋转的性质得
在Rt△A'OG中,
∴点A'的坐标为
∴点A'不在函数 的图象上.
2.【解】(1)∵直线 l:y=x+4经过点A(-1,n),∴n=-1+4=3,∴点A的坐标为(-1,3).
∵反比例函数 的图象经过点A(-1,3),∴k=-1×3= -3,
∴反比例函数的表达式为
(2)∵直线经过点A,且与关于直线x=-1对称,∴设直线的表达式为y=-x+m,
把A(-1,3)的坐标代入得3=1+m,解得m=2,∴直线的表达式为y=-x+2.
将直线 、直线 与x轴的交点分别记为B、C，易知B(-4,0),C(2,0).
将直线 与y轴的交点记为D,易知D(0,2),
∴图中阴影部分的面积为
3.【解】(1)将点(2,4)的坐标代入 得k=2×4=8，∴反比例函数的表达式为
把点A(a，2)的坐标代入 得 ∴a=4,∴A(4,2).
(2)将点A先向左平移m个单位，再向下平移m个单位后得点(4-m,2-m),把点 (4-m,2-m)的坐标代入 得(4-m)(2-m)=8,解得 m=0(舍去)或m=6.则m的值为6.
4.【解】(1)∵点B的横坐标为-2且在反比例函数的图象上，
∴此时 ∴点B的坐标为(-2,-3).
∵点B(-2,-3)在一次函数y =ax-1的图象上,∴-3=a×(-2)-1,解得a=1,
∴一次函数的表达式为y =x-1.∴x=0时,y =-1;x=1时,y =0.
∴图象过点(0,-1),(1,0).
函数图象如图所示.
(2)解方程组 得 或
∵点B的坐标为(-2,-3),∴点C的坐标为(3,2),
由图象可得，当y (3)∵点B(-2,-3)与点 D关于原点中心对称,
∴点D(2,3).作DE∥y轴交AC于点E,如图所示.
将x=2代入y =x-1,得y =1,∴E(2,1).
即△ACD的面积是2.
5.【解】(1)∵反比例函数 的图象过A(2,3),
∴m=6，∴反比例函数的表达式为
将B(6，n)的坐标代入上式，得 . B(6,1).
将A(2,3),B(6,1)的坐标分别代入y=kx+b,得 解得
∴一次函数的表达式为
(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线，
则直线的表达式为
当y=0时, 解得x= -8;
当x=0时,y=-4.
∴设M(-8,0),N(0,-4),∴OM=8,ON=4,
∴在Rt△MON中,
将 与 联立，得 解得
∴设P(-6,-1),Q(-2,-3),
6.【解】(1)∵四边形 OABC为矩形,∴OA=BC=2.
又∵OC=4,∴B(4,2).
∵D是OB的中点,∴D(2,1).
∵反比例函数 的图象经过点 D，∴k =2×1=2.
∴反比例函数的表达式为
对于 令y=2,则x=1;令x=4,则
∴点E的坐标为(1,2),点 F的坐标为
将E，F的坐标分别代入y=k x+b,得 解得
∴一次函数的表达式为
7. C【点拨】由函数图象可知，当一次函数y =kx+b(k≠0)的图象在反比例函数 (m为常数且m≠0)的图象上方时，x的取值范围是x<-1或08.【解】(1)∵OB=2OA=3OD=12,∴点B(0,12),OA=6,OD=4.∴点A(6,0),点D(-4,0).
∵CD⊥x轴,y轴⊥x轴,∴OB∥CD.易知△ABO∽△即
则点C坐标为(-4,20),∴n=-4×20=-80,
∴反比例函数表达式为
把点 A(6,0),B(0,12)的坐标分别代入y=kx+b得 解得
即一次函数表达式为y=-2x+12.
(2)当 时，解得x =10,x = -4.
当x=10时,y=-8,∴点E的坐标为(10,-8).
10=140.
(3)不等式 的解集为-4≤x<0或x≥10.
9.【解】(1)∵E是AD的中点,∴
在Rt△ABE中，由勾股定理得
∵CF-BE=1,∴CF=6.∴F的横坐标为-6.
设F(-6,m),则E(-4,m+3).
∵E，F都在反比例函数的图象上，∴-6m=-4(m+3),解得m=6.
∴反比例函数的表达式为
∴CP=8.
易知 C(0,6),∴P(0,14)或P(0,-2).
10.【解】(1)把A(m,2)的坐标代入y=x+1,得2=m+1,解得m=1,∴A(1,2),
把A(1,2)的坐标代入 得
∴反比例函数的表达式为
(2)令 解得x=1或x=-2,
对于y=x+1,当x=-2时,y=-1,即B(-2,-1),当x=0时,y=1,∴OC=1,
(3)存在,点P的坐标为(-1,1)或(-3,-3)或(3,3).
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