顺德 角平分线[下学期]
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课件16张PPT。感谢各位老师、专家
莅临指导
角平分线九年级数学备课组驶向成功的彼岸角平分线的性质是什么
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等？ 角平分线的这条性质是怎样得到的呢？把对折的纸片继续任意折一次，然后把纸片展开，你又看到了什么？
开启智慧几何的三种语言定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
在△PDO和△PEO中，因为
∠DOP＝∠EOP（已知），
∠PDO＝∠PEO（已证），
PO＝PO（公共边），
所以 △PDO≌△PEO（A.A.S）．
因此 PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， 角平分线的性质，
为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B 的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC 相等吗？答：DE=BC。∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上） 又∵ DE⊥BA，垂足为E，∴ DE=BC。为什么？DC⊥BC，垂足为E， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ;② ∠ OPC= ∠OP' C ;
③PC=PC ' ;④PP' ⊥OC课时训练①或②或④
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = DC ，
( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。× 2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 ( )
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋B3.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论①AE=2AC；②CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出正确结论的序号 。①②④ 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
解：设要截取的长度为Ｘm,则： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）解得：Ｘ＝0.025m
＝2.5cmＡ则点Ａ即为所求的点2:如图所示， △ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。 求证：MD=ME。3：如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。 求证： ∠BDP= ∠CDP感谢指导再 见
莅临指导
角平分线九年级数学备课组驶向成功的彼岸角平分线的性质是什么
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等？ 角平分线的这条性质是怎样得到的呢？把对折的纸片继续任意折一次，然后把纸片展开，你又看到了什么？
开启智慧几何的三种语言定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
在△PDO和△PEO中，因为
∠DOP＝∠EOP（已知），
∠PDO＝∠PEO（已证），
PO＝PO（公共边），
所以 △PDO≌△PEO（A.A.S）．
因此 PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， 角平分线的性质，
为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B 的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC 相等吗？答：DE=BC。∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上） 又∵ DE⊥BA，垂足为E，∴ DE=BC。为什么？DC⊥BC，垂足为E， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ;② ∠ OPC= ∠OP' C ;
③PC=PC ' ;④PP' ⊥OC课时训练①或②或④
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = DC ，
( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。× 2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 ( )
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋B3.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论①AE=2AC；②CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出正确结论的序号 。①②④ 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
解：设要截取的长度为Ｘm,则： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）解得：Ｘ＝0.025m
＝2.5cmＡ则点Ａ即为所求的点2:如图所示， △ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。 求证：MD=ME。3：如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。 求证： ∠BDP= ∠CDP感谢指导再 见
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