1.2.1 矩形的性质与判定 课件（23张PPT）

(共23张PPT)
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(一)
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点）
3.应用矩形的性质定理解决相关问题（难点）
情境&导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
情境&导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
不变：
变：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形.
角的大小.
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
思考 （1）因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
性质 边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.
D
C
B
A
矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？
轴对称图形
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB 相交于点O.
求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点 O。
求证：AC = BD.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.∴AC = DB.
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
归纳总结
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
例1.如图1-2-1，在 ABCD 中，点E，F 为BC 边上的点，
且BE=CF，AF=DE. 求证： ABCD 是矩形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD，∠ B+ ∠ C = 180°.
∵ BE=CF， ∴ BE+EF=CF+EF， 即BF=CE.
又∵ AF=DE，
∴△ ABF ≌△ DCE(SSS).
∴∠ B= ∠ C=90°.
∴ ABCD 是矩形.
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
归纳总结
（1）矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？
（2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？
（3）你能发现它有什么特殊的性质吗？
（4）你能借助于矩形加以证明吗？
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
∴BE = DE = AE = CE,
在Rt△ABC 中，
AC为斜边，BE 为斜边上中线，
∴BE = AC.
例2 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD= (180°-120°)=30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
练习&巩固
1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
练习&巩固
2.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若
∠ AOD=60°，OB=4，则DC= ______.
练习&巩固
3.如图，在△ ABC中，∠C=2∠B，点D为BC上一点且AD⊥AB，点E 是BD的中点，连接AE.
求证：∠ AEC=∠ C；
边
角
对角线
对称性
矩的两组对边平行
矩形的两组对角相等
矩形的邻角互补
矩形的对角线互相平分且相等
矩
形
矩形是轴对称图形，对称轴是两条对角线的交点
矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点