1.2.2 矩形的性质与判定 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(二)
1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系.
2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力 .
3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）．
4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）.
情境&导入
有一个角是直角的平行四边形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
性质 边 角 对角线
矩形
矩形的对边平行且相等.
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的四个角都是直角.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC.
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.
∴OA＝OB.∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流.
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM)
＝ ×180°＝90°
在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
1.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
2.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？
拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
3.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
例3.如图在□ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面积.
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC= ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
练习&巩固
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
练习&巩固
2.下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是( )
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
练习&巩固
3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等