1.2.3 矩形的性质与判定 课件（15张PPT）

(共15张PPT)
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(三)
1.掌握矩形的性质及判定方法
2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明（重点）
3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用（难点）
情境&导入
矩形的定义
矩形判定定理
矩形判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
O
E
例1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
例2.如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED=3BE. 求 AE 的长.
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等）
AO =CO= AC，BO =DO = BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD. ∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6=3.
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例3.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形.
例4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？
请直接写出你的结论.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN
= （∠BAC +∠CAM）= ×180°=90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
（2）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF= AB
练习&巩固
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，则DC= ______.
练习&巩固
2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　)
A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
练习&巩固
3.如图，在四边形 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD 且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD 是矩形.
与全等三角形的结合
矩形的性质与判定的综合
与平面直角坐标系的结合
折叠问题