1.3 探索三角形全等的条件（第5课时） 课件（28张PPT）

第1章 · 全等三角形
1.3 探索三角形全等的条件
第5课时　SAS,ASA,AAS的综合应用
学习目标
1.进一步掌握“边角边”、“角边角”和“角角边”判定三角形全等；
2.能灵活应用条件判定两个三角形全等，增强说理能力，进一步提高分析、解决问题的能力.
知识回顾
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}内 容
符号语言（书写格式）
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
∵在△ABC和△DEF中，
????????＝????????,?∠????＝∠????,?????????＝????????.
∴ △ABC ≌ △DEF(SAS).
?
∵在△ABC和△DEF中，
∠????＝∠????,?????????＝????????,?∠????＝∠????.
∴ △ABC ≌ △DEF(ASA)．
?
∵在△ABC和△MNP中，
∠????＝∠????,?∠????＝∠????,?????????＝????????.
∴ △ABC ≌ △DEF(AAS)．
?
温故知新
1.（1）如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD.
∠????=∠????（已知）?∠????=∠????（已知）___________（已知）
?
∴△AOC≌△BOD（ ）
AO＝BO
AAS
A
C
B
D
O
你能想到几种方法?
温故知新
1.（1）如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD.
∠??=∠????（已知）?∠????=∠????（已知）___________（已知）
?
∴△AOC≌△BOD（ ）
CO＝DO
AAS
A
C
B
D
O
温故知新
1.（2）如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD.
∠????=∠????（已知）?___________（已知）∠????=∠????（已知）
?
∴△AOC≌△BOD（ ）
A
C
B
D
O
AC=BD
ASA
温故知新
1.（3）如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD.
??∠????=∠????（已知）?????????＝????????（已知）_________________（已知）
?
∴△AOC≌△BOD（ ）
A
C
B
D
O
∠AOC=∠BOD
ASA
温故知新
1.（4）如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD.
??????????＝????????（已知）??_________________（对顶角相等）__________________（已知）?????????????
?
∴△AOC≌△BOD（SAS）
A
C
B
D
O
∠AOC=∠BOD
????????=????????
复习检测
A
C
B
D
2. 如图，∠ABC＝∠DCB，要证明△ABC≌ △DCB，请添加
一个条件_________，依据是________.
你能想到几种方法?
AB=DC
SAS
∠ACB=∠DBC
ASA
∠A=∠D
AAS
方法总结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①已知两边
思路1-找夹角
思路2-找第三边
（下一课学习）
②已知两角
思路1-找夹边
思路2-找角的对边
③已知一边一角
思路1-找角的另一组邻边
思路2-找边的另一组邻角
思路3-找边的对角
新知探索
D
B
E
A
C
1
2
1. 如图，∠A＝∠B， ∠1＝∠2， EA=EB，你能证明AC=BD吗？
证明:∵ ∠1＝∠2 （已知），
∴ ∠1＋∠BEC＝∠2＋∠BEC，
∴ ∠AEC＝∠BED，
在△EAC和△EBD中，
∠????＝∠?????（已知），????????＝????????（已知），∠????????????＝∠????????????（已证），
∴△EAC≌△EBD（ASA）.
∴AC＝BD．
?
新知探索
A
D
E
B
C
F
2.如图，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗?
证明：∵ AF＝DC (已知)，
∴ AF －FC＝DC－FC，
∴ AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∠????＝∠????（已知），∠????＝∠????（已知），?????????＝????????（已证）.?
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AB＝DE（全等三角形对应边相等）.
?
AB∥DE
例题讲解
例 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB.求证：AB＝CD．
F
B
D
E
A
C
证明:∵EA∥FB，EC∥FD(已知),
∴∠A=∠FBD，∠ECA=∠D
(两直线平行，同位角相等).
在△EAC和△FBD中,
∠????=∠????????????(已证)，∠????????????=∠????(已证),????????=????????(已知).??
∴△EAC≌△FBD(AAS).
∴AC=BD(全等三角形对应边相等)，
即 AB＋BC＝CD＋BC ，
∴AB＝CD (等式性质) ．
?
例题讲解
上面的推理过程可以用符号“?”简明地表述如下：
证明：EA∥FB?∠A＝∠FBD
EC∥FD?∠ECA＝∠D　 ? △EAC≌△FBD
　　　　　 EA＝FB
?AC＝BD?AB＋BC＝CD＋BC
?AB＝CD
新知巩固
1.已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，∠B＝∠C.
求证：DB＝EC .
A
B
C
D
E
O
证明 ：在△ABE和△ACF中
∠????=∠????（公共角），???????????＝????????（已知），∠????＝∠????（已知）.???????
?
∴△ABE≌△ACD（ASA）,
∴AE=AD（全等三角形对应边相等）.
∴AB-AD=AC-AE（等式性质）
即DB=EC.
新知巩固
A
C
B
D
2.已知：如图， ∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2 ，
求证：AB＝DC .
1
2
证明:∵ ∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2 (已知),
∴ ∠ABC-∠1＝∠DCB-∠2 (等式性质)，
即∠ACB＝∠DBC.
在△ABC和△DCB中,
∠????????????＝∠????????????(已知)，????????=????????(公共边),∠????????????＝∠????????????.?(已证).??
∴△EAC≌△FBD(ASA).
∴AB=DC(全等三角形对应边相等)，
?
新知巩固
3. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA∥FD，EC∥FB，EA=FD.
求证：AB=CD.
本题推理过程如下:
?△ACE≌△DBF
?AC=DB?AC-BC=DB-BC?AB=CD
请你根据上述推理过程写出完整的证明过程.
A
E
F
C
C
B
新知巩固
A
E
F
C
C
B
证明:∵EA∥FD，EC∥FB，∴∠EAC=∠FDB，∠ECA=∠FBD.
在△ACE和△DBF中，
∠????????????＝∠????????????，∠????????????＝∠?????????????,????????????＝????????.??????????????
∴△ACE≌△DBF(AAS).
∴AC=DB.
∴AC-BC=DB-BC，
即AB=CD.
?
归纳总结
(1)直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角．
证明三角形全等的“三类条件”:
(2)隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条件.
如：公共边、公共角、对顶角、直角相等.
(3)间接条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角，需要
进一步推理．
①等边、等角加(减)等边、等角,其和(差)相等；
②同角或等角的余(补)角相等；
③根据角平分线、平行线得角相等,由中线的定义得边相等.
课堂小结
先确定已知条件
对照判定三角形全等的基本事实和定理
再确定要证明的条件
当堂检测
1．下列说法：
①全等图形的形状相同、大小相等；
②有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
③一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④全等三角形的对应边上的高相等；
其中正确的说法为( )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
B
当堂检测
2. 如图，点B，D，C，F在同一直线上，AC=DE，AC∥DE，添加一个条件，不能得到△ABC≌△EFD的是( )
A．∠B=∠F B．BD=FC C．∠A=∠E D．AB=EF
D
A
C
B
E
F
D
当堂检测
3.如图，填空：（填SAS、ASA或AAS)
(1)已知AD=AE，∠ADB=∠AEC，利用______可以判定△ABD?△ACE；
(2)已知OE=OD，OB=OC，利用______可以判定△BOE?△COD；
(3)已知∠BEC=∠CDB，∠BCE=∠CBD，利用_____可以判定△BCE?△CBD．
A
B
C
D
E
O
ASA
SAS
AAS
当堂检测
4. 2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，写出可添加的条件并标明依据________________．
(三个字母简写理由，写出一种情况即可)．
∠????????????=∠????????????
?
当堂检测
5.如图，已知AD平分∠BAC ，AB=AC ，则此图中全等三角形有______对．
A
B
C
E
F
D
提示：根据SAS推出△ABD≌△ACD，求出∠B＝∠C，BE＝CF，根据全等三角形的判定推出△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△AFB≌△AEC即可.
4
当堂检测
6. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠C．请找出图中的全等三角形，并证明你的发现．
A
B
C
E
F
D
解：△BDE≌△CEF.证明如下：
∵∠DEF＝∠C，
∠FEB＝∠C＋∠EFC＝∠DEF＋∠BED，
∴∠DEB＝∠CFE.
在△BDE和△CEF中，
∠????＝∠????，∠????????????＝∠?????????????,????????????＝????????.??????????????
∴△BDE≌△CEF.
?
当堂检测
7. 已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
B
N
A
C
M
D
E
1
2
求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
证明：(1)∵∠1＝∠2，
∴∠BAN＝∠CAM，
又∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△ABN≌△ACM（SAS），
∴∠M＝∠N.
当堂检测
7. 已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
B
N
A
C
M
D
E
1
2
求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
证明：(2)∵△ABN≌△ACM，
∴∠B＝∠C，
又∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE.