2.2.1 圆的对称性-圆心角、弧、弦的关系 课件（34张PPT）

(共34张PPT)
2.2.1 圆的对称性
———圆心角、弧、弦的关系
第2章对称图形——圆
教学目标
01
认识圆的对称性，圆既是中心对称图形，也是轴对称图形
03
02
理解圆心角、弧、弦之间的关系，能快速地对三者之间关系的描述进行辨析
理解圆心角的度数与它所对弧的度数的等价关系
圆的对称性
01
复习引入Part1
轴对称图形的概念？中心对称图形的概念？
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
01
复习引入Part1
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
上节课，我们从“一中同长”的角度解释了车轮为什么是圆的
圆形车轮正中心到车轮边上的距离处处相等，行驶起来更平稳，不容易颠簸．
01
复习引入Part2
从旋转的角度来看，轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合。
【总结】一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合（旋转不变形）。
在纸上画O，把O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
01
复习引入Part2
折痕过圆心O。
O
02
二、定义
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
知识精讲
O
圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
02
二、定义
小明老师有个问题想问大家
知识精讲
“圆的直径就是圆的对称轴”这句话正确吗？
O
不正确，
应该是圆的直径所在直线是圆的对称轴
例、判断正误：
(1)圆是中心对称图形，圆心就是对称中心；
(2)圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴；
(3)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径．
03
典例精析
√
√
×，其对称轴是任意一条直径所在直线
圆心角、弧、弦的关系
02
二、定义
知识精讲
一、请同学们完成以下操作 ，并回答问题：
Q2：在O和O’中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’，连接AB和A’B’；
Q1：在两张透明纸片上，分别画半径相等的O和O’；
O
O’
A
B
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
Q3：在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？
O
A
B
通过平移可知：AB=A’B’，
【总结】在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
O
A
B
通过旋转可知：AB=A’’B’’，
Q4：将圆O中的圆心角∠AOB绕点O旋转，旋转后的圆心角记作∠A’’OB’’，连接A’’B’’，你发现了什么？
【总结】在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
A’’
B’’
A’
B’
A’’
B’’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
O
A
B
A’’
B’’
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
小明老师有个问题想问大家
Q：“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等”这句话正确吗？
O
A
B
A’
B’
不正确，
必须强调“在同圆或者等圆中”这个前提条件
02
二、定义
知识精讲
二、在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？
相等；相等。
O
A
B
A’’
B’’
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等。
O
A
B
A’’
B’’
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
小明老师有个问题想问大家
Q：“相等的弧，所对的弦相等，所对的圆心角相等”这句话正确吗？
正确，
相等的弧（等弧）一定是同圆或等圆中的弧，不缺少前提条件
相等的弧（等弧）：
(1)能够互相重合的弧；
(2)在同圆或等圆中，长度相等的弧。
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
三、在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等吗？这两个圆心角相等吗？
优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等；相等。
O
A
B
A’’
B’’
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧（优弧与优弧、劣弧与劣弧）相等，所对的圆心角相等。
O
A
B
A’’
B’’
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
小明老师有个问题想问大家
“在同圆或等圆中，相等的弦所对弧相等”这句话正确吗？
不正确，
应是“在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等”。
O
A
B
O’
A’
B’
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：
(1)“在同圆或等圆中”这个前提条件很重要；
(2)已知一组量为“两条弧相等”，就已经默认了“在同圆或等圆中”；
(3)“在同圆或等圆中”，已知一组量为“两条弦相等”，必须强调“所对的优弧和劣弧分别相等”。
例1、判断正误：
(1)相等的圆心角所对的弧相等；
(2)相等的弧所对的弦一定相等；
(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也一定相等．
03
典例精析
×，在同圆或等圆中
√，相等的弧（等弧）已经默认“在同圆或等圆中”这个前提条件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
例2、(1)若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________°．
03
典例精析
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°×=144°．
144
例2、(2)如图，AB是O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是________°．
03
典例精析
解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°，
又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×(180°-78°)=51°．
51
例3、(1)如图，已知在O中，BC是直径，AB=DC，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．OA=OB=AB B．∠AOB=∠COD
C．= D．O到AB、CD的距离相等
03
典例精析
解∵AB=DC，∴=，∠AOB=∠COD，
∵OA=OB=OC=OD，∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等．
A
例3、(2)如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4，则O的周长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．9π
03
典例精析
解：如图，连接OC、OD，
∵BC=CD=DA=4，
∴==，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，∴O的周长=2×4π=8π．
C
例4、如图，在O中，=2，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＞2CD B．AB=2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
03
典例精析
解：如图，取的中点E，连接AE，BE，
∵在O中，=2，∴==，
∴AE=BE=CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
C
E
圆心角的度数与它所对的弧的度数
02
二、定义
知识精讲
圆心角的度数与它所对的弧的度数
我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
O
1°的弧
1°的圆心角
02
二、定义
知识精讲
圆心角的度数与它所对的弧的度数
一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
O
1°的弧
1°的圆心角
A
B
n°的弧
n°的圆心角
例、若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是__________．
03
典例精析
解：∵弦长等于半径，
∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，
∴弦所对的圆心角是60°，
∴弦多对的劣弧的度数是60°，弦所对的优弧的度数是300°．
60°或300°
课后总结
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：
(1)“在同圆或等圆中”这个前提条件很重要；
(2)已知一组量为“两条弧相等”，就已经默认了“在同圆或等圆中”；
(3)“在同圆或等圆中”，已知一组量为“两条弦相等”，必须强调“所对的优弧和劣弧分别相等”。
一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。