2.2.2 圆的对称性-垂径定理 课件（31张PPT）

2.2.2 圆的对称性
——垂径定理
第2章对称图形——圆
教学目标
01
掌握圆的垂径定理的证明与运用
02
掌握圆的垂径定理的三个推论的证明与运用
垂径定理
01
二、定义
情境引入
请同学们完成以下操作 ，并回答问题：
Q1：画?O和?O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P；
?
O
C
D
A
B
P
二、定义
Q2：在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？
O
C
A
B
P
D
(D)
由翻折可知：PC=PD，????????=????????，????????=????????。
?
01
二、定义
情境引入
Q3：是否还有其他的方法证明：PC=PD，????????=????????，????????=????????？
?
已知：AB是?O的直径，CD是?O的弦，AB⊥CD，垂直为P。
?
O
C
D
A
B
P
解：如图，连接OC、OD，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
????????=????????????????=????????，
∴△OPC?△OPD(HL)，
?
∴PC=PD，∠BOC=∠BOD，
∴????????=????????，∠AOC=∠AOD，
∴????????=????????。
?
01
二、定义
情境引入
02
二、定义
知识精讲
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
O
C
D
A
B
P
符号语言（知二推三）：
AB过圆心(AB为?O的直径)，AB⊥CD
?PC=PD，????????=????????，????????=????????。
?
02
二、定义
知识精讲
弦心距
在一个圆中，圆心到弦的垂线段的长度（或圆心到弦的距离），叫做弦心距。
O
C
D
P
eg：OP的长度
02
二、定义
知识精讲
小明老师有几个问题想问大家
解：设?O的半径为r，
∵CD是?O的弦，OP⊥CD于点P，
∴CP=DP=????????CD（垂径定理），
在Rt△OPC中，OC2=OP2+CP2，
∴r2=OP2+????????CD2。
?
O
C
D
P
Q1：已知：OC是?O的半径，CD是?O的弦，OP⊥CD于点P，问：OC、OP、CD之间的数量关系？
?
02
二、定义
知识精讲
O
C
D
P
半径
弦心距
弦长的一半
半径、弦心距、弦长之间的数量关系：半径2=弦心距2+弦长????????。
?
02
二、定义
知识精讲
解：设?O的半径为r，
∵CD是?O的弦，OP⊥CD于点P，
∴CP=DP=????????CD（垂径定理），
∵OP=r-BP，
在Rt△OPC中，OC2=OP2+CP2，
∴r2=(r-BP)2+(????????CD)2。
?
Q2：已知：OB、OC是?O的半径，CD是?O的弦，OB⊥CD，垂足为P，问：OC、BP、CD之间的数量关系？
?
O
C
D
P
B
例1、(1)在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。AC与BD相等吗？为什么？
03
典例精析
O
B
D
A
C
解：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，CP=DP（垂径定理），
∴AP-CP=BP-DP，
即AC=BD.
P
例1、(2)AB、CD是?O的两条弦，AB∥CD。????????与????????相等吗？为什么？
?
03
典例精析
O
D
B
C
A
解：如图，作OQ⊥AB交?O于点Q，
∵OQ⊥AB，∴????????=????????（垂径定理），
又∵AB∥CD，
∴OQ⊥CD，∴????????=????????（垂径定理），
∴????????-????????=????????-????????，即????????=????????.
?
Q
例2、如图，点C是?O的弦AB上一点．若AC=6，BC=2，AB的弦心距为3，则OC的长为_________.
?
03
典例精析
解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，
由题意可知：OD=3，
∵OD⊥AB，
∴BD=????????AB=????????(AC+BC)=4（垂径定理），
∴CD=BD-BC=2，
在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2=22+32=13，
∴OC=????????.
?
????????
?
D
例3、如图，AB是?O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
?
03
典例精析
解：如图，连接OC，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
∵AB是?O的直径，AB=10，∴OC=5，
∵CD⊥AB ，∴CE=????????CD=3（垂径定理），
∴52=32+OE2，解得：OE=4，
∴AE=OA-OE=5-4=1.
?
A
例4、(1)如图，?O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6，则?O的半径长为_________.
?
03
典例精析
解：如图，连接OD，设?O的半径为r，
在Rt△ODP中，OD2=OP2+DP2，
∵P为半径OB的中点，∴OP=????????r，
∵?O的直径AB垂直弦CD于点P ，
∴DP=????????CD=3（垂径定理），
∴r2=(????????r)2+32，解得：r=2????.
?
2????
?
例4、(2)如图，AB是?O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD＝4????，BE=2，则AB的长是_________.
?
03
典例精析
解：如图，连接OC，设?O的半径为r，
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，
∵BE=2，∴OE=r-2，
∵AB是?O的直径，CD⊥AB ，
∴CE=????????CD=2????（垂径定理），
∴r2=(r-2)2+(2????)2，解得：r=6，∴AB=2r=12.
?
12
垂径定理的推论
一、若已知：AB是?O的直径，CD是?O的弦，AB平分CD交CD于点P，能否推出：AB⊥CD，????????=????????，????????=????????？
?
02
二、定义
知识精讲
解：如图，连接OC、OD，
在△OPC和△OPD中，
????????=????????????????=????????????????=????????，
∴△OPC?△OPD(SSS)，
?
O
C
D
A
B
P
∴∠APC=∠APD，
即AB⊥CD，
根据垂径定理：
∴????????=????????，????????=????????。
?
02
二、定义
知识精讲
垂径定理的推论1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
O
C
D
A
B
P
符号语言（知二推三）：
AB过圆心(AB为?O的直径)，PC=PD
?AB⊥CD，????????=????????，????????=????????。
?
02
二、定义
知识精讲
垂径定理的推论1
注意：若此处的弦CD是直径，则结论不一定成立。
O
C
D
A
B
P
O
C
D
A
B
P
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
二、若已知：AB、CD是?O的弦，AB垂直平分CD交CD于点P，能否推出：AB过圆心，????????=????????，????????=????????？
?
02
二、定义
知识精讲
解：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，
∴O在CD的垂直平分线上，
即O在AB上，
∴AB过圆心(AB为?O的直径)，
?
O
C
D
A
B
P
根据垂径定理或推论1：
∴????????=????????，????????=????????。
?
02
二、定义
知识精讲
垂径定理的推论2
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
O
C
D
A
B
P
符号语言（知二推三）：
AB⊥CD，PC=PD
?AB过圆心(AB为?O的直径)，????????=????????，????????=????????。
?
三、(1)若已知：AB是?O的直径，????????=????????，连接CD交于AB点P，能否推出：AB⊥CD，PC=PD，????????=????????？
?
02
二、定义
知识精讲
解：如图，连接OC、OD、BC、BD，
∵AB是?O的直径，????????=????????，
∴BC=BD，????????-????????=????????-????????，即????????=????????，
又∵OC=OD，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，PC=PD。
?
O
C
D
A
B
P
三、(2)若已知：AB是?O的直径，????????=????????，连接CD交于AB点P，能否推出：AB⊥CD，PC=PD，????????=????????？
?
02
二、定义
知识精讲
解：连接OC、OD、BC、BD，
∵AB是?O的直径，????????=????????，
∴????????-????????=????????-????????，即????????=????????，
∴BC=BD，
?
O
C
D
A
B
P
又∵OC=OD，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，PC=PD。
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
垂径定理的推论3
平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
符号语言（知二推三）：
(1)AB过圆心(AB为?O的直径)，????????=????????，
?AB⊥CD，PC=PD，????????=????????；
(2)AB过圆心(AB为?O的直径)，????????=????????，
?AB⊥CD，PC=PD，????????=????????。
?
O
C
D
A
B
P
02
二、定义
知识精讲
圆心角、弧、弦的关系
垂径定理及其推论
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①AB过圆心(AB为O的直径)，②AB⊥CD，③PC=PD，④=，⑤=（知二推三）
文字语言
符号语言
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
①②?③④⑤
推论1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①③?②④⑤
推论2
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
②③?①④⑤
推论3
平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
①④?②③⑤
或①⑤?②③④
O
C
D
A
B
P
例1、如图，OA，OB，OC都是?O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
?
03
典例精析
解：∵OB是?O的半径，AD=CD=8，
∴OB⊥AC（推论1），
在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2=82+62=100，
∴OA=10，∴OB=10，
∴BD=10-6=4．
?
B
例2、(1)如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=6，则弧CED所在圆的半径为_________.
03
典例精析
解：设弧CED所在圆的半径为r，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过圆心O，CM=????????CD=2（推论2），
如图，连接OC，
∵EM=6，∴OM=6-r，
在Rt△OCM中，OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2，解得：r=????????????．
?
????????????
?
例2、(2)如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为_________.
03
典例精析
解：如图，分别作弦AB、AC的垂直平分线，
设两条垂直平分线的交点为D，
根据垂径定理的推论2，点D即所求，坐标为：(2，0)．
(2，0)
D
课后总结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①AB过圆心(AB为O的直径)，②AB⊥CD，③PC=PD，④=，⑤=（知二推三）
文字语言
符号语言
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
①②?③④⑤
推论1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①③?②④⑤
推论2
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
②③?①④⑤
推论3
平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
①④?②③⑤
或①⑤?②③④
O
C
D
A
B
P
在一个圆中，圆心到弦的垂线段的长度（或圆心到弦的距离），叫做弦心距。
半径、弦心距、弦长之间的数量关系：半径2=弦心距2+弦长????????。