11.2.1.1 三角形的内角和 课件（27张PPT）
文档属性
| 名称 | 11.2.1.1 三角形的内角和 课件（27张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 35.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-21 09:53:29 | ||
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文档简介
第11章
三角形
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
11.2.1.1
三角形的内角和
情景导入
思考：三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？
我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关.
证明方法一：度量法
30°
45°
45°
60°
90°
90°
情景导入
思考：三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？
我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关.
证明方法二：拼凑法
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
新知探究
证明结论：三角形的内角和为180°.
证明方法三：推理验证法（1）
求证：∠A+∠B+∠C=180°
已知：△ABC.
方法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
1
2
新知探究
证明结论：三角形的内角和为180°.
证明方法三：推理验证法（2）
求证：∠A+∠B+∠C=180°
已知：△ABC.
方法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
C
B
A
E
D
1
2
新知探究
证明结论：三角形的内角和为180°.
证明方法三：推理验证法（3）
方法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°
∠AED+∠EDF=180°
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
C
B
A
E
D
F
新知探究
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
思考：同学们还有其他的方法吗？
新知探究
三角形的内角和定理
即∠A+∠B+∠C=180°.
三角形内角和等于180°.
C
B
A
帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家。早在300多年前，他12岁时，就独立发现了任何三角形的内角和都是180°。
思路总结
辅助线
新知探究
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
典例精析
例1
求出下列各图中的 x 值.
x = 70
x = 60
x = 30
x = 50
典例精析
例2
如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC．
求∠ADC 的度数.
解：∵∠B = 42°，∠C = 78°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠BAC = 30°.
∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°.
典例精析
例3
解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
归纳总结
事实上，
在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°,
在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°,
而∠AFE=∠CFD，
故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD.
由三角形的内角和定理
易得∠A +∠B =∠C +∠D.
这样的模型我们称之为“八字型”.
归纳总结
常见的模型
由三角形的内角和定理易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4.
典例精析
例4
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B 和∠C.
解：设∠C 为 x°，则∠B 为 2x°，
从而有
x + 2x + 60＝180.
解得 x＝40.
∴ 2x＝80.
答：∠C，∠B的度数分别为 40°，80°.
几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想.
典例精析
例4-变式1
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2=20°
∴∠AOC=130°.
∵∠BAC=60°(已知)，
∴ ∠1=30°(等式的性质).
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
（三角形的内角和等于180°）.
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
典例精析
例4-变式2
在△ABC中，已知∠BAC+∠BCA=110°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,
∴∠AOC=125°.
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）=55°
典例精析
例4-变式3
在△ABC中，已知∠B=80°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,
∴∠AOC=130°.
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）= （180°- 80°）=50°，
典例精析
例4-变式4
在△ABC中，已知∠AOC=120°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠B 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,且∠AOC=120°
∴∠1+∠2=60°，
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
而在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠BAC+∠BCA=2(∠1+∠2)=120°，
∴∠B=60°.
而在△ABC 中，
∠BAC+∠BCA+∠B=180°
典例精析
例4-变式5
在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,
∴∠AOC=180°- （180°- x°）=90°+ x° .
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）= （180°- x°），
当堂检测
2. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC
按角分是_______三角形.
1. 在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C = °.
3. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则
∠A = °， ∠B = °，∠C = °.
102
直角
60
50
70
4. 如图，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______°.
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280
当堂检测
5. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数．
解：∵∠A +∠ADE = 180°，
∴ AB∥DE.
∴∠CED =∠B = 78°.
又∵∠C = 60°，
∴∠EDC = 180° - (∠CED +∠C )
= 180° - (78°+ 60°) = 42°.
当堂检测
6.如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝40°，∠B＝80°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵ CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝ 12∠ACB＝30°.
∵ DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝70°.
?
当堂检测
7.如图，在△ABC 中，∠A＝12∠B＝13∠ACB，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的平分线，求∠DCE 的度数．
?
解：由于∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
故可设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴ x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°.
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵ CD 是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵ CE 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°.
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
当堂检测
8.如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数.
解：如图，由题意得 BE∥AD，∠BAD = 40°，
∠CAD = 15°，∠EBC = 80°，
∴∠EBA =∠BAD = 40°，
∠BAC = 40° + 15° = 55°.
∴∠CBA =∠EBC -∠EBA = 80° - 40° = 40°.
∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠ABC
= 180° - 55° - 40° = 85°.
D
E
归纳总结
三角形内角和
常见模型
八字型、
角平分线模型
内角和定理
三角形的内角和为180°.
证明方法
了解添加辅助线的方法及其目的
三角形的内角和
归纳总结
三角形
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
11.2.1.1
三角形的内角和
情景导入
思考：三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？
我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关.
证明方法一：度量法
30°
45°
45°
60°
90°
90°
情景导入
思考：三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？
我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关.
证明方法二：拼凑法
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
新知探究
证明结论：三角形的内角和为180°.
证明方法三：推理验证法（1）
求证：∠A+∠B+∠C=180°
已知：△ABC.
方法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
1
2
新知探究
证明结论：三角形的内角和为180°.
证明方法三：推理验证法（2）
求证：∠A+∠B+∠C=180°
已知：△ABC.
方法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
C
B
A
E
D
1
2
新知探究
证明结论：三角形的内角和为180°.
证明方法三：推理验证法（3）
方法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°
∠AED+∠EDF=180°
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
C
B
A
E
D
F
新知探究
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
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思考：同学们还有其他的方法吗？
新知探究
三角形的内角和定理
即∠A+∠B+∠C=180°.
三角形内角和等于180°.
C
B
A
帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家。早在300多年前，他12岁时，就独立发现了任何三角形的内角和都是180°。
思路总结
辅助线
新知探究
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
典例精析
例1
求出下列各图中的 x 值.
x = 70
x = 60
x = 30
x = 50
典例精析
例2
如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC．
求∠ADC 的度数.
解：∵∠B = 42°，∠C = 78°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠BAC = 30°.
∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°.
典例精析
例3
解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
归纳总结
事实上，
在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°,
在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°,
而∠AFE=∠CFD，
故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD.
由三角形的内角和定理
易得∠A +∠B =∠C +∠D.
这样的模型我们称之为“八字型”.
归纳总结
常见的模型
由三角形的内角和定理易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4.
典例精析
例4
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B 和∠C.
解：设∠C 为 x°，则∠B 为 2x°，
从而有
x + 2x + 60＝180.
解得 x＝40.
∴ 2x＝80.
答：∠C，∠B的度数分别为 40°，80°.
几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想.
典例精析
例4-变式1
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2=20°
∴∠AOC=130°.
∵∠BAC=60°(已知)，
∴ ∠1=30°(等式的性质).
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
（三角形的内角和等于180°）.
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
典例精析
例4-变式2
在△ABC中，已知∠BAC+∠BCA=110°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,
∴∠AOC=125°.
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）=55°
典例精析
例4-变式3
在△ABC中，已知∠B=80°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,
∴∠AOC=130°.
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）= （180°- 80°）=50°，
典例精析
例4-变式4
在△ABC中，已知∠AOC=120°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠B 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,且∠AOC=120°
∴∠1+∠2=60°，
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
而在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠BAC+∠BCA=2(∠1+∠2)=120°，
∴∠B=60°.
而在△ABC 中，
∠BAC+∠BCA+∠B=180°
典例精析
例4-变式5
在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数．
O
E
B
D
C
A
1
2
同理∠2= ∠BCA,
∴∠AOC=180°- （180°- x°）=90°+ x° .
解：
∵AD是△ABC的角平分线(已知)，
∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义).
在△AOC 中，
∠1+∠2+∠AOC=180°
记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2，
∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）= （180°- x°），
当堂检测
2. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC
按角分是_______三角形.
1. 在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C = °.
3. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则
∠A = °， ∠B = °，∠C = °.
102
直角
60
50
70
4. 如图，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______°.
B
A
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E
40°
（
280
当堂检测
5. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数．
解：∵∠A +∠ADE = 180°，
∴ AB∥DE.
∴∠CED =∠B = 78°.
又∵∠C = 60°，
∴∠EDC = 180° - (∠CED +∠C )
= 180° - (78°+ 60°) = 42°.
当堂检测
6.如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝40°，∠B＝80°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵ CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝ 12∠ACB＝30°.
∵ DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝70°.
?
当堂检测
7.如图，在△ABC 中，∠A＝12∠B＝13∠ACB，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的平分线，求∠DCE 的度数．
?
解：由于∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
故可设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴ x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°.
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵ CD 是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵ CE 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°.
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
当堂检测
8.如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数.
解：如图，由题意得 BE∥AD，∠BAD = 40°，
∠CAD = 15°，∠EBC = 80°，
∴∠EBA =∠BAD = 40°，
∠BAC = 40° + 15° = 55°.
∴∠CBA =∠EBC -∠EBA = 80° - 40° = 40°.
∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠ABC
= 180° - 55° - 40° = 85°.
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E
归纳总结
三角形内角和
常见模型
八字型、
角平分线模型
内角和定理
三角形的内角和为180°.
证明方法
了解添加辅助线的方法及其目的
三角形的内角和
归纳总结