24.5 相似三角形的性质 课件（43张PPT）

(共43张PPT)
24.5相似三角形的性质
第24章 相似三角形
沪教版 九年级第一学期
相似三角形对应高、角平分线、中线的比
相似三角形对应面积的比
相似三角形对应周长的比
01
03
02
CONTANTS
目 录
相似三角形对应高、角平分线、中线的比
01
A
C
B
A1
C1
B1
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
回顾引入
　
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽ △A1B1C1
回顾引入
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
问题引入
如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
探究新知
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
相似；三边对应成比例；相似比为1:2.
3cm
探究新知
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′对应高AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？
解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′
∵△ABD和△A′B′D′是直角三角形
∴∠ADB＝∠ A′D′ B′ ＝90°
∴△ABD∽△A′B′D′ ，相似比为k
探究新知
归纳总结
相似三角形的对应高线之比等于相似比.
ΔABC∽ΔA′B′C′
∵
∴
几何语言：
探究新知
如图：已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′ ；E、E′分别为BC、B′C′的中点。试探究AD与 A′D′的比值关系，AE与A′E′呢？
A
B
C
D
E
A/
B/
C/
D/
E/
探究新知
解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴△ABD∽△A′B′D′
探究新知
A
B
C
E
A/
B/
C/
E/
解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴△ABE∽△A′B′E′
探究新知
归纳总结
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
几何语言：
探究新知
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
归纳总结
注意：相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序。
探究新知
1 已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为(　　)
A. B. C. D.
A
2 如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，则AF∶AG 为(　　)
A．2∶5
B．5∶2
C．5∶1
D．1∶5
A
巩固练习
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD 于点E，F，G， AD＝15，求AG 的长.
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴ AD⊥EF.
∴
又∵ AD＝15，∴
∴ AG＝9.
例题1
解：
典型例题
相似三角形对应周长的比
02
问题
　　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米. 现在的问题是：它的周长是多少？
探究新知
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ 由比例的性质可
解：
将上面生活中的问题转化为数学问题是：
如图，已知DE∥BC，AB＝30m，BD＝18m，△ABC
的周长为80m，求△ADE 的周长.
探究新知
又∵△ADE 的周长＝AD＋AE＋DE，
△ABC 的周长＝AB＋AC＋BC，
∴
∴△ADE 的周长＝32米.
探究新知
总结：相似三角形周长的比等于相似比.
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC 的周长之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
例题2
A
典型例题
导引：
在Rt△ABC 中，∠A＋∠B＝90°；
在Rt△BCD 中，∠BCD＋∠B＝90°，
所以∠BCD＝∠A.
又因为∠B＝∠B，所以△BCD∽△BAC.
在Rt△ABC 中，∠A＝30°，
所以 则△BCD与△ABC 的周长比等于相
似比
探究新知
　　相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如果是相似图形求周长就常用到周长比等于相似比.
探究新知
1. △ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
C
2. 已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC 的周长为18，则△DEF 的周长为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．54
C
巩固练习
相似三角形对应面积的比
03
问题
　　相似三角形面积的比，与它们的相似比之间有什么关系呢？
探究新知
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′ 分别为BC，B′C′边上的高.
(1)△ABC的面积和△A′B′C′的面积的比与他们的相似比有什么关系 请说明理由.
探究新知
因为
所以
即△ABC与△A′B′C′的面积之比等于相似比的平方.
探究新知
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注意：学会此性质的逆用。
探究新知
如图，在△ABC 中，D，E，F分别为BC，AC，AB 边的中点. 求：
(1)△DEF 的周长与△ABC 的周长之比.
(2)△DEF 的面积与△ABC 的面积之比.
例题3
典型例题
解：
∵D，E，F分别为BC，AC，AB 的中点，
∴ DE∥AB, EF∥BC，DF∥AC,
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF 的周长与△ABC 的周长之比为1∶2，
△DEF 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4.
典型例题
A
C
课堂练习
C
课堂练习
B
课堂练习
D
课堂练习
6.如图，在△ABC中DE∥BC，AD=3BD, S△ABC=48. 求S△ADE.
解:∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
课堂练习
7.如图，AD是△ABC的高，点P,Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm,AD=40cm,四边形PQRS是正方形.求正方形PQRS的边长.
解:四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴△ASR∽△ABC
∴
设正方形PQRS的边长为xcm,则AE=(40-x)cm.即 ，解得x=24
正方形PQRS的边长为24cm.
课堂练习
8.如图，点E是正方形ABCD的边DC的中点，以AE为边作正方形AEHG， HE与BC交于点Q，连接AQ.
(1)求证:△ADE∽△ECQ;
(2)设S△CEQ=S1, S△AED=S2, S△EAQ=S3, 求证:S1+S2=S3.
证明:∵四边形ABCD与四边形AEHG是正方形∴∠ADE=∠ECQ=90°，∠AEH=90°
∴∠AED+∠DAE=90°，∠AED+∠CEQ=90°
∴∠DAE=∠CEQ
∴△ADE∽△ECQ
课堂练习
(2)设S△CEQ=S1, S△AED=S2, S△EAQ=S3, 求证:S1+S2=S3.
证明:∵△ADE∽△ECQ
∴
∵DE=CE,
∴
∵∠AEG=∠ECQ=90°
∴△AEQ∽△ECQ
∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE
∴
课堂练习
(2)设S△CEQ=S1, S△AED=S2, S△EAQ=S3, 求证:S1+S2=S3.
∴
∵
∴
∴
课堂练习
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形对应周长的比等于相似比
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方
课堂小结
感谢观看