24.6 实数与向量相乘 课件（14张PPT）

(共14张PPT)
24.6实数与向量相乘
第24章 相似三角形
沪教版 九年级第一学期
实数与向量相乘
01
添加标题
Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.
添加标题
Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.Click here to enter your text.
我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量.特别地，给定一个向量 a，3 个 a 相加 a + a + a 的结果，是一个模为 3 a 、
方向与 a 相同的向量，如图所示（1），通常这个向量简记为 3a，即 a + a + a = 3a ；3 个 a 相加 a a a 的结果，是一个模为 3 a 、方向与 a 相反的向量，如图（2）所示，通常这个向量简记为 3a，即 a a a = 3a.
a
3a
（1）
a
3a
（2）
探究新知
你能根据上述实例，给出实数 λ 与任意一个向量 a 的乘积 λa 的定义吗？
一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积是一个向量，记作 λa，其中：
（1）当 且 a ≠ 0 时，λa 的模为 λ a ，而且 λa 的方向如下：
① 当 λ＞0 时，与 a 的方向相同；
② 当 λ＜0 时，与 a 的方向相反.
（2）当 λ = 0 或 a = 0 时，λa = 0.
探究新知
上述实数 λ 与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量.由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即 λa ∥a；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地，一个向量的相反向量可以看成
1 与这个向量的乘积，即 a = 1 a.
当 λ 和 μ 都是实数，且 a 是向量时： μa 是向量， λ μa 也是向量； λμ 是实数， 但 λμ a 是向量.可以看出
λ μa = λμ a .
探究新知
例如，
a a a ，
.
由此可知， 写成 也不会产生歧义.以后我们常将 简单地写成 λμa.
数乘向量的定义说明，如果存在实数 λ，使得 b = λa，则b∥a .
探究新知
例1
已知 ， ，判断 a 与 b 是否平行，并求 的值 .
解
由 得 ，代入 得 .
因此 a∥b，且 ，即 .
典型例题
利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形.例如，
当 时，A，B，C 三点一定共线，而且点 B 为线段 AC 的中点；当 时，M，N，O 三点共线，而且 N 为线段 OM 的一个三等分点，如图所示
●
●
●
A
B
C
●
●
●
O
N
M
一般地，如果存在实数 λ，使得 ，则 与 平行且有公共点 A，从而 A，B，C 三点一定共线.
探究新知
例2
已知 ， ，判断 A，B，C 三点是否共线.如果共线，求出 .
解
由已知可得
，
因此 A，B，C 三点共线，且 ，即
.
典型例题
向量的有关概念辨析
02
向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个____，这种运算叫做向量的____，
记作_____，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝________．
(2)λa(a≠0)的方向
1．
向量
数乘
λa
|λ||a|
当______时，与a方向相同
当______时，与a方向相反
;
λ>0
λ<0
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝____或λ0　＝____．
平行向量
(1)平行向量：方向__________的____向量叫做平行向量．
(2)平行向量的条件：
2．
0
0
相同或相反
非零
探究新知
两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的_____倍．
零向量的方向
零向量的方向是______，零向量与所有的向量____．
向量与实数的乘法运算律
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.
(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa＋λb.
单位向量：长度为_的向量称为单位向量，已知a，则a0＝
3．
4．
5．
实数
任意的
平行
1
.
探究新知
提示　表面看来，好像不共线，但眼见不一定为实，还得要让计算来说明问题．
探究新知
方法小结：
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.
3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
探究新知