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1.2 空间向量的基本定理
考点一 基底的判断
【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
【答案】C
【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.
2．（2018·全国高二课时练习）设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.
选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.
3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若构成空间的一组基底，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴
∵，∴
∵，∴故选A
考点二 基底的运用
【例2】（2019·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为的中点，
．
故选：．
【一隅三反】
1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接
分别为中点
故选：
2．（2019·中央民族大学附属中学高二月考）在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为， 故选B
3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由共面知，故选：
考点三 基本定理的运用
【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）连接,，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形
且
又为线段中点
在中
（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
由（1）可知
平行四边形中
故：
故：对角线的长为：.
（3），
又
【一隅三反】
1．（2019·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵是PC的中点，
∴
（2）
.
2．（2017·陕西新城。西安中学高二期中（理））如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）
，同理可得，
．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
异面直线与所成角的余弦值为．
3．（2020·安徽宿州.高二期末（理））已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
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1.2 空间向量的基本定理
考点一 基底的判断
【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
2．（2018·全国高二课时练习）设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A． B．
C． D．
3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若构成空间的一组基底，则( )
A． B．
C． D．
考点二 基底的运用
【例2】（2019·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·中央民族大学附属中学高二月考）在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（ ）
A． B． C． D．
考点三 基本定理的运用
【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
【一隅三反】
1．（2019·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
2．（2017·陕西新城。西安中学高二期中（理））如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
3．（2020·安徽宿州.高二期末（理））已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
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