2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是二元一次方程的为( )
A. B. C. D.
2. 要组成一个三角形，三条线段长度可取( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的( )
A. 全等形
B. 稳定性
C. 灵活性
D. 对称性
5. 如图，亮亮书上三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( )
A.
B.
C.
D.
6. 关于，的二元一次方程组的解是，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是( )
A. 三边形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
8. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 小明在文化用品超市购买单价为元的签字笔和单价为元的笔记本，一共花了元，则购买方案有种．( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：；；；其中正确的有个．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 把二元一次方程化成用含的式子表示的形式，则______．
12. 如果，那么______用“”或“”填空．
13. 已知一组数据，，，的平均数是，则的值为______ ．
14. 若点在第二象限，则的取值范围是______ ．
15. 中，，，则 ______ 度．
16. 定义运算“”，规定，其中、为常数，若，，则 ______ ．
17. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点即跷跷板的中点至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是______．
18. 某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有道题，规定答对一题得分，答错或者不答扣分，在这次竞赛中小明要不低于分，则他至少需要答对______道题．
19. 已知、分别为的高线和角平分线，，，则 ______ 度
20. 如图，在中，平分，，若：：，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
解方程组：；
解不等式，并在数轴上表示解集．
22. 本小题分
如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为，点，点，点在小正方形的顶点上．
画出中边上的高；
画出中边上的中线；
直接写出的面积为______．
23. 本小题分
香坊区某学校开展读书活动，为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天的阅读时间单位：分钟将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下的统计表及如图所示的统计图不完整：
平均每天阅读时间统计表
等级 人数频数
请根据图表中的信息，解答下列问题：
求的值．
这组数据的中位数所在的等级是______ ．
学校拟将平均每天阅读时间不低于分钟的学生评为“阅读达人”，并予以表扬若全校学生以人计算，估计受表扬的学生有多少人．
24. 本小题分
如图，已知≌，，与交于点．
求的度数；
如图，连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形不包括已知全等三角形
25. 本小题分
香坊区某校开展大课间活动，某班需要购买，两种跳绳，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元．
购买根种跳绳和根种跳绳各需多少元？
若班级计划购买，两种跳绳共根，所花费用不多于元，那么该班最少购买种跳绳多少根？
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，的坐标为，实数、满足，连接，．
求和的值；
如图，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿着线段方向向终点运动，连接，若的面积为，运动时间为秒，求与之间的关系式；
如图，在的条件下，过作轴垂线交延长线于点，点在上，若，，求此时的点坐标．
27. 本小题分
在中，，线段、分别平分、交于点．
如图，求的度数；
如图，求证：；
如图，过点作交延长线于点，连接，点在延长线上，连接交于点，使，若：：，，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：只有一个未知数，故A选项不符合题意；
B.，选项符合题意；
C.不是整式，且没有等号，故C选项不符合题意；
D.的次数是，故D选项不符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．
本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：中，，，能构成三角形；
中，，不能构成三角形；
中，，不能构成三角形；
中，，不能构成三角形．
故选：．
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要满足这个关系就能构成三角形．
本题主要考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是掌握三角形的三边关系．
3.【答案】
【解析】解：由可得，
，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：．
根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：把代入方程组得：，
解得：，
则．
故选：．
把与的值代入方程组计算求出与的值，即可求出的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值．
7.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
，
，
故选：．
设这个多边形的边数为，然后根据多边形的内角和与外角和可得：，进行计算即可解答．
本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：关于的不等式组的解集为，
，
故选：．
根据求不等式组解集的规律得出答案即可．
本题考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设购买支签字笔，本笔记本，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故选：．
设购买支签字笔，本笔记本，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：是的角平分线，
，
于点，交于点，
，
在和中，
，
≌，
，，
故正确；
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，即，
故正确；
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
故正确；
，，
，
故正确，
故选：．
由是的角平分线，得，由于点，交于点，得，而，即可证明≌，得，，可判断正确；因为，所以，则，再证明≌，得，可判断正确；由，，得，所以，则，，所以，则，可判断正确；由，，得，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明≌及≌是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：方程，
移项，得，
解得，
故答案为：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，所以．
故答案是：．
根据不等式的性质分析．
本题考查了不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据算术平均数的计算公式：计算即可．
本题考查的是算术平均数，熟记算术平均数的计算公式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点在第二象限，
，
解得：．
故答案为：．
根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出不等式组的解集即可确定出的范围．
此题考查了解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理，解答此题的关键是根据题意列出方程组进行求解，体现了方程的思想．
根据三角形内角和定理可知，再根据，，即可求出的度数．
【解答】
解：，，
，
，
得，，即，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
两式相加得：，
．
故答案为：．
由题意可得到关于，的二元一次方程组，解方程组得出，，从而可求解．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
17.【答案】
【解析】解：在与中，
，
≌，
，
小明离地面的高度是，
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，熟练正确运用全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设需要答对道题，
根据题意得：，
解得，
他至少需要答对道题，
故答案为：．
设需要答对道题，根据小明要不低于分得：，解得他至少需要答对道题．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：依照题意，画出图形，如图所示．
在中，，，
，
是的平分线，
．
又是边上的高，
，
，
．
故答案为：．
在中，利用三角形的内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是边上的高，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数．
本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：延长交于，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
：：，
：：，
：：，
：：，
，
．
故答案为：．
延长交于，由角平分线定义得到，又，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形面积公式求出的面积，由：：，得到：：求出，即可得到．
本题考查角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是延长交于，证明，得到，由三角形面积公式即可解决问题．
21.【答案】解：，
，得，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：
这个方程组的解为；
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为，得，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】利用加减消元法求解即可；
根据解一元一次不等式组的基本步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为解出不等式的解集，在数轴上表示出解集即可．
本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式、在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题关键．
22.【答案】
【解析】解：如图所示，线段即为所求；
如图所示，线段即为所求；
．
故答案为：．
根据三角形高线的定义画出图形即可；
根据三角形中线的定义画出图形即可；
根据三角形的面积公式计算即可．
此题主要考查了应用设计与作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意得；
因为把个学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的两个数均落在等级，
所以这组数据的中位数所在的等级是；
故答案为：；
被抽查的人中，不低于分钟的学生有人，
人，
答：估计受表扬的学生约有人．
用乘等级所占百分比即可得出的值；
根据中位数的定义解答即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体以及中位数，解题的关键是掌握“频率频数总数”和中位数的定义．
24.【答案】解：≌，
，
在中，，
，
；
≌，
，，，，，
，，
≌，
≌，
，，，
≌，≌．
【解析】根据全等三角形的性质解答即可；
根据全等三角形的判定解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等和对应角相等解答．
25.【答案】解：设购买根种跳绳元，根种跳绳元．
由题意得：，
解得：，
答：购买根种跳绳元，根种跳绳元．
设该班购买种跳绳根，则购买种跳绳根．
，
解得：，
答：该班最少购买种跳绳根．
【解析】设购进一根种跳绳需元，购进一根种跳绳需元，根据“购进根种跳绳和根种跳绳共需元；购进根种跳绳和根种跳绳共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程组即可；
设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，利用总价单价数量，结合总价不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26.【答案】解：解方程组，
解得：，；
过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
与之间的关系式为；
延长交轴于点，
，
，
，
又，
，
≌，
，，
过点作延长线于点，点作于点，
，
又，
≌，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
≌，
，
，，
，
，
过点作轴交轴于点，交于点，过点作轴于点，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，，
．
【解析】根据，解得、；
过点作于点，由，，得出，，因，则，又因为，则，因为，，则，根据，求出；
延长交轴于点，过点作延长线于点，点作于点，过点作于点，过点作轴交轴于点，交于点，过点作轴于点，由，，得，根据判定≌，得出，，再因，又因为，判定≌，推出，又，判定≌，则，因为，则，得出，推出，根据，得出≌，则，根据，，推出，因为，则，设，，则，则，根据，推出，则，，则．
本题考查三角形综合应用，一次函数，三角形全等的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
27.【答案】解：在中，
，
，
，
平分、平分，
，，
，
在中，
，
；
证明：作平分交于点，
，
，，
≌，
，
，，
≌，
，
；
解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，作于点，于点，于点，
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
平分，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
由得，
≌，
，
，
，
，
≌，
，
：：，
：：，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】由，得出，因为平分、平分，则，，则，因为，则，
作平分交于点，因为，根据判定≌，推出，又因，，推出≌，则，推出；
作交延长线于点，交延长线于点，于点，因为平分，则，根据，得，又因，得出，则平分，因为，，所以，根据平分，，，得出，则，则平分，因为，则，则，由得，推出，又因，，，推出，由得，推出，，因为，，则，得出≌，则，因为：：，则：：，作于点，于点，于点，因为，则，则，，，则，则，则．
本题考查三角形综合，三角形全等的判定，三角形的面积，角平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键．
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