2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合 ，，则( )
A. B. C. D.
2. 从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为( )
A. B. C. D.
3. 已知，，，那么( )
A. B. C. D.
4. 如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6. 如图、、分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，，，那么，，之间的关系为( )
A. B. C. D.
7. 已知等比数列的首项和公比相等，那么数列中与一定相等的项是( )
A. B. C. D.
8. 已知是函数的极小值点，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 在函数，，，中，导函数值不可能取到的是( )
A. B. C. D.
10. 已知有件产品，其中件正品，件次品，每次从中随机取出件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为( )
A. B. C. D.
11. 声压级是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为分贝人类产生听觉的最低声压为微帕，通常以此作为声压的基准值声压级的计算公式为：，其中是测量的有效声压值，声压的基准值，由公式可知，当声压时，若测得某住宅小区白天的值为，夜间的值为，则该小区白天与夜间的有效声压比为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，
当时，在区间上单调递减；
当时，有两个极值点；
当时，有最大值．
那么上面说法正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知数列的首项，且，那么 ______ ；数列的通项公式为 ______ ．
14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______ ．
15. 设函数为常数，若在单调递增，写出一个可能的值______ ．
16. 幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受为研究男生与女生的幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据：
幸福 不幸福 总计
男生
女生
总计
由此计算得到，已知，根据小概率值的独立性检验，______ 填“可以”或“不能”认为男生与女生的幸福感有差异；根据小概率值的独立性检验，______ 填“可以”或“不能”认为男生与女生的幸福感有差异．
17. 盲盒，是一种新兴的商品商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时不知道自己买到的是哪一款商品现有一商家设计了同一系列的、、三款玩偶，以盲盒形式售卖，已知、、三款玩偶的生产数量比例为：：以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为______ ．
18. 设，给出下列四个结论：
不论为何值，曲线总存在两条互相平行的切线；
不论为何值，曲线总存在两条互相垂直的切线；
不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线互相平行；
不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线为同一条直线．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单．
Ⅰ一共有多少种不同的出场阵容？
Ⅱ若队员因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
20. 本小题分
已知是定义在上的奇函数，当时，．
Ⅰ求在上的解析式；
Ⅱ当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
近年来，为改善城市环境，实现节能减排，许多城市出台政策大力提倡新能源汽车的使用根据中国汽车流通协会的发布会报告，将年月、月新能源乘用车市场销量排名前十的城市及其销量统计如表：
表
年月
排名 城市 销量
上海
深圳
成都
杭州
郑州
广州
重庆
西安
天津
苏州
表
年月
排名 城市 销量
上海
杭州
深圳
广州
郑州
成都
重庆
北京
苏州
西安
Ⅰ从月、月这两个月中随机选出一个月，再从选出这个月中新能源乘用车市场销量排名前十的城市中随机抽取一个城市，求该城市新能源汽车销量大于的概率；
Ⅱ从表、表的个城市中随机抽取个不同的城市，设这两个城市中月排名比月上升的城市的个数为，求的分布列及数学期望．
22. 本小题分
已知函数，．
Ⅰ若，求在区间上的最大值和最小值；
Ⅱ设，求证：恰有个极值点；
Ⅲ若，不等式恒成立，求的最小值．
23. 本小题分
已知数列满足，．
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ求数列的通项公式；
Ⅲ若数列满足，对任意的正整数，是否都存在正整数，使得？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
解不等式得集合，根据交集的定义写出．
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用．
2.【答案】
【解析】解：平面坐标系中坐标的横坐标和纵坐标位置不同，
横坐标有种，纵坐标有种，则共有种不同的点．
故选：．
利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知，
所以，
又，
所以，
因为，
所以．
故选：．
由题意，根据对数函数和指数函数的性质进行求解即可．
本题考查对数值的大小比较，考查了逻辑推理和运算能力．
4.【答案】
【解析】解：曲线在点处的切线经过原点，
，又，
．
故选：．
由已知利用两点求斜率公式可得，由题意知，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
的系数为，
故选：．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由散点图可知，图和图是正相关，相关系数大于
图是负相关，相关系数小于
又图和图的点相对集中，
所以相关性更强，
此时接近于，接近于，
所以．
故选：．
由题意，根据所给散点图，先判断是正相关还是负相关，再根据点的集中程度分析相关系数的大小．
本题考查了相关系数，考查了逻辑推理和数据分析．
7.【答案】
【解析】解：等比数列中，首项和公比相等，则有，
，，
，，，
则．
故选：．
直接代入通项公式即可判断各个选项．
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
解得或，
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
易知当时，函数取得极大值，不符合题意；
当，即时，恒成立，
所以函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
易知当时，函数取得极小值，符合题意，
综上，的取值范围为．
故选：．
由题意，对函数进行求导，分别讨论当，和这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，当时，有；
对于，，，当时，有；
对于，，，存在的值，使得，符合题意；
对于，，，由于，则有，导函数值不可能取到．
故选：．
根据题意，依次求出个函数的导数，分析可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设事件表示“第一次取得次品”，事件表示“第二次取得正品”，
则，，
所以．
故选：．
利用条件概率公式求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意知，中，是测量的有效声压值，；
当声压时，，所以，所以，
白天的值为，夜间的值为，
则该小区白天与夜间的有效声压比为．
故选：．
根据题意得出，求出声压的解析式，再利用指数与对数的关系求解即可．
本题考查了指数与对数的运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，时，，
在区间上单调递减，正确；
令，得，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
故，
且时，，时，，
画出函数的图像，如图示：
，
当时，和有个交点，
则有个零点，有两个极值点，正确；
当时，，单调递增，没有最大值，故错误．
故选：．
求出函数的导数，提供讨论的范围，判断函数的单调性，从而判断极值点的个数以及函数的最值问题．
本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论，考查转化思想，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，且，
得数列是首项，公比为的等比数列，
则，．
故答案为：；．
由已知可得数列是首项，公比为的等比数列，则答案可求．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，
所以对于，恒成立，
所以，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意可知，对于，恒成立，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，
则，则，
故时，在单调递增．
故答案为：．
对赋值，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而确定正误即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
16.【答案】可以 不能
【解析】解：由题意，，
所以根据小概率值的独立性检验可以认为男生与女生的幸福感有差异；
，
根据小概率值的独立性检验，不能认为男生与女生的幸福感有差异．
故答案为：可以；不能．
根据教材中的观测值表，结合题意，即可得出正确的结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
17.【答案】
【解析】解：由题意得，买到的概率为，买到的概率为，买到的概率为，
则某位消费者随机一次性购买个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为．
故答案为：．
根据古典概型概率公式和相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查古典概型概率公式，考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
18.【答案】
【解析】解：的导数为，
由，可得，
即有不论为何值，曲线总存在两条互相平行的切线，故正确；
若，由，
曲线不存在两条互相垂直的切线，故错误；
由的分析，可得不论为何值，总存在无穷数列，
使曲线在处的切线互相平行，故正确；
不论为何值，总存在无穷数列，设为常数，
使曲线在处的切线为同一条直线，故正确．
故答案为：．
求得的导数，结合余弦函数的性质和数列的定义、两条直线的位置关系，可得结论．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：出场阵容可以分两步确定：第步，从名运动员中选择人，分别参加前两场男单比赛，共有种，
第步，从剩下的名运动员中选出人参加男双比赛，共有种，
则不同的出场阵容数量为种．
队员不能参加男子双打比赛，有两类方案，
第类方案是队员不参加任务比赛，即除了队员之外的人参加本次比赛，只需从人中选出人分别参加前两场单打比赛，共有种，
第类方案是队员参加单打比赛，可以分个步骤完成：
第步，确定队员参加的是哪一场单打比赛，共种：
第步，从剩下名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共种：
第步，从剩下的名队员中，选出人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，队员参加单打比赛的不同的出场阵容有种，
根据分类加法计数原理，队员不参加男子双打比赛的不同的出场阵容数量为种．
【解析】Ⅰ利用分步计数原理进行计算即可．
Ⅱ讨论队员不参加任务比赛和队员参加单打比赛，两种情况，利用分类计数和分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理和分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，解得，
所以当时，，
所以当时，，
，
即，
所以；
Ⅱ因为恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为与在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以在上的最大值为：，
所以，
故的取值范围为：．
【解析】Ⅰ由解得，从而得的解析式，再根据奇函数的性质求解即可；
Ⅱ将问题转化为在上恒成立，由函数在上单调性，求出最大值即可得答案．
本题考查了奇函数的性质、转化思想及指数函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：设抽到的城市该月新能源汽车销量大于”为事件，“
选取表”为事件，“选取表”为事件，则
；
两个月共有个城市上榜，其中月排名比月上升的城市有杭州，广州，北京，苏州，
故可取，，所以，，，所以的分布列为：
故随机变量的数学期望．
【解析】直接代入全概率公式计算即可；依题意可得可取，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
本题考查全概率公式，考查期望的计算，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ时，，
则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
，而，，
．
Ⅱ证明：，
则，
令
则，
故有个零点，即有个零点，
故恰有个极值点．
Ⅲ若，不等式恒成立，
则在恒成立，
令，，
则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
故，
，的最小值是．
【解析】Ⅰ代入的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；
Ⅱ求出函数的导数，根据函数的零点个数证明即可；
Ⅲ问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出函数的最大值，求出的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
23.【答案】解：Ⅰ由，，
可得；，；
Ⅱ由，可得，
则是首项为，公比为的等比数列，
则，即；
Ⅲ若数列满足，，
可得，
两边取以为底的对数，可得，
则，
即有，即．
对任意的正整数，假设都存在正整数，使得，
可得，即，
则对任意的正整数，都有正整数存在．
【解析】Ⅰ由数列的递推式和代入法，可得所求值；
Ⅱ将递推式两边加上，结合等比数列的通项公式可得所求通项公式；
Ⅲ由数列的递推式可得，两边取以为底的对数，由等比数列的通项公式和方程思想可得结论．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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