2022-2023学年山东省青岛市平度市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市平度市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知，为实数，则“”是“”的( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
3. 将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
5. 若的展开式中常数项是，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，则( )
A. 是奇函数，且在是增函数 B. 是偶函数，且在是增函数
C. 是奇函数，且在是减函数 D. 是偶函数，且在是减函数
7. 已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 定义在上的函数满足，且时，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知实数，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，则( )
A. 的单调递增区间是
B. 在处取得极大值
C. 在点处的切线方程为
D. 若，则函数有两个零点
11. 已知连续函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，，时，，则( )
A. 为偶函数
B.
C. 为极大值点
D.
12. 设，为同一随机试验的两个随机事件，若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量服从正态分布，且，则 ______ ．
14. 有台机床加工统一型号的零件，加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，台机床加工的零件分别占总数的，，，则任取一个零件为次品的概率为______ ．
15. 已知集合，，若；则的取值范围是______ ．
16. 过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了个城市，分别收集和分析了网约车的，两项指标数，，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且关于的经验回归方程为．
预测当指标数为时，指标数的估计值．
试求与之间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系若，则线性相关程度较强．
附：参考数据：．
相关系数，，．
18. 本小题分
已知函数在处有极值．
求的极值；
若在区间上有三个零点，求实数的取值范围．
19. 本小题分
某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了名患者，部分统计数据如下表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？
附：，其中．
临界值表：
从名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取名，从这人中选取人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为，求的分布列与数学期望．
20. 本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求的取值范围；
若函数在上存在零点，求的取值范围．
21. 本小题分
某种电子玩具启动后，屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯，在玩具启动前，用户可对赋值，且在第一次亮灯时，亮起绿灯的概率为，亮起红灯的概率为，随后若第次亮起的是绿灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为，若第次亮起的是红灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
若输入，该玩具启动后，记前次亮灯中亮绿灯的次数为，求的分布列与期望；
在玩具启动后，若某次亮灯为绿灯，且亮绿灯的概率在区间内，则玩具会自动播放歌曲，否则不播放，现输入，则在前次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，证明：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
，而，
，
．
故选：．
根据根式的性质求集合，根据指数函数的性质求集合，从而求出，的交集．
本题考查了集合的运算，考查求函数的定义域以及指数函数的性质，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由得，从而，
反之，不成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查对数函数的性质，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
将本书分成，，或者，，，然后分给人即可，
若分成，，，，则有种不同的分法，
若分成，，，则有种不同的分法，
则共有．
故选：．
将本书分成三组进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用先分组后排列的方法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故选：．
根据的范围分段求函数的值即可．
本题考查分段函数的求值问题，考查对数的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
它的展开式中常数项是，．
故选：．
由题意，把按照二项式定理展开，可得展开式中常数项，再根据常数项是，求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得或，
又在上为增函数，为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数在是增函数，排除、；
又，即，
故为奇函数，排除．
故选：．
利用函数的奇偶性与单调性逐项判断可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为正实数，满足，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
由已知可得，，然后利用乘法结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
因为时，，
所以时，，单调递增，
所以，，
即，所以，故C错误；
，，，
因为定义在上的函数满足，
所以，，，，
所以，即，故A正确；
所以，即，故B错误；
所以，即，故D错误．
故选：．
令，利用导数判断函数的单调性，结合奇函数的性质逐项判断即可得结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，指数函数在上为减函数，又由，则有，A正确；
对于，由于，，，则有，B错误；
对于，，则有，C正确；
对于，，则有，D错误．
故选：．
对于，由指数函数的性质分析可得A正确，由换底公式和的对数函数的性质可得B错误，利用作差法分析可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查不等式的性质应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值为，故A错误，B正确；
因为，所以在点处的切线方程为，即，故C正确；
当时，，当时，，当时，，又，
所以可得的图象如图所示：
因为函数的零点个数即为函数与图象交点的个数，
由图可知当时，函数与的图象有一个交点，即函数有一个零点；
当时，函数与的图象有两个交点，即函数有两个零点，故D错误．
故选：．
对求导，利用导数求出函数的单调性与极值，从而判断选项A，；利用导数的几何意义可判断选项C；作出函数的图象，由函数的零点与方程根的关系即可判断选项D．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知连续函数的定义域为，且为奇函数，
所以函数关于中心对称，
此时，
又由为偶函数，
所以函数关于直线对称，
此时，故选项A错误；
因为，
又，
当时，，故选项B正确；
因为当时，，
所以函数在上单调递增，
又函数关于对称，
所以函数在上单调递减，
此时当时，函数取得极大值，故选项C正确；
因为函数关于中心对称，
所以，
此时，
又，，
所以，
则，
可得函数是以为周期的周期函数，可
所以，
则，
此时
，故选项D正确．
故选：．
由题意，得到函数函数是以为周期的周期函数且关于中心对称，关于直线对称，对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查利用函数的周期性解决问题，考查了逻辑推理和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：由题意，，，，A正确；
，，，B错误；
，C正确；
，，D正确．
故选：．
根据条件概率公式和全概率公式逐项计算即可求解．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
又，
，
．
故答案为：．
根据正态分布的对称性，可得所求人数．
本题考查正态分布，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，台机床加工的零件分别占总数的，，，
则任取一个零件为次品的概率为．
故答案为：．
根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
对称轴是，
显然函数在递减，在递增，
故的最小值是，时，最大，最大值是，
故，
若，则，，
，解得：．
故答案为：．
解不等式，分别求出集合，，根据，得到关于的不等式组，解出即可．
本题考查了集合间的关系，考查不等式问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：作出曲线的图象，可知，
过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，不重合，
则切点的横坐标在，的横坐标在，
当，，，，
当，，，，
，，
，，
可得，
所以，
．
故答案为：．
作出曲线的图象，可得切点的横坐标在，的横坐标在，利用导数求出两切线的斜率，可求得，然后推出的表达式，即可得到的范围．
本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
17.【答案】解：当时，，
当指标数为时，指标数的估计值为；
因为，
所以相关系数，
因为，所以与具有较强的线性相关关系．
【解析】将代入回归方程即可求解；
利用相关系数公式求得，由即可求解．
本题考查了回归方程和相关系数的应用，属于中档题．
18.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为在处有极值，
所以，
解得，
此时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值；
由知，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
可得，，
所以要使函数在区间上有三个零点，
需满足，
则实数的取值范围为
【解析】由题意，对函数进行求导，根据在处有极值，得到，列出等式即可求出的值，将代入导函数中，利用导数的几何意义即可得到函数的单调性，进而即可求解；
由得到函数的单调性和极值，根据单调区间和极值的正负，列出等式即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
19.【答案】解：列联表补充完整如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
，
依据小概率值的独立性检验，认为疗法与疗效有关联，此推断犯错误的概率不大于．
按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取名，
其中治愈的人数为，未治愈的人数为，
的可能取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
．
【解析】根据题意完成列联表，计算，即可得出结论；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
20.【答案】解：由题得，
在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，
，即的取值范围是．
，，
注意到：，
若，则，在上单调递增，
，在上不存在零点；
若，则，在上单调递减，
，在上不存在零点；
若，显然，在上不存在零点；
若，显然存在，使得，且在上单调递增，
，，
当时，，单调递减，
当时，，在上单调递增，
注意到：，，且，存在唯一使得，
综上，，即实数的取值范围是．
【解析】对求导，由已知可得恒成立，利用参变量分离法即可求解的取值范围；
求出及其导函数，对分离讨论，判断单调性，结合零点存在性定理即可求解的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，已知函数零点个数求参数范围问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
21.【答案】解：的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
设第次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，
所以，
由，，
所以以为首项，为公比的等比数列，所以，
由，得为奇数且，又因为，所以，，，，，
所以在前次亮灯中，最多唱次歌．
【解析】由题意分析的所有可能取值为，，，，分别求概率，写出分布列，求出数学期望；
记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，得到，能证明出是公比为，首项为的等比数列，求出，根据题意建立不等式，求出的最大值．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】解：，
当时，，
所以当，，
当，，
所以增区间为，减区间为，
当时，得，
若，即时，恒成立，
所以为上的增函数
若，即时，
令，得或，
令，得，
所以增区间为，，减区间为，
若，即时，
令，得或，
令，得，
所以增区间为，，减区间为，
综上得：当时，增区间为，减区间为，
当时，增区间为，
当时，增区间为，，减区间为，
当时，增区间为，，减区间为．
证明：当时，要证，
即证，
即证
因为，
令，，
所以，
令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以最大值为，
所以，得证．
【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．
当时，要证，即证，即证，
令，，只需证明，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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