苏教版选择性必修第一册1.5.2点到直线的距离 同步教学课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
第1章 直线与方程
1.5.2　点到直线的距离
课标要求
1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.
2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.
素养要求
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、点到直线的距离
1.思考　(1)原点O到直线x＋2y－5＝0的距离是多少？
在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋
(2)如图，
By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，
如图，过点P作l的垂线l′，垂足为Q，
3.做一做　(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m的值可以为(　　)
AB
二、两条平行直线间的距离
1.思考　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任
取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1
与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转
化为求点到直线的距离.
2.填空　(1)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离.
温馨提醒　(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能套用公式.
(2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
3.做一做　两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离等于(　　)
A
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
题型一　点到直线的距离
解　法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，
所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
法二　显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
(1)求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；
(2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
思维升华
训练1 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
C
例2 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离；
题型二　两平行线间的距离
(2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程.
即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
思维升华
训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.
解　依题意得，两直线的斜率都存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2的距离为5，
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
题型三　利用距离公式解决最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
思维升华
训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________.
x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.
因为A(1，1)，B(0，－1).
课堂小结
1.牢记2个公式
(1)点到直线的距离公式.
(2)两平行直线间的距离公式.
2.重点掌握2种规律方法
(1)点到直线的距离的求解方法.
(2)求两条平行直线间的距离的方法.
3.注意1个易错点
本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　)
D
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)
C
3.若点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　)
C
A.(7，＋∞) B.(－∞，－3)
C.(－∞，－3)∪(7，＋∞) D.(－3，7)
即|3a－6|>15.
故3a－6>15或3a－6<－15，
即a>7或a<－3.
AD
解得C＝0或C＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5.点P(2，3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　)
A.3，－3 B.5，2
C.5，1 D.7，1
C
解析　直线ax＋(a－1)y＋3＝0恒过点A(－3，3).
根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为AP＝5，此时因为kAP＝0，故直线ax＋(a－1)y＋3＝0的斜率不存在，
所以a＝1.故选C.
6.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.
8
解析　由x2＋y2的实际意义可知，它表示直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，
它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
7.经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为
__________________________.
x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析　(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，
原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
所以直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
8.在坐标平面内，与点A(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有________条.
2
解析　由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线方程为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0.
9.(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
解得m＝3或－7，
所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
解得c＝9或c＝－3，
所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10.直线l经过两直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且与直线l1：x＋y－6＝0平行.
即两直线交点坐标为(1，6).
∵直线l1：x＋y－6＝0的斜率k1＝－1，
∴直线l的斜率k＝－1.
∴直线l的方程为y－6＝－(x－1)，
即x＋y－7＝0.
(2)若点P(a，1)到直线l的距离与直线l1和直线l的距离相等，求实数a的值.
整理得|a－6|＝1，
解得a＝7或a＝5.
11.已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
A
即|t2＋t－2|＝2，
即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，
这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个.
12.若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________，此时
直线l1与l2之间的距离为________.
13.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
解　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.
∵点A(5，0)到l的距离为3，
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，
即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方.
法二　∵x＋y＋1＝0，
∴y＝－x－1，
本课结束