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1.3 空间向量及其坐标的运算
考点一 坐标的运算
【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设，向量， ，则（ ）
A． B． C．3 D．4
（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】（1）C（2）B
【解析】
，，，故选：C.
（2）解得，
代入得，又向量夹角范围：故的夹角为，则与的夹角，
当时为；时为.故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量平行的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，又，所以A、C、D选项均不符合的形式，只有满足.故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）已知向量，，若，则k的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得=，2，且，
所以得，即2k+8k=2，解得k=.故选：D
3．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )
A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.
故选：B.
4．（2020·全国高二课时练习）已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
【答案】（1）λ=，m=3；（2）.
【解析】（1）由，得
，解得
（2），且
化简得，解得.
因此
考点二 坐标运算在几何中的运用
【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
（1）求BM，BN的长.
（2）求△BMN的面积.
【答案】（1）BM的长为，BN的长为；（2）.
【解析】以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
（1）
，.
故BM的长为，BN的长为.
（2）
故.
即△BMN的面积为.
【一隅三反】
1．（2019·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，设，
根据题意得，,,,.
,,
.故选：A.
2．（2020·全国高二课时练习） 在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
【答案】
【解析】
∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝－－－
∵＝－＝－(＋)＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝－－(－4,2，－4)．
考点三 最值问题
【例3】（2020·全国高二课时练习）已知点，，则，两点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点，所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·江西高安中学高一期中（理））已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为点在直线上运动，所以，
所以，即，，所以，
所以
所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.
故选：B
2．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________．
【答案】
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1.3 空间向量及其坐标的运算
考点一 坐标的运算
【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设，向量， ，则（ ）
A． B． C．3 D．4
（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量平行的向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二课时练习）已知向量，，若，则k的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )
A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）
4．（2020·全国高二课时练习）已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
考点二 坐标运算在几何中的运用
【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
（1）求BM，BN的长.
（2）求△BMN的面积.
【一隅三反】
1．（2019·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2020·全国高二课时练习） 在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
考点三 最值问题
【例3】（2020·全国高二课时练习）已知点，，则，两点的距离的最小值为（ ）
B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·江西高安中学高一期中（理））已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________．
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