2022-2023学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复平面内，复数所对应的点为，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，集合，若，则( )
A. B. C. D.
3. 某校为调查学生跑步锻炼的情况，从该校名学生中随机抽取名学生，并统计这名学生平均每周的跑步量简称“周跑量”，单位：周，得到如图所示的频率分布直方图称周跑量不少于周的学生为“跑步达人”，用频率分布直方图估计这名学生中“跑步达人”的人数为( )
A. B. C. D.
4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵科学家发现鲑鱼的游速单位：与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为( )
A. B. C. D.
5. 如图，圆锥被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为和，高为的圆台，则所得圆锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 已知，则( )
A. B. C. D.
8. 已知关于的不等式恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，则下列命题或结论正确的是( )
A. 若与轴垂直，则 B. 若点的横坐标为，则
C. 以为直径的圆与轴相切 D. 的最小值为
10. 已知直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，，，则下列结论正确的是( )
A. 球的表面积为 B. 到直线的距离为
C. 到平面的距离为 D. 到平面的距离为
11. 已知甲口袋中装有个红球，个白球，乙口袋中装有个红球，个白球，这些球只有颜色不同先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量满足，则 ______ ．
14. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的一个可能的值为______ ．
15. 周髀算经是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂若个人的年龄都为整数依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过岁，则年龄最大者为______ 岁
16. 已知函数是图象的一条对称轴，在区间上单调，若在区间上有且仅有个极值点，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的首项为，记其前项和为．
求；
设，求．
18. 本小题分
的内角，，所对的边长分别为，，，．
求；
设是边上的高，且，求面积的最小值．
19. 本小题分
如图，三棱柱中，是的中点，平面，．
求证：；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 本小题分
已知函数在处取得极值．
求，；
若过点存在三条直线与曲线相切，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知双曲线：过点，一条渐近线方程为．
求的方程；
过的右焦点的直线与的右支交于，两点，，若的外接圆圆心在轴上，求直线的方程．
22. 本小题分
某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成组，每组只，观察每组被感染的白鼠数现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的记为事件“”．
写出用表示，组合数不必计算；
研究团队发现概率与参数之间的关系为在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数所对应的点为，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，集合，，
，
当时，，此时，不满足题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，，此时，不满足题意．
即满足提交的．
故选：．
根据，说明集合是集合的子集，进而求解结论．
本题考查了交集及其运算，考查了分类讨论思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为周跑量不少于周的学生为“跑步达人”，
而周跑量在内的频率为，
则这名学生中“跑步达人”的人数为人．
故选：．
由题意，结合频率分布直方图所给信息求出周跑量在内的频率，再列出等式即可求出这名学生中“跑步达人”的人数．
本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力．
4.【答案】
【解析】解：由，
取，可得，即，得．
鲑鱼静止时耗氧量的单位数为．
故选：．
由题意令，结合对数的运算性质求解，则答案可求．
本题考查函数模型的选择及应用，考查对数的运算性质，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：设圆锥的高为，
圆台的上、下底面半径分别为和，高为，
，解得．
圆锥的体积为．
故选：．
设圆锥的高为，由三角形相似列式求得，再由圆锥体积公式求解．
本题考查圆锥体积的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：线段的中点在轴上，设的横坐标为，，
，则，即与的横坐标相等，可知轴，
，，
，，
则，
解得．
故选：．
由已知条件推导出轴，可得，，再求解直角三角形得答案．
本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆离心率的求法，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用诱导公式，二倍角公式即可求值．
本题考查诱导公式，二倍角公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：关于的不等式恒成立，
即恒成立，
设，则，
由，
时，，在递增，无最大值，
时，令，解得，
令，解得，
故在递增，在递减，
故，
故，即，
即，即，
时，，
令，
故，
时，，
故．
故选：．
设，问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，问题转化为，时，，从而求出其最小值．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分类讨论思想，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对选项，与轴垂直，，所以，所以，所以A正确；
对选项，点的横坐标为，
由，
可知B正确；
对选项，由抛物线的方程可得焦点，准线方程，
由题意直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然，，，
，，
，
为直径的圆的圆心的半径为，
而的中点的横坐标为，
到轴的距离等于以为直径的圆的半径，C正确；
对选项，，所以的最小值为，不正确，D错误．
故选：．
根据抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦性质，抛物线焦半径公式，设而不求，化归转化，函数思想，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦性质，抛物线焦半径公式，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，函数思想，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：如图，设底面的外接小圆的圆心为，半径为，
连接并延长交圆于点，连接，取的中点，
则根据题意易得为直三棱柱的外接球的球心，
且为球的半径，设该球的半径为，
在中，，
根据正弦定理可得，
，，又，
在中，由勾股定理可得：
，，
球的表面积为，选项正确；
在中，易知到的距离为，选项正确；
连接，，取的中点，连接，，
易知，
易得平面，
到平面的距离等于到平面的距离，
，，
，且，
又易知，易得平面，
到平面的距离为，选项正确；
在中，边是变化的，
根据选项的分析可得到平面的距离也是变化的，选项错误．
故选：．
设底面的外接小圆的圆心为，半径为，连接并延长交圆于点，连接，取的中点，则根据题意易得为直三棱柱的外接球的球心，再根据正弦定理求出的外接小圆的半径，从而可得球的半径，再针对各个选项逐一分析，即可求解．
本题考查直三棱柱的外接球问题，正弦定理的应用，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：甲口袋中有红白共个球，则，A正确；
在甲口袋中取出白球放入乙口袋，此时乙口袋中有红白，则，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据条件概率公式和全概率公式计算四个选项的答案，可分别判断正误．
本题考查条件概率和全概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：为奇函数，
，
即关于对称，
即，即，
为偶函数，，即关于对称，
则，
即，得，
则，即是周期为的周期函数．
令，由，得，得，故A错误，
当时，，，得，
即当时，
则，故B正确，
，，，，
一个周期内的和为，
则，故C正确，
故D错误．
故选：．
根据函数的奇偶性，推出函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性进行求解即可．
本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性，利用函数周期性进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：，两边同时平方可得，，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，推得，再将平方并开方，即可求解．
本题主要考查向量的模的求解，属于基础题．
14.【答案】写出中的任意一个实数即可
【解析】解：由圆的半径为知，
当定点为的中点时，的夹角最小，
此时，，，
，，，
即的夹角最小值为，
当相线段是圆的一条直径时，的夹角最大，为，
，
．
故答案为：写出中的任意一个实数即可．
由直线与圆相交的相关知识求出的取值范围，再由平面向量的数量积的定义直接计算即可．
本题考查平面向量的数量积，直线与圆的相交问题，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题知，一遂，
个人的年龄都为整数从小到大依次成等差数列，
设该等差数列为，其公差为，前项和为，
，即，
，，
，且，
当时，，
当时，，此时．
故答案为：．
将实际问题转化为等差数列的问题，利用等差数列的通项公式和前项和公式分析计算即可．
本题考查等差数列的通项公式和前项和，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
可得，，
因为在区间上单调，
所以，
所以，可得，
，，
，
在区间上有且仅有个极值点，
所以，，
所以，即，
解得．
故答案为：
根据题意可得，再由在区间上有且仅有个极值点，可得，求解即可．
本题考查了三角函数的性质，难点是由在区间上有且仅有个极值点，得出，属于中档题．
17.【答案】解：，
，即，
两式相减得，
，
故数列为常数列，则，
故；
由得，则，
．
【解析】由题意得，即，作差可得，即数列为常数列，即可得出答案；
由得，则，利用等比数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得，
可得，
由余弦定理得，
因为，
所以．
由已知得，
即，
由知，
因此，
而，
则，
于是，
故，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为．
【解析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理得的值，结合，即可求解的值．
由已知利用三角形的面积公式可求得，由及基本不等式可求，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：证明：三棱柱中，是的中点，平面，，
平面，平面，，
，，
平面，
平面，．
由知，，两两垂直，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，，，
，
设平面的法向量为，
由得取，得平面的一个法向量为，
又，
同理得平面的一个法向量为，
，
由图得平面与平面夹角为锐角，
平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】推导出，由，得平面，由此能证明．
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由题意知，
所以，，
所以，；
由可知，，
过点存在条直线与曲线相切，等价于
关于的方程有三个不同的根，
设切点坐标为，
所以切线方程为，因为切线过点，
所以，即，
令，则，
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表所示，
单调递减 单调递增 单调递减
因此，当时，有极大值，
当时，有极小值；
则，
故实数的取值范围是．
【解析】求出导函数，再代入已知即可求解结论；
求出导函数，求出切线方程，再结合过点存在三条直线与曲线相切，转化为方程有三个根，进而求解结论．
本题重点考查导数的几何意义，函数的零点与方程的根，恒成立问题，利用导数研究函数的性质，考查学生转化与化归，分类与整合的能力与数形结合的思想，属于中档题．
21.【答案】解：已知双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
因为双曲线过点，
所以，
联立，解得，，
则的方程为；
因为过的右焦点的直线与的右支交于，两点，
不妨设，，
若的外接圆圆心在轴上，
设，
易知，
即，
又，，
整理得，
所以，为方程的两根，
易知，
不妨设，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
解得，
故直线的方程为或．
【解析】由题意，根据双曲线渐近线方程以及双曲线经过点，列出等式即可求出的方程；
设，，，易知，结合，，整理得，此时，为方程的两根，解得，设出直线的方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理即可求出的值，进而即可求解．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：由题知，被感染的白鼠数量为只，事件第组被感染的小白鼠数，，
则随机变量，所以．
由题图可知，，，，，
则，
设，
则，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
所以，即，
解得或，
因为，所以．
【解析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可；
求得，利用导数求得的最大值即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布，考查导数的应用，属于中档题．
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