垂径定理[上学期]

垂直于弦的直径
教学目标：
1、利用圆的对称性，通过观察使学生能归纳出垂径定理的主要内容。
2、利用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题。
教学重点：
能灵活运用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题。
教学过程：
复习提问：
1.如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形,这条直线叫做它的对称轴
2. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高所在的直线
3. 等边三角形是不是轴对称图形，它有几条对称轴？正方形呢？
新课讲授：
问题1：作⊙O的直径AB，然后沿着AB对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？
圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.
问题2：在⊙O上取一点C，作CD⊥AB，垂足为E，你能发现哪些结论？
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧．
∵在⊙O中，若AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足是E
∴CE=DE， AC = AD，CB = DB
练习1. 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
例1 已知：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O 到AB的距离为3cm。
求：⊙O的半径。
解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt⊿AOE中，根据勾股定理 OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
练习2：
1． 半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是_______ 。
2．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是______ 。
3．在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB，CD＝2cm
则⊙O的半径为_______ 。
1 2 3
5. 过⊙O内一点M的最长的弦为4,最短的弦为2,则OM的长为 .
例2 已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于C、D两点
(1)若AB为直径
求证： AC = BD
(2)若AB为不过圆心的弦
猜想AC 与 BD的大小关系，并证明。
(3)若AB=8,CD=4,求圆环的面积.
思考：
例3 已知：在以圆O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于F、G两点，PQ是小圆的直径，PC⊥AB于C, QD⊥AB于D
求证：AC = BD
课堂小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课
① 学习了一个与圆有关的重要定理，定
理的内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时经常
作的辅助线是什么？
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；则它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。
2.在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形。为应用垂径定理创造条件。