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1.4.1 空间向量应用（一）
考法一 平面的法向量
【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
【答案】见解析
【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，所以得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
【一隅三反】
1．（2020年广东惠州）正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
【答案】见解析
【解析】设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．
(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．
(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∴∴∴
令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.
2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：
①为平面PAD的法向量；
②为平面PAC的法向量；
③为直线AB的方向向量；
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．
其中正确命题的序号是______________
【答案】②，③，④
【解析】①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；
②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；
③因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，③正确；
④易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正确.
故答案为：②，③，④
考点二 空间向量证明平行
【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
求证：PB∥平面EFG.
（2）证明平面EFG∥平面PBC
【答案】见解析
【解析】
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
∴＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，设＝s＋t，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，
又∵与不共线，∴，与共面．∵PB 平面EFG，∴PB∥平面EFG.
（2）证明 ∵＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，∴＝2，∴BC∥EF.
又∵EF 平面PBC，BC 平面PBC，∴EF∥平面PBC，
同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBC.
【一隅三反】
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
【答案】见解析
【解析】 法一 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．
法二 ＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．
法三 ＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD．
2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.
【答案】直线在平面上或直线与平面平行
【解析】由，所以.又向量为平面的一个法向量.
所以直线在平面上或直线与平面平行.
故答案为：直线在平面上或直线与平面平行.
3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.
【答案】
【解析】由题意，知，∴，即，∴.
故答案为：
考法三 空间向量证垂直
【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【答案】见解析
【解析】方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ＋μ.令＝a，＝b，＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，
则＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，
·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，结论得证．
方法二 取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO 平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．
因为n⊥，n⊥，故即
令x＝1，则y＝2，z＝－，故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量，
而＝(1，2，－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.
【一隅三反】
1．（2018·浙江高三其他）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．
【答案】A
【解析】.
本题选择A选项.
2．（2020·安徽池州。高二期末（理））已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线平面，故直线l的方向向量与平面的法向量平行，
因为,故选：B.
3．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是( )
A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角
【答案】B
【解析】依题意，而，所以，而，所以平面.故选：B
4．（2020·江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题
（1）求证： （2）求证平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，
则，，，，，
故，，故，故.
（2），故，故，
又，，故平面.
5．（2019·九台市第四中学高二期末（理））如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动.
（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.
【答案】（1）平面，理由见解析.（2）证明见解析
【解析】（1）是的中点，是的中点，
.又平面.平面，
平面.
（2）以为原点，所在的直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则
在上，
设，
，，
，.
无论点在边的何处，都有.
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1.4.1 空间向量应用（一）
考法一 平面的法向量
【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
【一隅三反】
1．（2020年广东惠州）正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：
①为平面PAD的法向量；
②为平面PAC的法向量；
③为直线AB的方向向量；
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．
其中正确命题的序号是______________
考点二 空间向量证明平行
【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
求证：PB∥平面EFG.
（2）证明平面EFG∥平面PBC
【一隅三反】
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.
3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.
考法三 空间向量证垂直
【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【一隅三反】
1．（2018·浙江高三其他）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．
2．（2020·安徽池州。高二期末（理））已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是( )
A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角
4．（2020·江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题
（1）求证： （2）求证平面．
5．（2019·九台市第四中学高二期末（理））如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动.
（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.
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