2022-2023学年山东省淄博市某县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市某县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中能与合并的是( )
A. B. C. D.
2. 已知，则下列变形不正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点时，要使眼睛，准星，目标在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星偏离到，若米，米，米，则小明射击到的点偏离目标点的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5. 若成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数的和为( )
A. B. C. D.
7. 某市从年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市年“竹文化”旅游收入约为亿元．预计“竹文化”旅游收入达到亿元，据此估计该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，长为，宽为的矩形中，截去一个矩形图中阴影部分，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，且，将绕点顺时针旋转，使点落在点处，则下列判断不正确的是( )
A. 是等腰直角三角形 B. 垂直平分
C. ∽ D. 是等腰三角形
10. 如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于______．
12. 已知矩形长为，宽为，那么这个矩形对角线长为______ ．
13. 已知，，若，则实数的值为___________ ．
14. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点对应点的坐标是______ ．
15. 如图， 中，，，，，分别为，，，的平分线，与相交于点，与相交于点，连接若 的周长为，，，则______，______．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
用配方法解方程：．
17. 本小题分
已知，，求的值．
18. 本小题分
如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点求证：．
19. 本小题分
已知关于的一元二次方程
当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的倍，求的值．
20. 本小题分
一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，则平均每天销售数量为______件；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
21. 本小题分
如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交、、于点、、，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，为的中点，，求的长．
22. 本小题分
如图，，，是上一点，使得；
求证：∽；
若，，求的长；
当∽时，请写出线段、、之间数量关系，并说明理由．
23. 本小题分
如图，矩形中，，，点在上，连接，作，点在直线上，交于点．
求证：是等腰三角形；
求证：；
当为中点时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、己是最简二次根式，但和不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意；
B、，和不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意；
C、，和是同类二次根式，可以合并，故此选项符合题意；
D、，和不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意．
故选：．
只有同类二次根式方可合并，将选项中的二次根式进行化简后，找到同类二次根式即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由，
可得，，，
故选：．
通过得到，，然后逐个排除即可．
本题考查比例的性质，能够将比例的各种写法灵活转化是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：
：：
解得：米．
故选：．
由题意可知，准星和靶是平行的，根据两三角形相似，对应边成比例列方程即可解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的运算性质，即可解答．
本题主要考查了二次根式乘法的性质，注意性质运用的条件是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
为正整数，
为、、，
当时，，所以方程的根为无理数；
当时，方程化为，方程有两个整数解；
当时，方程化为，方程有两个相等整数解；
所以符合条件的所有正整数的和为．
故选：．
利用判别式的意义得到，则为、、，然后分别计算为、、时方程的解，从而得到满足条件的的值，最后计算符合条件的所有正整数的和．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，设该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为，根据年及年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：依题意，在矩形中截取矩形，
则矩形∽矩形，
则
设，得到：
解得：，
则剩下的矩形面积是：．
根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确识别图形是解题的关键．
由旋转的性质得到，，于是得到是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，推出，于是得到垂直平分，故B正确；根据余角的性质得到，于是得到∽，故C正确；由于，但不一定等于，于是得到不一定是等腰三角形，故D错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转，使点落在点处，
，，
是等腰直角三角形，故A正确；
将绕点顺时针旋转，使点落在点处，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，故B正确；
，，
，
，
∽，故C正确；
，但不一定等于，
不一定是等腰三角形，故D错误；
故选D．

10.【答案】
【解析】解：，，，
，
当时，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
即，
当从到时，时间秒，
当从到再到时，时间秒，
，此时舍去；
当时，
，，
∽，
，
，
解得：，
，
当从到时，时间秒，
当从到再到时，时间秒，
综合上述，时间或或，
故选：．
解直角三角形求出，求出，分为两种情况：，根据相似三角形的性质和判定求出，求出，即可求出时间；，根据相似三角形的性质和判定求出，求出，再求出时间即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据黄金分割定义，得
，
解得．
故答案为．
根据黄金分割的定义：
把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，
矩形对角线的长度等于．
即矩形的对角线的长度为．
已知矩形的相邻两边和对角线为直角三角形，故根据勾股定理即可得出矩形的对角线的长度．
本题主要考查的是对勾股定理的使用和矩形的性质．
13.【答案】
【解析】解：依题意得：，
解得
，
，
整理，得，
故，
解得．
故答案是：．
根据题意列出关于、的方程组，然后求得、的值，结合已知条件来求的取值．
考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组配方法的理论依据是公式．
14.【答案】或
【解析】解：点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是：或，即或．
故答案为：或．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
15.【答案】；
【解析】解：为的平分线，
，
同理：，
，
．
四边形是平行四边形，
，，．
，．
在和中，
．
≌．
．
四边形是平行四边形，
，
．
．
．
同理可得：．
．
，，
．
．
四边形是矩形．
．
，，
∽．
．
．
．
设，则．
，
．
，，，
．
，
．
．
．
．
故答案为：；．
由条件易证进而可证到四边形是矩形及，由，可求出易证≌，从而得到；易证∽，从而得到设，则，，从而有，由 的周长为可求出，从而求出长．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
解得，．
【解析】根据配方法可以解答该方程．
本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是明确配方法解一元二次方程的步骤．
17.【答案】解：，，
，，
．
【解析】根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出、，利用完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
18.【答案】证明：作于，交于，如图，
，
，
而为边的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
；
【解析】作于，交于，如图，根据平行线分线段成比例定理，由得到，且，则，由于，所以，，则，然后由得到，所以；
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
19.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
当时，方程有两个不相等的实数根．
设方程的两根分别为、，
根据题意得：，．
、为边长为的菱形的两条对角线的长，
，
解得：或．
，，
，
．
若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的倍，则的值为．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据，即可确定的值．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：根据方程的系数结合根的判别式，找出；根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于的一元二次方程．
20.【答案】解：；
解：设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元．
根据题意，得，
整理得，
解得：，．
要求每件盈利不少于元，
应舍去，
故．
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用有关知识．
根据销售单价每降低元，平均每天可多售出件，可得若降价元，则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量为件；
利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】
解：若降价元，则平均每天销售数量为件．
故答案为；
见答案．
21.【答案】证明：垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：，分别为，的中点，
，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
．
【解析】先根据线段垂直平分线的性质证明，由证明≌，得出，证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
根据三角形中位线的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，，得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得，解得，在中，根据勾股定理可得，由即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
22.【答案】证明：，，
，，
，
，
，
，
∽；
解：中，，，
，
，
，
由得：∽，
，
，
；
解：线段、、之间数量关系：；
理由是：过作于，
∽，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
．
【解析】先根据同角的余角相等可得：，利用两角相等证明三角形相似；
先根据勾股定理得：，根据∽，列比例式可得结论；
先根据∽，证明，可得，证明≌，则，同理可得：，相加可得结论．
此题考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，第问中如果是直接求证，比问“线段、、之间数量关系，并说明理由”，这种方法要简单一些，注意作辅助线将分成两条线段
23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，即是等腰三角形；
证明：四边形是矩形，
，，，
，
作于，如图所示：
，，
，
，，
∽，
，
，
；
解：为中点，
，
由得：，
即：，
，
，
，
，
设，则，
，
∽
，即，
解得：，即，
，
．
【解析】由矩形的性质得出，由平行线的性质得出，由已知，得出，即可得出结论；
由矩形的性质得出，，，由平行线的性质得出，作于，由等腰三角形的性质得出，证明∽，得出，即可得出结论；
求出，由得，得出，由勾股定理得出，求出，得出，设，则，证明∽，得出，求出，得出，再由勾股定理即可得出答案．
本题是相似形综合题目，考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质和矩形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，证明三角形相似是解题的关键．
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