2022-2023学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在下列方程中，有实数根的是( )
A. B. C. D.
3. 下列等式中不正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是( )
A. B. C. D.
5. 下列各事件中，属于必然事件的是( )
A. 抛一枚硬币，反面朝上
B. 早上出门，在第一个路口遇到绿灯
C. 本书分放在个抽屉，至少一个抽屉内有本书
D. 在平面内，度量一个三角形的内角度数，内角和为
6. 乐乐家与学校相距米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离米关于时间分钟的函数图象，下列说法错误的是( )
A. 乐乐走了米后返回家拿书 B. 乐乐在家停留了分钟
C. 乐乐以每分钟米的速度加速赶到学校 D. 乐乐在第分钟的时候赶到学校
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 直线的截距是______ ．
8. 方程的解是______ ．
9. 方程的根是______．
10. 关于的方程：的根为______ ．
11. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为______．
12. 布袋里装有个红球、个黄球、个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黑球的概率为______ ．
13. 平行于直线，且与轴交于点的直线表达式是______ ．
14. 如图：点在直线上，则不等式关于的解集是______ ．
15. 在四边形中，已知，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是______只需填写一种情况
16. 已知一个菱形的边长为，其中一条对角线长为，则这个菱形的面积为 ．
17. 如图，在梯形中，，，，，，那么梯形的周长为______ ．
18. 已知：如图，在矩形中，，点是边上一点，且联结，将四边形沿所在直线翻折，点、的对应点分别为点、，边与边的交点为点则 ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程组：．
四、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
解方程：．
21. 本小题分
如图，已知在平行四边形中，点、分别在边、上，且联结．
写出与相等的向量______ ；
填空 ______ ；
求作：保留作图痕迹，不要求写作法，请说明哪个向量是所求作的向量
22. 本小题分
如图，甲、乙两人到距离地千米的地办事，甲步行先走，乙骑车后走，两人行进的路程和时间的关系如图所示，根据图示提供的信息解答：
乙比甲晚______小时出发；乙出发______小时后追上甲；
求乙比甲早几小时到达地？
23. 本小题分
松江区于月日，举办“”上海余山半程马拉松比赛主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成已知厂家要在规定的天数内生产对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前天完成经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多对，求原计划每天生产多少对护膝．
24. 本小题分
已知：如图，是等边三角形，点在边上，且是等边三角形，边与交于点过点作，分别与线段、、相交于点、、，联结．
求证：四边形是平行四边形；
连结，如果，求证：四边形是菱形．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴、轴分别相交于点、，直线与轴交于点，与直线相交于点，点在第二象限已知的面积为．
求直线的表达式；
点是直线上一点，点是轴上一点，如果以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点、的坐标．
26. 本小题分
正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．
如图，当点在边上时，求证：；
当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域；
若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，，
故直线经过第一、三、四象限．
不经过第二象限．
故选：．
由直线的解析式得到，，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由，的符号来确定．
2.【答案】
【解析】解：．，
，
算术平方根具有非负性，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.，
，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
方程两边平方得：，
即，
解得：或，
经检验：是原方程的解，不是原方程的解，
所以此方程有实数根，故本选项符合题意；
D.，
方程两边都乘，得，
经检验是增根，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
选项A：移项后根据算术平方根具有非负性判断即可；根据根的判别式即可判断选项B；方程两边平方后得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；方程两边都乘求出，再进行检验即可判断选项D．
本题考查了解无理方程，根的判别式和解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据平面向量的运算法则作答．
本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．
4.【答案】
【解析】解：解方程时，设，则
原方程可化为
去分母，得
即
故选：．
先将代入原方程，通过去分母，将原方程化为关于的整式方程．
本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，有时需要通过变形才能换元．
5.【答案】
【解析】解：、抛一枚硬币，反面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、早上出门，在第一个路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
C、本书分放在个抽屉，至少一个抽屉内有本书，是必然事件，符合题意；
D、在平面内，度量一个三角形的内角度数，内角和为，是不可能事件，不符合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】
【解析】解：、乐乐走了米后返回家拿书，正确，不合题意；
B、乐乐在家停留了分钟，错误，从回家到拿到书，一共用分钟，故符合题意；
C、乐乐以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意；
D、乐乐在第分钟的时候赶到学校，正确，不合题意．
故选：．
从图象可以知道，分钟时乐乐返回家，在家一段时间后，分钟又开始回学校，分钟到达学校．
此题主要考查了函数图象，正确认识图象和熟练运用待定系数法是解好本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：令，得，
直线的截距是，
故答案为：．
根据截距的定义：直线中，就是截距，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
利用立方根的定义求解即可．
本题考查了解立方根，掌握立方根的定义是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：方程两边同时平方得：，
解得：．
检验：时，左边，则左边右边．
故是方程的解．
故答案是：．
方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得的值，然后代入原方程进行检验即可．
本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思路是转化成整式方程，并且解方程时必须要检验．
10.【答案】
【解析】解：，
．
．
故答案为：．
利用直接开平方法解得即可．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，则有
，
解得：，
这个多边形的边数为．
故答案为：．
根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于，列出方程，解出即可．
本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
12.【答案】
【解析】解：布袋里装有个红球、个黄球、个黑球，
．
故答案为：．
由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．
此题考查了概率公式，要明确：如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件的基本事件有个，不构成事件的事件有个，则出现事件的概率为：．
13.【答案】
【解析】解：设平行于直线的直线的解析式为：，
与轴交于点，
，
，
，
直线的表达式为：．
故答案为：．
平行于直线的直线的解析式的一次项系数等于，则设该直线的解析式为：，再由与轴交于点，可得该直线的解析式．
本题考查了两直线相交或平行的问题，用待定系数法确定直线的解析式，注意若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由函数图象知：不等式关于的解集是．
故答案为：．
不等式的解集就是图象在的部分，据此即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：添加条件，
，
，
，
四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：．
由条件可推出，再加上条件，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
首先根据题意画出图形，由一个菱形的边长为，其中一条对角线长为，可利用勾股定理，求得另一菱形的对角线长，继而求得答案．
【解答】
解：如图，菱形中，，，
，，
，
，
这个菱形的面积为：．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：过作交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
梯形的周长．
故答案为：．
过作交于，推出四边形是平行四边形，得到，，由，得到，因此，推出，因此，求出得到的长，即可求出梯形的面积．
本题考查梯形，等腰三角形的判定和性质，关键是过作交于，推出，从而求出长．
18.【答案】
【解析】解：根据题意画图如下：
由翻折可知：四边形与四边形全等．
四边形是矩形，
，
，
，
，
在矩形中，，，，
，
，
设，
则在中，，，，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
设，则在中，，，，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理构建方程．
19.【答案】解：，
法一、由，得，
把代入，得，
整理，得．
．
，．
把，分别代入，得，．
原方程的解为，．
法二、由，得，
或．
于是原方程组可化为或．
解这两个方程组，得，．
所以原方程组的解为：，．
【解析】变形方程组中的式后，代入式得一元二次方程，求解一元二次方程，然后求出另一个未知数．
本题考查了高次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20.【答案】解：移项得：，
，
，
，，
经检验：是原方程的根，是增根，
所以原方程的根是：．
【解析】移项后两边平方，解得出的一元二次方程，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：在 中，，，
，，
，
，
与相等的向量是；
故答案为：；
如图，连接，
，，
；
故答案为：；
如图，即为所求作的．
根据平行四边形的对边平行且相等可得，，然后求出，再根据向量的定义解答；
根据向量的三角形法则可得，，所以；
过点作，取，根据向量的三角形法则求解即可．
本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量问题熟练掌握平行四边形法则与三角形法则是解题的关键，要注意向量要从方向与大小两个方面考虑求解．
22.【答案】；
乙比甲早小时到达地．
【解析】解：当时，，
乙比甲晚小时出发；
当时，，，
乙出发小时后追上甲．
故答案为：；．
设甲的路程与时间的函数解析式为，
，解得：，
甲的路程与时间的函数解析式为 ，
当时，有，
解得：．
设乙的路程与时间的函数解析式为 ，
根据题意，得：，
解得：，
乙的路程与时间的函数解析式为．
当时，有，
解得：，
小时．
答：乙比甲早小时到达地．
由时可知乙比甲晚小时出发，由两函数图象的交点的横坐标结合乙出发时间，可求出乙追上甲的时间；
观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法可求出两函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出两人到达地的时间，二者做差后即可得出结论．
本题考查了函数图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：观察函数图象，找出结论；利用待定系数法及一次函数图象上点的坐标特征，求出两人到达地的时间．
23.【答案】解：设原计划每天生产对护膝，则实际每天生产对护膝，
根据题意，可列方程，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
经检验，当时，，是原方程的解，
答：原计划每天生产对护膝．
【解析】设原计划每天生产对护膝，实际每天生产对护膝，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比计划提前天完成，可列出关于的分式方程，解答检验即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】证明：是等边三角形，
，．
同理可知，，．
即得．
．
即得．
在和中，
≌．
．
．
．
又，
四边形是平行四边形；
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
【解析】通过全等三角形≌的对应角相等判定则所以根据平行线的判定知又，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形；
利用四边相等的四边形是菱形的判定定理证明即可．
本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系统的掌握．
25.【答案】解：把代入得：，
解得：；
直线解析式为，
令得，令得，
，，
，
，
的面积为，
，即，
解得或，
点在第二象限，
，
在中，令，得，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为；
设，又，，
设，
当时，则直线为，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得或舍去，
，
，；
当时，则，
，
，
解得或舍去，
，
综上，，或，
【解析】把代入即得：；由的面积为，可得，即，即可得，再用待定系数法求得直线解析式即可；
设，，当时，则直线为，代入点的坐标，即可求得，然后利用等腰梯形的性质得出，即，解得，即可求得、的坐标；当时，则，然后利用等腰梯形的性质得出，即，解得，即可求得点的坐标．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积、梯形的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】证明：过点作于，作于，如图所示：
，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：过点作于点，交于点，
，
在正方形中，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
又，，
，
，
，
≌，
，
，
，
点在对角线上，，
；
解：当点在边上时，连接，交于点，过点作于点，
在正方形中，，，
，
在中，，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
；
当在的延长线上时，如图，同理可得．
综上所述，的长为或．
【解析】过点作于，作于，证明≌，由全等三角形的性质得出；
过点作于点，交于点，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
当点在边上时，连接，交于点，过点作于点，证明≌，得出，求出，当在的延长线上时，同理可得．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
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