长春市十一高中 2022-2023 学年度高二下学期第三学程考试
数 学 答 案
1．C
2．B
3．B
【详解】因为 f (1) ln1 1 2 1 0 ， f (2) ln 2 2 1 1 ln 2 0，
所以由零点存在性定理知， f (x)的零点所在的区间为 (1, 2) .故选：B.
4．D
1
【详解】价格平均 x 9.6 9.9 10 10.2 10.3 10 ，则 y 40 3.1 10 9 ，
5
1
销售量 y 10.2 9.3 m 8.4 8.0 9.0，解得m 9.1.故选：D.
5
5．A
1
【详解】在 ABC中，D 为 BC 的中点，所以 AD (AB AC)，
2
又 AB 5a 2b AC a ， 3b，
1 AD (5a 2b a
1 1
所以 3b ) (6a b ) 3a b，
2 2 2
2
所以 AD AD 1 (3a b ) 2 9a 2 3a b 1 b 2 72 18 9 15 ，
2 4 4 2
15
即 AD的长度为 .故选：B.2
6．B
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币 100次，设硬币正面向上次数为 X ，则
X ~ B 100,
1
，
2
所以 E X np 100 1 50 ，D X np 1 p 100 1 1 1 252 2 2 ，
由题意， X N , 2 ，且 E X 50 2， D X 25，
因为 P( 2 X 2 ) 0.9545，
2022-2023学年度下学期 第三学程 高二 数学 答案 1 / 11
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所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过 60次的概率为
P X 60 P X 50 2 5 1 0.9545 0.0228 ，故选：B.
2
7．D
【详解】由 f x f x 0可得 f x 为奇函数，又 f x 1 f x 1 ，则
f x 1 f x 1 ，故 f x f x 2 ，故 f x 周期为 2.
故 f log4 80 f log4 16 5 f 2 log4 5
f log4 5 2 f 2 log4 5
2
42 log 5 3 4 16 14 log 5 3 3 .故选：D4 4 5 5
8．B
*
【详解】因为对于 n N n 2 都有 an 1 2an an 1 2 ，
an 1 an an an 1 2，令bn an 1 an，所以bn bn 1 2 n 2 ，
所以数列 bn 是以b1 a2 a1 3为首项，2为公差的等差数列.
所以bn 3 n 1 2 2n 1，所以 an 1 an 2n 1，
所以 an an 1 2n 1， an 1 an 2 2n 3，……， a3 a2 5,a2 a1 3，
将这 n 1项累加，则 an a1 3 5 7 2n 1, n 2，
n 1 2n 1
所以 an 1 3 5 7 2n 1 n
2 ,n 2，
2
1 1 1 1 1 1
则 2
n 2
an 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1 n 1
，
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1所以
a3 1 a5 1 a7 1 a2023 1 2 2 4 4 6 6 8 2022 2024
1
1 1
1011
.故选：B.2 2 2024 4048
9．AD
【详解】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，A选项正确.
B选项，若 a b， c d，如a 1,b 0,c 1,d 2，则 ac bd，B选项错误.
C 2 m
2 2m 3
选项，函数 y m m 1 x 是幂函数，
2022-2023学年度下学期 第三学程 高二 数学 答案 2 / 11
{#{QQABIQQEgggAAAAAARhCEQVwCAAQkBGACIgGAEAEIAIAyRFABAA=}#}
所以m2 m 1 1,m2 m 2 0，解得m 2或m 1，m 1不符合减函数
所以 C选项错误.
D 2选项，设 f x x a 3 x a，则 f x 有两个零点，
且两个一正一负，则 f 0 a 0，所以 D选项正确.故选：AD
10．ABD
【详解】A选项，因为 x 0, y 0
1
，所以 x 3y 2 3xy ，即1 2 3xy ，解得 xy ，
12
x 1当且仅当 3y 时，等号成立，A正确；
2
B选项，因为 2x 0,8y 0，由基本不等式得 2x 8y 2x 23 y 2 2x 23 y 2 2x 3 y 2 2，
x 3y 1当且仅当 时，等号成立，B正确；
2
C选项，由基本不等式得 x2 9y2 6xy ，
2 x2 9y2 x2 9y2 6xy x 3y 2故 1，故 x2 9 y2 1 ，
2
1 1
当且仅当 x 3y 时，等号成立，故 x2 9y2的最小值为
2 2
，C错误；
D选项，因为 x 0, y 0，
1 1 1 1
所以 x 3y 1 3
3y x 4 2 3y x 4 2 3，
x y x y x y x y
3y x
当且仅当 x y ，即 x 3y
3 1
时，等号成立，
2
1 1
故 x y的最小值为 4 2 3，D正确.故选：ABD
11．BC
2
【详解】因为M N 250, ，所以 P(M 248) P(M 252) 0.4，所以 A错误．
因为 P(M 245) 0.35,P(M 252) 0.4，
所以 P(248 M 255) 0.5 0.35 0.5 0.4 0.25，所以 B正确．
因为 P(M 248) 0.4，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选 2个，
则这 2个蜜桃的质量都小于 248g的概率为0.42 0.16，所以 C正确．
因为 P(248 M 255) 0.25，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选 2个，
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{#{QQABIQQEgggAAAAAARhCEQVwCAAQkBGACIgGAEAEIAIAyRFABAA=}#}
则这 2个中至少有 1个蜜桃的质量在 248g 255g的概率为
1 (1 0.25)2 1 0.5625 0.4375，所以 D错误．故选：BC
12．BC
2x
【详解】对于 A选项，当 a 0时， f x 2e 2a 0对任意的 x R恒成立，
此时，函数 f x 在 , 上单调递增，则函数 f x 无极值点，A错；
对于 B选项，当 a 1 2x 2x 2x时， f x e 2x，则 f x 2e 2 2 e 1 ，
令 f x 0可得 x 0，当 1 x 0时， f x 0，此时函数 f x 单调递减，
当 0 x 1时， f (x) > 0，此时函数 f x 单调递增，
所以，当 a 1时， f x 在 1,1 上有极小值 f 0 1，B对；
对于 C选项，当 a 1时， x 0, 有 f x kx恒成立，即 e2x 2x kx恒成立.
当 x 0时，则有1 0，此时， k R，
x 0 e
2x e2x
当 时，由 e2x 2x kx可得 k 2，令 g x 2，其中 x 0，
x x
e2x 2x 1
1
则 g x ，当 0 x 时， g x 0，此时函数 g x 单调递减，
x2 2
1
当 x 时， g x 0，此时函数 g x 单调递增，
2
g x g 1 所以， min 2e 2，故 k 2e 2 . 2
综上所述， k 2e 2，C对；
2x0
2x e
对于 D选项，若存在 x 00 2,3 ，使得 f x0 e 2ax0 0，可得 2a ，x0
h x e
2x e2x 2x 1 令 ，其中 x 2,3 ，则 h x 0对任意的 x 2,3 恒成立，x x2
4
所以，函数 h x 2,3 e在 上单调递增，所以， h x ，min h 2 2
e4 e4
所以， 2a ，解得 a ，D错.故选：BC.
2 4
13． 3,0
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r 2【详解】因为 a 3,3 ，b 2,0 ，所以 a b 2 3, b 4
b a b b a b 2 3
a在b上的投影向量为 a cos a,b a 2 b 2,0 3,0 b a b b ，b 4
20
14．
243
【详解】由题意，可得6秒内向右移动 4次，向上移动 2次
1 4 2
2
20
则所求概率为：C 46 3 3
243
15．9920
【详解】由题知， c1 1200， c2 1.05c1 100， c3 1.05c 100， 2 ，
cn 1 1.05cn 100，
由 cn 1 k r cn k 得 cn 1 rcn rk k ，
r 1.05 r 1.05
则 ，解得 ，
k rk 100
k 2000
所以 cn 1 2000 1.05 cn 2000 ，
则 cn 2000 是以 800为首项，1.05为公比的等比数列，
因 c1 2000 c2 2000 c10 2000
800 1 1.0510
10080，
1 1.05
所以 S10 c1 c2 c10 20000 10080 9920 .
2 , 1 16．
3e 2
x
【详解】原不等式 ae x 2 x 1 a x 2 x 1等价于 x ，e
x 1 x
设 g x a x 2 ， f x x ，令 f x 0，得 x 0e ex
当 x 0时， f (x) > 0，所以 f x 在 ,0 上单调递增，
当 x 0时， f x 0，所以 f x 在 0, 上单调递减，
当 x 0时， f x 取极大值，又 f 1 0，且 x 0时， f x 0，
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因此 f x x 1 的图像如下，
ex
直线 g x a x 2 恒过点 2,0 .
当 a 0有无数个整数解，不满足条件；
g(0) f (0) 2a 1 2 1
当 a 0
时，只需要满足 ，即 2 ，解得 a .
g(1) f (1) 3a 3e 2 e
2 1 2 1
则实数 a 的取值范围为 , .故答案为： , . 3e 2 3e 2
a n 1
17【详解】（1）证明：∵ nan 1 n 1 a n 1n ，∴ a ，n n
an n
∴ n 2 an 1 n 1
，-----------1分
a an an 1 a3 a2 a n n 1 4 3 2∴ n 1 n n 2 an 1 an 2 a2 a1 n 1 n 2 3 2 1
，-----------2分
*
当 n 1时，上式成立，∴ an n n N -------------3分
b
又因为bn 1 n
1
，b1 3bn 1
，
2
1 1
所以 3b b ，-----------------4分n 1 n
1
所以数列 是以 2为首项，公差为 3的等差数列，
bn
1
所以 2 3 n 1 3n 1b ，------------5 分n
1
所以bn ．---------------6分3n 1
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2an
（2）由（1 n）， 2 3n 1 ，
bn
T 2 21 5 22 8 23 3n 4 2n 1 3n 1 2n所以 n ，①（或者直接列T ）19
2Tn 2 2
2 5 23 8 24 3n 4 2n 3n 1 2n 1，②（或者列 2T ）---------7 分19
T 4 3 2 2 23 2 4 2 n所以① ②得， n (3n 1) 2 n 1
22 1 2 n 1
4 3 3 n 1 2 n 1
1 2
8 3n 4 2n 1 ---------------------
T 8 3n 4 2 n 1所以 n ．
所以 T 8 53 220 （或者直接错位相减求T ）--------------10 分19 19
x a
18．【详解】（1）解：函数 f x lnx a R 的定义域为 0, ，
x
a 1 x a
则 f x 2 .------------1分x x x 2
当 a 0时，对任意的 x 0， f x 0，此时函数 f x 的减区间为 0, ，无增区间；
当 a 0时，由 f (x) > 0，可得0 x a，由 f x 0，可得 x a .
此时，函数 f x 的增区间为 0,a ，减区间为 a, .
综上所述，当 a 0时，函数 f x 的减区间为 0, ，无增区间；-------------3分
当 a 0时，函数 f x 的增区间为 0,a ，减区间为 a, .-----------------5分
1 1
（2）解：由（1）知，当 a 时，函数 f x 在 ,e 上单调递减，
e e
此时， g a f 1 e 2 ae；-----------7分
1 1
当 a e 时，函数 f x 在 ,a 上单调递增，在 a,e 上单调递减，e e
此时， g a f a ln a；---------------9分
1
a e 当 时，函数 f x 在 ,e 上单调递增，此时， g a f e
a
.--------------11分
e e
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2 ae,a
1
e
综上所述， g a ln a,
1
a e.-------------------12分
e
a
,a e e
19．【详解】（1）零假设H0：数学成绩与物理成绩无关联，-----------1 分
2 100 (20 50 10 20)
2
12.698 10.828．----------------卡方代入式子------2分
30 70 40 60
----------------算出 12.698------3分
-------------和 10.828比较------4分
根据小概率值 0.001的独立性检验，有充分证据证明推断H0不成立，
故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于 0.001；----------5分
（2）由频率估计概率可得，
任取一个学生数学成绩优秀的概率为 p 0.4，--------------6分
设 12个学生中数学成绩优秀的人数为 ，随机变量 B 12,0.4 ，-------------7分
人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．
pk P k Ck120.4k0.612 k，-----------------8 分
设 P 最大k
p p , Ck 0.4k0.612 k Ck 10.4k 1k k 1 0.613 k ,
则 p p ,，即
12 12
k k 12 k k 1 k 1 -----------------9分
k k 1 C120.4 0.6 C12 0.4 0.6
11 k ,
解得 4.2 k 5.2，------------------------------11分
因 k Z，则 k 5，故 k 5时，
pk取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是 5个人．----------------12分
20.【详解】
（1 2）由题设, X 服从参数为 3 的两点分布,
P X 1 2 ,P X 0 1 .----------------------1分
3 3
2 2 2 2 2 2E X ，D X 1 2 1
0
. -------------3 分（期望、方差分别得 1分）3 3 3 3 3 9
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（2）记 A 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 B 表示事件: “甲投中花球”, 则
2 2
P A 2 1 2 2 1 2 4 1 2
4
2 26 C4 C4
3 3 3 3 3 243
4 ------------------5分
P AB C4 4 1
2
2 2
3 3 243
P AB 1于是 P B∣A .P A 13 ------------------------------7 分
（2）由题设 Y 值可取 5,6,7 , 则---------------8分
C0C5 2 C1C4 5 C2C3P Y 2 5 2 8 ；P Y 6 2 85 ；P Y 7 2 8C 9 C5 9 C5 .10 10 10 9
---------------------------11分（每个概率分别得 1分）
E Y 5 2 6 5 2于是 7 6 ----------------------12分
9 9 9
21．【详解】（1）设等比数列 an 的公比为q，
当 n 1时，有 a2 a1 2，则 a1q a1 2 ①------------1 分
an 1 S 2
当 n 2 n时， a S 2，两式相减可得：
an 1 an Sn Sn 1 an ，------------3 分
n n 1
整理得 an 1 2an， --------------4分
可知 q = 2，代入①可得 a1 2，
所以等比数列 an 的通项公式为 a 2n（ n N*n ）.------------------------5分
（2）由已知在 an 与 an 1之间插入n个数，组成以 an 2n为首项的等差数列，
n 2 an a n a a所以T n 1 n a
n n 1
n an 1 3 n 2
n 1，-----------------7分
2 2
则 ( 1)n 2
3n 2
2
T 2n ，------------------8分n
2
设 cn 2 n ，则 cn 是递增数列，2
n 2 2 3当 为偶数时， 2 恒成立，即 2 n c2
3
n 2 2，所以
；---------10分
2 min 2
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n 2 2
2
当 为奇数时， 恒成立，即 2 n c 1n 2 1 ，所以
1；--------11分
2 min
3
综上所述， 的取值范围是 1, .---------------------12分
2
22．【详解】（1）当 a 1时， f x lnx x，定义域为 (0, )，
1 1 x
则 f x 1 ，------------------1分
x x
f (x) 0 0 x 1， f (x) 0 x 1，
所以 f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，------------------3分
故 f (x)的极大值为 f 1 1 ----------------------4分
（2）由题意知， a 0，
由 f x1 g x2 可得 aln
x1 x ax aex2
a 1 2
，
ln x1 x所以 1 lnex2 ex2 .-------------------------5分
a a
令 h x lnx x，
由（1）可知，h x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
h x1 则 h ex2 ，--------------------------6 分
a
x
令 t1 1 , t2 e
x2 ，
a
又 x1 0, x2 0，
所以 t1 0, t2 1，
则 h t1 h t2
t 1 t t 2 x1 ex2 x①若 21 ，则 1 2 ，即 2，所以 x1 ae 2a；--------------7分a
②若0 t1 1，设 t3 1, )，且满足h t3 h t1 ，如图所示，
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则 h t3 h t1 h t2 ，
所以1 t3 t2，
下证： t3 t1 2 .------------------8分
令 F x h x h 2 x lnx ln 2 x 2x 2, x 0,1 ，
F x 1 1 2 2( x 1)
2
则 0x 2 x x 2 x ，---------------------9 分
所以 F x h x h 2 x 在 x 0,1 上单调递增，
所以 F x F 1 0，
所以 F t1 h t1 h 2 t1 0，即 h t1 h 2 t1 ，-------------10分
又因为 h t3 h t1 ，
所以 h t3 h 2 t1 , t3, 2 t1 1, ，
所以 t3 2 t1，即 t3 t1 2，
又因为1 t3 t2，----------------------11分
t t x所以 21 2 2，即 x1 ae 2a .
由①②可知， x1 ae
x2 2a得证.-------------------12分
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数 学 试 题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
U R A {x | x 1 0},B x | x2 2x 3 01 ．已知全集 ，设集合 ，则 (CU A) B （ ）
A． x |1 x 3 B． x | 2 x 1 C． x | x 1 D． x | x 3
3
2 2．某物体做直线运动，其运动规律是 s = t + ，则它在第 4秒末的瞬时速度为（ ）
t
123 125 67
A． 米/秒 B． 米/秒 C．8米/秒 D． 米/秒
16 16 4
3．已知函数 f x lnx x 2 ，则 f x 的零点所在的区间为（ ）.
x
A． 1,1 B． 1,2 C． 2,e D． e,3
4．随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了 5家商家对某个品牌的自行
车的售价 x（百元）和月销售量 y（百辆）之间的一组数据，如下表所示：
价格 x 9.6 9.9 10 10.2 10.3
销售 y 10.2 9.3 m 8.4 8.0
根据计算可得 y与 x的经验回归方程是： y 3.1x 40，则m的值为（ ）
A．8.8 B．8.9 C．9 D．9.1
π 5．已知 a 2 2 ， b 3，a，b的夹角为 . 如图所示，若4 AB 5a 2b，AC a 3b
，且
D 为 BC 的中点，则 AD的长度为（ ）
2022-2023学年度下学期 第三学程 高二（数学）试题 1 / 6
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15
A． B 15． C．7 D．8
2 2
6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正
态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随
机变量Y B(n, p)，当 n 充分大时，二项随机变量 Y 可以由正态随机变量 X 来近似，且
正态随机变量 X 的期望和方差与二项随机变量 Y 的期望和方差相同．棣莫弗在 1733年
p 1证明了 的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的 p 进行了证明．现抛掷一枚质地
2
均匀的硬币 100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过 60次的概率为（ ）
（附：若 X N , 2 ，则 P( X ) 0.6827，P( 2 X 2 ) 0.9545，
P( 3 X 3 ) 0.9973）
A．0.1587 B．0.02275 C．0.0027 D．0.0014
7．已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x f x 0，f x 1 f x 1 ，当 x 0，1
时， f x 4x 3则 f log4 80 =（ ）
1 4 1
A． B． C．1 D．
5 5 5
8．若数列 an 满足 a1 1,a2 4，且对于 n N* n 2 都有an 1 2an an 1 2，则
1 1 1 1
a3 1 a5 1 a7 1 a2023 1
（ ）
1011 1011 2022 1011
A． B． C． D．
2024 4048 2023 2023
二、选择题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“ x R， x2 x 1 0 ”的否定为“ x R， x2 x 1 0 ”
B．若 a b， c d，则 ac bd
2 m2C 2m 3．若幂函数 y m m 1 x 在区间 0, 上是减函数，则m 2或 1
D．方程 x2 a 3 x a 0 有一个正实根，一个负实根，则 a 0
2022-2023学年度下学期 第三学程 高二（数学）试题 2 / 6
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10．已知 x 3y 1(x 0, y 0)，则下列说法中正确的有（ ）
A． xy
1
的最大值为
12
B．2x 8y的最小值为 2 2
C 1． x2 9y2的最大值为 2
1 1
D． x y的最小值为 4 2 3
11．深州蜜桃是河北省特产，已有近两千年的栽培史，其主要特点是个头大，每个重约
250克，果型秀美，色泽淡黄中又衬有鲜红色，皮薄肉细，汁既多又甜，古时就有“北国
之桃，深州最佳”之说．假设某种植园成熟的深州蜜桃单果质量M （单位：g)服从正态
分布 N 250, 2 ，且 P(M 245) 0.35,P(M 252) 0.4．（ ）
A．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选 1个，则这个蜜桃的质量小于 248g的概率为
0.45
B．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选 1个，则这个蜜桃的质量在 248g 255g的概
率为 0.25
C．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选 2个，则这 2个蜜桃的质量都小于248g的概
率为 0.16
D．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选 2个，则这 2个中至少有 1个蜜桃的质量在
248g 255g的概率为 0.8775
12．已知函数 f x e2x 2ax ， a R，则下列结论中正确的有（ ）
A． f x 必有唯一极值点
B．若 a 1，则 f x 在 1,1 上有极小值1
C．若 a 1，对 x 0, 有 f x kx恒成立，则 k 2e 2
6
D．若存在 x0 2,3 ，使得 f x0 0 e成立，则 a 6
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第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13．若向量 a 3,3 ， b 2,0 ，则 a在b 上的投影向量的坐标为 ．
14．如图，在小地图中，一机器人从点 A 0,0 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应
2 1
点，已知每次向上移动1格的概率是 3 ，向右移动1格的概率是 ，则该机器人6秒后到3
达点 B 4,2 的概率为 .
15．某牧场今年初牛的存栏数为 1200，预计以后每年存栏数的增长率为5%，且在每年
100 c ,c ,c , 年底卖出 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列 1 2 3 ，
10
Sn为数列 C 的前 n项和，则 S （1.05 1.6310 ，答案精确到 1）.n
16．已知不等式 aex x 2 x 1恰有 1个整数解，则实数 a 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 6 小题,第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70 分
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
17．已知数列 an 的首项为a1 1，且满足 nan 1 n 1 an ，数列 bn 满足b1 a ，且2
b bn 1 n3bn 1
．
(1)求 an ， bn 的通项公式；
2an
(2)设数列 的前 n 项和为Tn ，求 ．
b Tn 19
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18．已知函数 f x x a lnx a R ．
x
(1)讨论 f x 的单调性；
1
(2) f x 在 , e 上的最大值记作 g a ，求 g a 的表达式． e
19．为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为
100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下 2 2列联表：
物理成绩
数学成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 20 20
不优秀 10 50
合计
(1)试根据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
(2)用样本频率估计每一位同学数学成绩优秀的概率，从该学校中随机抽取 12个学生，问
这 12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少 （注：必须有求解演算过程）
2 n(ad bc)
2
参考公式： a b c d a c b d ，其中n a b c d．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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20．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于 1995年，至今已有 28个赛季，根据传统，在
每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为
吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点
位有 5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得 1分，投不
中的得 0分，最后一个花球投中得 2分，投不中得 0分.全明星参赛球员甲在第一个角度
2
的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为 3 ，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完 1个普通球的得分为 X，求 X 的方差 D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的 5个球后共得到了 2分，求他是投中了花球而得到了
2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的 10个篮球对
应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出 5个小模型，并规定，摸出一个花球
小模型计 2分，摸出一个普通球小模型计 1分，求该幸运球迷摸出 5个小模型后的总计
分 Y 的数学期望.
21．已知等比数列 a *n 的前 n项和为 Sn ,an 1 Sn 2 n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入n个数，使这 n 2个数组成一个等差数列，记插入的这 n个数之
和为Tn，若不等式 ( 1)
n 3n 2
T 对一切 n N
*恒成立，求实数 的取值范围；
n
22．已知函数 f x aln x x,g x ax ae x.(e 2.71828 为自然对数的底数 )
a
(1)当 a 1时，求函数 y f x 的极大值；
(2) x1, x2 0, f x1 g x x ae
x2
已知 ，且满足 2 ，求证： 1 2a .
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