本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
1.4.2 空间向量应用（二）
考点一 空间向量求线线角
【例1】（2020·全国高三一模（文））如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·河南高二）已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（ ）
A． B． C． D．
2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．已知四棱锥S ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
A． B． C． D．
考点二 空间向量求线面角
【例2】（2020·全国高二）如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.
（1）求证：；
（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2020·天津河西.高三二模）在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.
3．（2020·江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
考点三 空间向量求二面角
【例3】（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥中，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【一隅三反】
1．（2020·全国）如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
2．（2020·全国）如图，已知四棱锥中，是平行四边形，，平面平面，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
3．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
考点四 空间向量求距离
【例4】（2020·全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2019·湖南高二期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高二课时练习）若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
1.4.2 空间向量应用（二）
考点一 空间向量求线线角
【例1】（2020·全国高三一模（文））如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
又因为，，
所以，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，
所以，故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·河南高二）已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有．
设，则，，
所以．
又因为，所以．
故选：A．
2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC＝2，则A(0，－1，0)，M(0，0，2)，
B(－，0，0)，N，
所以＝(0，1，2)，
＝，
所以cos〈，〉＝＝＝，故选C.
3．已知四棱锥S ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S ABCD的棱长为，
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为，
＝，＝(－1,0，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，
故异面直线所成角的余弦值为.故选C
考点二 空间向量求线面角
【例2】（2020·全国高二）如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.
（1）求证：；
（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）因为，，所以.
因为为正方形，所以，
又因为，所以.
因为，所以.
因为，故，而为线段的中点，
所以，
又因为，所以.
而，故；
（2）因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，，
∴，，
设为平面的法向量，则
所以取，则，而，
故直线与平面所成角的正弦值为
【一隅三反】
1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接.
，，为的中点，则，，
又，可得，四边形为平行四边形，，
且，，
，，，则，，
，，平面，
平面，因此，；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由，得，可得，
令，可得，，则，
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
2．（2020·天津河西.高三二模）在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】如图建立空间直角坐标系，
(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)
（1）证明：设平面的法向量(，，)，
(1，1，0)，(0，1，1)
由，即，
取，得(1，-1，1)，
又(-1，1，2)，
因为，所以，所以平面.
（2）证明：由（1）可知(1，-1，1)，(-1，1，-1)，，所以，
所以平面.
（3）设点的坐标为(1，1，)，(0，1，)，
设直线与平面所成角为，则，
解得，所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，，
所以的长为.
3．（2020·江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
【答案】(1)；(2).
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，
A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，
设直线CE与直线PA夹角为，则
整理得；
直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)设直线PC与平面DEC夹角为，
设平面DEC的法向量为，
因为，
所以有
取，解得，，
即面DEC的一个法向量为，，
.
直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.
考点三 空间向量求二面角
【例3】（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥中，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），
平面，平面，
平面．
又平面，
．
在中，，
，
，即．
又平面平面，
平面．
（2）据（1）求解知，两两互相垂直．
以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
则，
．
设平面的一个法向量，则
令，则，
．
又平面的一个法向量，
．
又分析知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
【一隅三反】
1．（2020·全国）如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）如图，连接，因为平面，所以.
又因为在圆周上，为圆的直径，所以，.
故平面.
（2）因为，直径，，所以，，
由（1）得，，，
垂直于圆所在的平面，所以.
因为，以点为坐标原点，以、为、轴建立如图空间直角坐标系，则、、、，
，，
设平面的法向量，则，即，
取，得.
同理可求得平面的一个法向量.
设与的夹角为，故，
又由图知为锐二面角，二面角的余弦值为.
2．（2020·全国）如图，已知四棱锥中，是平行四边形，，平面平面，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，，
因为，，分别为，，的中点，
所以，，
又因为，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面.
因为平面，
所以，
又，，
所以平面.
所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则轴在平面内.令，又，，
所以，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则所以
令，则，，所以.
又平面，所以是平面的一个法向量.
所以.
所以二面角的余弦值为.
3．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以.因为，
所以，所以，
故.又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，
则，，，，
易知为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，
由，即∴，
取，则，.
依题意，，解得.
于是，，.
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法．
考点四 空间向量求距离
【例4】（2020·全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图建立空间直角坐标系，则：
由于平面平面
，又，
平面
故平面的一个法向量为：
到平面的距离为：
故选：B
【一隅三反】
1．（2019·湖南高二期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意，则，故选：A
2．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，，，.
，，.
设平面的法向量，
则，令，得，，
故.
因为直线与平面所成角的正切值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距离为.
故选：D
3．（2020·全国高二课时练习）若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)..
设平面ABC的一个法向量为，由得：.
令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.故选：.
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸
