课件17张PPT。第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆1.圆的定义
(1)描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固
定的一个端点O_________,另一个端点A所形成
的图形叫做圆.
①固定的端点O叫做_____,线段OA叫做_____.
②圆的记法和读法:以点O为圆心的圆记作“___”,读作“___”.
(2)集合定义:圆可以看成是到_____的距离等于_____的点的集合.旋转一周圆心半径☉O圆O定点定长2.圆的相关概念圆心线段两点重合互相重合优弧直径劣弧【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.圆是一个平面.( )
2.以1cm为半径只能画几个圆.( )
3.直径不是弦.( )
4.弧分为优弧和劣弧.( )
5.两段圆弧,较长的是优弧,较短的是劣弧.( )
6.在同圆或等圆中能够重合的弧是等弧.( )
7.圆心相同的圆是等圆.( )×××××√×知识点一 圆的定义及其应用
【示范题1】如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.【思路点拨】作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
【自主解答】连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
又∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.【想一想】
圆是一条曲线,还是一个曲面?
提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.【微点拨】
利用同一个圆的半径相等,可以为三角形全等提供相等的边,由等边对等角,也可以为三角形全等提供相等的角.【方法一点通】
确定圆的“两个要求”
1.圆心:确定圆的位置.
2.半径:确定圆的大小.知识点二 圆的有关概念辨析
【示范题2】在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;
③如图所围成的图形是半圆.其中正确的命题有 .【教你解题】【想一想】
长度相等的两条弧是等弧吗?
提示:在同圆或等圆中能够重合的弧是等弧,长度相等的两条弧不一定能够重合.【备选例题】
过圆上一点可以作圆的最长弦有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无
【解析】选A.直径是圆中最长的弦,过圆上一点只能作一条直径.【方法一点通】
圆中容易混淆的“两组基本概念”
1.弦与直径.
(1)直径是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.
(2)弦是连接圆上任意两点的线段,但直径是经过圆心的弦.
2.弧与半圆.
(1)半圆是弧,但弧不一定是半圆.
(2)圆上任意两点分圆成两段弧.圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.提技能·题组训练
圆的定义及其应用
1.以已知点O为圆心、已知线段a为半径作圆,可以作出圆的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.无数
【解析】选A.圆心确定,半径确定,圆就唯一确定.
2.半径为5cm的圆满足☉O上的点到圆心的距离( )
A.大于5 cm B.小于5 cm
C.不等于5 cm D.等于5 cm
【解析】选D.根据圆的定义可得,☉O可以看成是到定点O的距离等于定长r的点的集合.
3.如图,AB和CD都是☉O的直径,∠AOC=50°,则∠C的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.50°
【解析】选B.∵AB和CD都是☉O的直径,∴OC=OB,
∴∠C=∠B.又∠C+∠B=∠AOC,
∴∠C=∠AOC=25°.
4.顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【解析】选C.圆的两条直径相等且互相平分,可得围成的四边形一定是矩形.
5.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC= .
【解析】由OA=OB,AD=CD,可得BC=2OD=8.
答案:8
6.已知:如图,OA,OB为☉O的半径,C,D分别为OA,OB的中点,求证:AD=BC.
【证明】∵C,D分别为OA,OB的中点,OA=OB,∴OD=OC,
又∵∠O=∠O,∴△AOD≌△BOC(SAS),∴AD=BC.
7.如图所示,BD,CE是△ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.
【证明】取BC的中点F,
连接DF,EF.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴△BCD和△BCE都是直角三角形.
∴DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,∴DF=EF=BF=CF.∴E,B,C,D四点在以点F为圆心,BC为半径的圆上.
【知识归纳】证明n点共圆的方法
根据圆上各点到圆心的距离都相等,所以只需要证明这n个点到某一点O的距离相等即可,此时点O为圆心,任意一点到点O的距离为该圆的半径.
圆的有关概念辨析
1.下列说法中,正确的是( )
A.两个半圆是等弧
B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C.长度相等的弧是等弧
D.同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【解析】选B.只有在同圆或等圆才有等弧可知选项A、C错,优弧大于半圆,劣弧小于半圆,可得同圆中优弧与半圆的差必是劣弧.
2.等于圆周的弧为( )
A.劣弧 B.半圆 C.优弧 D.圆
【解析】选C.圆周大于半圆,是优弧.
3.如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为 .
【解析】弦是连接圆上两点的线段,图中的弦有BC,CE.
答案:2
【易错提醒】弦的两个端点必须都在圆上,只有一个端点在圆上的线段不是弦.
4.如图,圆中以A为一个端点的优弧有 条,劣弧有 条.
【解析】以A为一个端点的优弧有,,共3条;劣弧有,,,共3条.
答案:3 3
5.如图,在☉O中,线段AB为其直径,为什么直径AB是☉O中最长的弦?
【解析】如图,CD为☉O中非直径的任意一条弦,连接OC,OD,则OC+OD>CD,而OC,OD为☉O的半径,
∴直径>CD,即直径AB为☉O中最长的弦.
6.若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
【解析】点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);
最长距离为:12+8=20(cm).
【易错提醒】求某点到圆上各点的距离中最短距离和最长距离问题,一定要分清该点在圆外还是在圆内,过该点和圆心作直线,不难得出答案.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
若☉O的半径为4,点P到☉O上一点的最短距离为2,求点P到☉O上一点的最长距离.
(1)错因: .
(2)纠错: .
答案：(1)漏掉了点在圆外的情况
(2)当点在☉O的外部时,点P到圆上一点的最长距离为4×2+2=10
课时提升作业(二十二)
圆
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,其中正确的有( )
①长度相等的两条弧是等弧;
②面积相等的两个圆是等圆;
③劣弧比优弧短;
④菱形的四个顶点在同一个圆上.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.等弧是在同圆或等圆中能够重合的弧,长度相等的两条弧不一定是等弧,故①错误;等圆的半径相等,面积相等的两个圆的半径相等,是等圆,故②正确;在不同的圆中劣弧不一定比优弧短,故③错误;菱形的对角线不一定相等,四个顶点到对角线交点的距离不一定相等,故四个顶点不一定在同一个圆上,故④错误.正确的有1个.
2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于
( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
【解析】选D.∵∠BOC=110°,∴∠AOC=70°.
∵AD∥OC,∴∠OAD=∠AOC=70°.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=70°,∴∠AOD=40°.
3.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当P点在上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )
A.逐渐变大 B.逐渐变小
C.不变 D.不能确定
【解析】选C.连接OP,∵直角三角形PAB中,AB2=PA2+PB2,
又∵矩形PAOB中,OP=AB,
∴PA2+PB2=AB2=OP2.
【知识归纳】圆的半径的作用
利用同圆或等圆的半径相等来解决一些求线段长度的问题很方便,往往和矩形、菱形的性质以及勾股定理联系在一起,特别是矩形的对角线相等利用的较多.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·黄冈中考)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为 .
【解析】连接OD,设圆的半径为x,即有OE=OD=x,∵M是CD的中点,
∴DM=CD=2,∵EM=8,∴OM=EM-OE=8-x,
又∵EM⊥CD,
∴△ODM是直角三角形,∴OD2=OM2+DM2,即x2=(8-x)2+22,解得x=.
答案:
【易错提醒】能作出辅助线,正确表示出直角三角形三边是关键.
5.已知:如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,则∠C= .
【解析】连接OD,∵AB=2DE,AB=2OD,∴OD=DE,
∴∠DOE=∠E=18°,∠ODC=∠DOE+∠E=36°,
∵OC=OD,∴∠C=∠ODC=36°.
答案:36°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于 .
【解析】连接CD,在Rt△ABC中,∵AD=BD,CD=AB=5,∴BC=CD=5,由勾股定理得AC=5.
答案:5
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2014·滨州实验质检)如图,已知半径为R的半圆O,过直径AB上一点C,作CD⊥AB交半圆于点D,且CD=R,试求AC的长.
【解析】(1)当C点在A,O之间时,如图甲.
由勾股定理OC==R,
故AC=R-R=R.
(2)当C点在B,O之间时,如图乙.由勾股定理知OC==R,故AC=R+R=R.
【易错提醒】该类型的题目,学生往往只考虑一种情况,而出现解的遗漏,如本题学生易根据题干图的情况将点C在OA上的情况遗漏.
8.(8分)如图,已知在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
【证明】∵点D在∠BAC的角平分线上,∴∠1=∠2.
又∵DE∥AC,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,∴AE=DE.
又∵BD⊥AD于点D,
∴∠ADB=90°,∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°,∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,∴AE=BE=DE,
∴点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
【知识归纳】证明某一点是一个圆的圆心时,只需证出其他点到该点的距离相等,一般利用直角三角形斜边的中线的性质来证明,或利用等腰三角形的性质来证明等.
【培优训练】
9.(10分)如图,射线OA经过☉O的圆心,与☉O相交于点A,点C在☉O上,且
∠AOC=30°,点P是射线OA上的一个动点(与O不重合),直线PC与☉O相交于点B,问:(1)当点P在线段OA上满足BP=OB时,求∠OCP的度数.
(2)当点P在线段OA的延长线上满足BP=OB时,求∠OCP的度数.
【解析】(1)当P在线段OA上时,
在△BOC中,OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
在△OPB中,BP=OB,
∴∠BOP=∠BPO.
又∵∠BPO=∠OCB+∠AOC,
∠AOC=30°,∠BOP+∠BPO+∠OBC=180°,
∴3∠OCP=120°,
∴∠OCP=40°.
(2)当P在线段OA的延长线上时(如图),
∵OC=OB,
∴∠OBP= ①.
∵OB=BP,
∴∠OPB= ②.
在△OCP中,30°+∠BOC+∠OBP+∠OPB=180° ③.
把①②代入③得∠BOC=20°,则∠OBP=80°,
∴∠OCP=100°.
