课件16张PPT。24.1.2
垂直于弦的直径1.圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条_______的直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
(1)内容:垂直于弦的直径_____弦,并且_____弦所对的两条弧.
(2)推论:平分弦(不是_____)的直径_________,并且_____弦所
对的两条弧.过圆心平分平分直径垂直于弦平分【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.直径是圆的对称轴.( )
2.圆有无数条对称轴.( )
3.平分弦的直径垂直于弦.( )
4.弦的垂直平分线必过圆心.( )×√×√知识点一 垂径定理及其推论
【示范题1】如图所示,等腰△AOB中OA=OB,☉O与边AB交于C,D两点,求证:AC=BD(不用全等证明).【思路点拨】过点O作OE⊥AB于E,根据垂径定理得CE,DE的关系,再根据等腰三角形的“三线合一”性质得AE,BE的关系,进而得结论.
【自主解答】过点O作OE⊥AB于E,
由垂径定理得CE=DE,
又∵OA=OB,∴AE=BE,
∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.【想一想】
垂径定理中的“垂径”一定是直径吗?
提示:不一定,可以是半径或过圆心的直线【微点拨】
1.证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.
2.常综合运用垂径定理和等腰三角形的性质,证明圆中与弦有关的线段相等.【方法一点通】
根据垂径定理与推论“知二推三”
对于一个圆和一条直线,若具备:
(1)过圆心;
(2)垂直于弦;
(3)平分弦;
(4)平分弦所对的优弧;
(5)平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.知识点二 垂径定理及其推论的应用
【示范题2】(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户是由矩形和弓
形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻
璃,请帮工程师求出 所在圆O的半径r.【思路点拨】由垂径定理可得,AF=BF= m,OF可表示为r-EF,
由勾股定理可求出圆的半径.
【自主解答】由题意知OA=OE=r,∵EF=1m,
又OE⊥AB,∴AF= AB= ×3= (m).
在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,
即(r-1)2+ =r2,
解得r= m.即圆O的半径为 m.【想一想】
过一条弦的中点和这条弦所对弧的中点的直线必过圆心吗?
提示:必过圆心.【微点拨】
1.解决有关弓形的题目,要根据题意画出几何图形,过圆心作弦的垂线,能得到弦的中点和弧的中点,这两个中点的连线为弓高,然后利用勾股定理列方程求解.
2.应用垂径定理计算的关键是寻找弦的一半、半径和圆心到弦的垂线段为边的直角三角形,利用勾股定理列方程求解.【方法一点通】
垂径定理基本图形的四变量、两关系
1.四变量:如图,弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦
的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系:① +d2=r2;②h+d=r.提技能·题组训练
垂径定理及其推论
1.如图所示,在☉O中,直径MN⊥弦AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
A.AC=CB B.=
C.= D.OC=CN
【解析】选D.∵直径MN⊥AB,由垂径定理AC=CB,=,=,不能得到OC=CN.
2.(2013·温州中考)如图,在☉O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是
( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.∵OC⊥弦AB,
∴BC=AB=2,
在Rt△OBC中,∵OB2=BC2+OC2,
∴OB==.
3.(2013·佛山中考)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是
( )
A.3 B.4 C. D.
【解析】选C.如图,过圆心O作OC⊥弦AB于点C,连接OB,
在Rt△OCB中,OB=3,
BC=AB=2,
所以OC==.
4.如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为 .
【解析】如图,过点P作PC⊥x轴于C,则OC=4.
又OA=2,所以AC=2.
根据垂径定理可得BC=AC=2.
因此,点B的坐标为(6,0).
答案:(6,0)
5.已知:如图,AB是☉O的弦,☉O的半径为5,OC⊥AB于点D,交☉O于点C,且CD=2,那么AB的长为 .
【解析】连接OA,在Rt△ODA中,OA2=AD2+OD2,即52=(5-2)2+AD2,解得:AD=4.∵OC⊥AB,∴AB=2AD=8.
答案:8
6.如图,已知AB是☉O的弦,P是AB上一点,若AB=10,PB=4,OP=5,求☉O的半径的长.
【解析】连接OB,过O作OM⊥AB于M,则AM=BM=5,在Rt△OPM中,
PM=BM-PB=1,OM===2在Rt△OBM中,
OB===7.
即☉O的半径为7.
垂径定理及其推论的应用
1.(2013·兰州中考)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水的最大深度为2 cm,则该输水管的半径为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
【解析】选C.如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,
连接OA,∵OD⊥AB,
∴AD=AB=×8=4(cm),
设OA=r,则OD=r-2,
在Rt△AOD中,
OA2=OD2+AD2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5cm.
【变式训练】(2013·襄阳中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为 m.
【解析】如图,设圆柱形排水管道的圆心为点O,作OD⊥AB于点C,交☉O于点D,连接OA.根据垂径定理可得AC=AB=0.4m.
在Rt△OAC中,OA=0.5m,
∴OC===0.3(m),
∴CD=OD-OC=0.5-0.3=0.2(m),
即排水管内水的深度为0.2m.
答案:0.2
【方法技巧】1.过圆心作弦的垂线,交圆周于一点,垂足和这一点的连线为最大深度.
2.运用垂径定理和勾股定理,求出相应的线段长.
2.(2013·绍兴中考)绍兴是著名的桥乡,如图,圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为( )
A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m
【解析】选D.连接OA,则OA=OC=5m,OD=CD-OC=8-5=3(m),
在Rt△OAD中,OA2-OD2=AD2,
即52-32=AD2,解得AD=4m.
∵OD⊥AB,由垂径定理可得AB=2AD=8m.
3.如图是一个小孩荡秋千的示意图,秋千链子OB的长度为2m,当秋千向两边摆动时,摆角∠BOD恰好为60°,且两边的摆动角度相同,则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是( )
A.(2-)m B.m
C.(2-)m D.m
【解析】选A.∵点A为的中点,O为圆心,由垂径定理知:BD⊥OA,BC=DC.
∵∠BOD=60°,∴∠BOA=30°,∵OB=OA=OD=2m,∴BC=1m,在Rt△OBC中,根据勾股定理知OC=m,∴AC=OA-OC=2-(m).
4.“五段彩虹展翅飞”,横跨南渡江的琼州大桥如图,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图(1).最高的圆拱的跨度为110m,拱高为22 m,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为 m.
【解析】设所在圆的圆心为O,作OE⊥CD于点F,
连接OC.设圆拱的半径为Rm,则OF=(R-22)(m).
∵OE⊥CD,∴CF=CD=×110=55(m).
根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2,即R2=552+(R-22)2.
解这个方程,得R=79.75.
所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5(m).
答案:159.5
【知识归纳】1.垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据.
2.利用垂径定理和勾股定理,用列方程的方法解决几何问题,会带来许多方便.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上,向桶内加油后,量得长方形油面的宽度为8 cm,求油的深度(指油的最深处即油面到水平地面的距离).
(1)错因: .
(2)纠错:
答案：(1)油的深度为CD,不是OD;漏掉了当AB在圆心O的上方的情况.
(2)当AB在圆心O的下方时,油的深度为CD=5-3=2(cm);当AB在圆心O的上方时,油的深度为CD=5+3=8(cm).
课时提升作业(二十三)
垂直于弦的直径
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·潍坊中考)如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( )
A.4 B.8
C.2 D.4
【解析】选D.连接OC,如图,设OC的长为r,
∵AB=12,BP∶AP=1∶5,
∴AP=10,∴OP=4.
由垂径定理可得△OPC是直角三角形,并且CD=2CP.
在Rt△OCP中,
由勾股定理CP===2,
∴CD=2CP=4.
2.(2013·德阳中考)如图,☉O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,则∠EOD等于( )
A.10° B.20°
C.40° D.80°
【解析】选C.连接OF,∵直径CD过弦EF的中点G,
∴=,∠EOD=∠FOD,
∵∠FOD=2∠DCF=40°,∴∠EOD=40°.
3.(2013·泸州中考)已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
A.2cm B.4cm
C.2cm或4cm D.2cm或4cm
【解析】选C.①如图1所示,分别连接AC和AO,
∵AB⊥CD,∴AM=AB=4 cm,
在Rt△AOM中,OM===3(cm),
CM=OC+OM=5+3=8(cm),在Rt△AMC中,
AC===4(cm),
②如图2所示,
由①可知OM=3cm, CM=OC-OM=5-3=2(cm),
在Rt△AMC中,AC===2(cm).
由①②得,AC的长为2cm或4cm.
【易错提醒】利用垂径定理和勾股定理求弦长时,要注意弦在圆上的位置,要多画图尝试,不要漏掉一种情况.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·宁夏中考)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 cm.
【解析】过圆心O作OD⊥AB于D,连接OA.根据题意,得OD=OA=1cm,
在Rt△ADO中,由勾股定理,得AD=cm,根据垂径定理,得AB=2cm.
答案:2
5.☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围为 .
【解析】如图,作OM⊥AB于M,连接OB,则BM=AB=×8=4.
在Rt△OMB中,OM===3.当P与M重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.
答案:3≤OP≤5
6.(2013·吉林中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB.点P是半径OB上任意一点,连接AP.若OA=5cm,OC=3cm,则AP的长度可能是 cm
(写出一个符合条件的数值即可).
【解题指南】1.确定一个圆中的有关线段长的范围时,求出该线段长的最小值和最大值即得范围.
2.借助垂径定理及勾股定理,把动态问题转化为静态问题,能使问题简化.
【解析】当点P与点O重合时,AP最短,长为5cm,当点P与点B重合时,AP最长,为弦AB的长,通过垂径定理可得C为AB的中点,AC===4(cm),所以AB=8cm,故5≤AP≤8.
答案:6(答案不唯一,5≤AP≤8均可)
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD.
(1)求证:BC=BD.
(2)已知CD=6,求☉O的半径长.
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,
∴CH=DH,BC=BD.
(2)连接OC,
∵CD平分OA,
设☉O的半径为r,
则OH=r,
∵CD=6,
∴CH=CD=3.
∵∠CHO=90°,∴OH2+CH2=CO2,
∴(r)2+32=r2,∴r=2.
故☉O的半径长是2.
【方法技巧】圆中经常用到作辅助线的方法
1.连接圆心和弦的端点作出半径.
2.过圆心作弦的垂线.
通过辅助线将垂径定理和勾股定理有机结合,化圆中问题为三角形问题.
8.(8分)如图,AB是☉O的直径,BC是弦,AC⊥BC,OD⊥BC于E,交☉O于D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论.
(2)若BC=8,ED=2,求☉O的半径.
【解析】(1)不同类型的正确结论有
①BE=CE;②=;③∠BED=90°;
④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD;⑥OE2+BE2=OB2;
⑦S△ABC=BC·OE.(答案不唯一)
(2)∵OD⊥BC,∴BE=CE=BC=4.
设☉O的半径为R,则OE=OD-DE=R-2,
在Rt△OEB中,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,
即(R-2)2+42=R2,
解得R=5,∴☉O的半径为5.
【培优训练】
9.(10分)如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由.
【解析】如图,MEFN为货船的顶部,货船沿中心OC前进最有利,连接OA,ON,设CD交MN于H.
∵AB=7.2,CD=2.4,EF=3,且D为AB,EF的中点,
∴OD⊥AB,OC⊥MN.
设OA=R,则OD=OC-CD=R-2.4,
AD=AB=3.6,
在Rt△OAD中,有OA2=AD2+OD2,
即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9,
在Rt△ONH中,OH===3.6,
∴FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m),
∵2.1 m>2 m,∴货船可以顺利通过这座桥.
