课件20张PPT。24.1.3
弧、弦、圆心角1.圆的旋转不变性
圆是_________图形,而且圆绕圆心旋转任意一个角度都能与
原图形_____.
2.圆心角
___________的角叫做圆心角.中心对称重合顶点在圆心3.圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角中有_____量相
等,那么它们所对应的其余各组量也_____.
即:(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_____,所对的
弦也_____.
(2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角
_____,所对的弦也_____.
(3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角
_____,所对的弧也_____.一组相等相等相等相等相等相等相等【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.( )
2.相等的圆心角所对的弧相等.( )
3.顶点在圆上的角叫圆心角.( )
4.相等的弦所对的弧相等.( )
5.等弧所对的弦相等.( )
6.弦相等所对的圆心角相等.( )√×××√×知识点一 圆心角及弧、弦、圆心角的关系
【示范题1】下列说法正确吗？
(1)如图1，小明说：“因为 所对的圆心角都是∠O，所以 ”.
(2)如图2，小华说:“因为AB=CD，
故 所对的AB等于CD所对的 ”.【解题探究】(1)什么是等弧?等弧所在的圆的半径有什么关系?
提示:等弧是指能完全重合的两条弧,等弧所在的圆的半径相等.
(2)一条弦对着几条弧?这条弦所对的弧相等吗?
提示:一条弦对着两条弧,这两条弧不一定相等.【尝试解答】(1) 所在的圆的半径不相等，这两条弧
不相等，小明的说法不正确.
(2) 是劣弧， 是优弧，这两条弧不相等，小华的说法不
正确.【想一想】
在同圆或等圆中两弦相等,若要使它们所对的弧一定相等,应限定怎样的条件?
提示:在同圆或等圆中弦相等,其所对的弧不一定相等,若要使其一定相等,还应限定该弦所对的弧要么是优弧,要么是劣弧.【备选例题】如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作
⊙A，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：【证明】连接AF,
∵AD∥BC,∴∠3=∠B,∠1=∠2.
又AB=AF,∴∠B=∠2,∴∠3=∠1,∴ 【方法一点通】
“知一推二”及两限定
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等,其余的各组量也相等,简称“知一推二”.
1.当知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
2.当两弦相等推圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.知识点二 弧、弦、圆心角的应用
【示范题2】如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD, MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在☉O上.求证:【思路点拨】连接OM,ON,证明Rt△OMC和Rt△OND全等,可得
∠AOM=∠BON,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,
可得 【自主解答】连接OM,ON,则OM=ON.
∵MC⊥AB,ND⊥AB,
∴∠OCM=∠ODN=90°,
由OA=OB,AC=BD,得OC=OD,
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL),
∴∠AOM=∠BON,∴【想一想】
在同圆或等圆中,较大的弦所对的劣弧也较大吗?
提示:通过作图的方法,可把两条弦的一个端点放在一起,不难得出在同圆或等圆中,较大的弦所对的劣弧也较大.【微点拨】
1.在同圆或等圆中,证明两条弧相等,可证明这两条弧所对的圆心角相等.
2.证明两个角相等可利用同一个圆的半径不变证明三角形全等得到.【方法一点通】
同一圆中证明两弦相等的“四种方法”
1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等.
2.若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等.
3.在同一圆中证明两弦所对的弧相等(同一类弧).
4.证明两弦所对的圆心角相等.提技能·题组训练
圆心角及弧、弦、圆心角的关系
1.下列图形中表示的角是圆心角的是( )
【解析】选A.根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.
【易错提醒】若一个角的顶点不在圆心,这个角一定不是圆心角.
2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( )
A.=2 B.>2
C.<2 D.不能确定
【解析】选A.在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,可得选项A正确.
3.已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与
∠A′O′B′的大小关系是( )
A.∠AOB=∠A′O′B′ B.∠AOB>∠A′O′B′
C.∠AOB<∠A′O′B′ D.不能确定
【解析】选D.由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.
4.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .
【解析】∵×360°=90°,∴弦所对的圆心角为90°.
答案:90°
5.如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.
试证:=.
【解题指南】1.证明两条弧相等,可证明这两条弧所对的圆心角相等.
2.常用等腰三角形的性质来求两个圆心角相等.
【证明】∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.
∵AO=OB,∴∠A=∠B.
∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,
即∠AOC=∠BOD,
即∠AOE=∠BOF.∴=.
弧、弦、圆心角的应用
1.如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则与的关系是( )
A.= B.>
C.< D.不能确定
【解析】选A.∵CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠CDO=∠CEO=90°,
∵CD=CE,CO=CO,
∴△COD≌△COE,
∴∠COD=∠COE,
∴=.
【知识归纳】弧、弦、圆心角、弦心距的关系
1.圆心到弦的垂线段的长度叫弦心距.
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.
2.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为 .
【解析】∵==,
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°,
∴∠AOE=180°-3×40°=60°.
答案:60°
3.如图,=,若AB=3,则CD= .
【解析】∵=,
∴-=-,即=,
∴CD=AB=3.
答案:3
4.如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.
【证明】在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴==,
∴AC=EB=DF.
5.如图,已知OA,OB是☉O的半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点,求证:MC=NC.
【证明】连接OC.
∵C为的中点,∴=,
∴∠MOC=∠NOC.
又∵M,N分别是OA,OB的中点,
∴OM=OA,ON=OB,
∴OM=ON.
又∵OC=OC,
∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC.
【易错提醒】在同圆或等圆中,相等的圆心角或相等的弧所对的弦相等,不要认为所对的线段相等.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.试找出图中相等的线段(半径除外).
(1)错因: .
(2)纠错:____________________________________________________________
.
答案：(1) AE,BF不是圆的弦,不能直接利用等弧对等弦.
(2)连接AC,BD，∵,∴AC=CD=BD.
易得出△ACE,△BDF,△OEF均为等腰三角形,∴AC=AE,BD=BF,
∴AE=CD=BF,OE=OF,CE=DF.
课时提升作业(二十四)
弧、弦、圆心角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·厦门中考)如图,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B=( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
【解析】选B.根据在同圆或等圆中,相等的两条弧所对的弦也相等,得到AB=AC,再根据等边对等角得到∠B=∠C,最后根据三角形的内角和等于180°,列出式子∠A+2∠B=180°,从而解得∠B=75°.
2.如图,AB是所对的弦,AB的垂直平分线CD分别交于点C,交AB于点D,AD的垂直平分线EF分别交于E,交AB于F,DB的垂直平分线GH分别交于G,交AB于H,下列结论不正确的是( )
A.= B.=
C.= D.EF=GH
【解析】选C.A.正确,CD是AB的中垂线,点C也是弧AB的二等分点,
B.正确,在圆中两直线平行,则直线所夹的弧相等,
C.错误.点F是AD的中点,但点E不一定是弧AC的二等分点.
D.正确,在同圆中,弦心距相等,则弦相等,弦的一半也相等.
3.A,B,C,D是☉O上四点,且=2,则弦AB与弦CD的关系是( )
A.AB >2CD
B.AB=2CD
C.AB<2CD
D.不能确定
【解析】选C.取的中点E,则=.
∵=2,∴==.
∴AE=BE=CD.
又∵AE+BE>AB,∴2CD>AB.
【知识延伸】弧、弦、圆心角的关系
1.同圆或等圆中,等弧等弦等圆心角之间可以相互推.
2.同圆或等圆中,圆心角的倍数关系=圆心角所对的弧的倍数关系<弧所对的弦长的倍数关系.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在☉O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于 °.
【解析】∵点C是的中点,
∴∠BOC =∠AOC.OC⊥AB,
∵∠A=50°,∴∠BOC=∠AOC=40°.
答案:40
5.(2013·盐城中考)如图,将☉O沿弦AB折叠,使经过圆心O,则∠OAB=
°.
【解析】设上点E经翻折后与O重合,连接OB,OE,AE,BE,
∵OA=OB =AE=BE,∴四边形OAEB是菱形,
又∵OA=OE,∴△OAE是等边三角形,∴∠OAB=∠OAE=×60°=30°.
答案:30
【方法技巧】1.在应用圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论时,要弄清楚哪组量相等容易找且又能使解题简单化.
2.常通过作辅助线构造所需要的量,常作的辅助线有半径、弦心距等.
6.如图, A,B是半径为3的☉O上的两点,若∠AOB=120°,C是的中点,则四边形AOBC的周长等于 .
【解析】∵C是的中点,
∴∠AOC=∠BOC,而∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°,
∴△AOC和△BOC都是等边三角形,∴OA=OB=CA=CB=3,∴四边形AOBC的周长等于12.
答案:12
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在☉O中,AB=AC,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
【证明】∵AB=AC,∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∴==,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
8.(8分)如图所示,AB,CD是☉O的两条直径,CE∥AB.
求证:==.
【证明】连接OE,
∵OE=OC,∴∠C=∠E.
∵CE∥AB,∴∠C=∠BOC,∠E=∠AOE.
又∵∠AOD=∠BOC,
∴∠BOC=∠AOE=∠AOD,
∴==.
【方法技巧】1.同圆的半径相等常用在三角形中,可得两个角相等.
2.当同圆的两条半径是一个平行四边形的两条邻边时,这个平行四边形是菱形.
【培优训练】
9.(10分)如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一个动点,圆O的半径为1.
(1)找出当AP+BP能得到最小值时点P的位置.
(2)求出AP+BP的最小值.
【解析】(1)过A作AA′⊥MN于E,连接BA′.
∴P位于A′B与MN的交点处.
(2)∵点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠AON=∠A′ON=60°,
∵点B是的中点,∴∠BON=30°,
∴∠BOA′=∠A′ON+∠BON=90°,
∵OB=OA′=1,
∴BA′=,即AP+BP最小值为.
