课件20张PPT。24.1.4
圆 周 角1.圆周角
顶点在_____,并且两边都与圆_____的角.
2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于这条弧所对的圆心角的_____.相交圆上一半3.圆周角定理的推论
(1)同弧或等弧所对的圆周角_____.
(2)在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也_____.
4.圆内接四边形
(1)定义:如果一个多边形的所有_____都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆_____多边形.这个圆叫做这个多边形的_____圆.
(2)性质:圆内接四边形的_________.相等相等顶点内接外接对角互补【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.同弧或等弧所对的圆周角相等.( )
2.相等的圆周角所对的弧相等.( )
3.90°角所对的弦是直径.( )
4.直径所对的角等于90°.( )
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°.( )√××××知识点一 圆周角定理及其推论
【示范题1】如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.
(1)求证:BD平分∠ABC.
(2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.【思路点拨】(1)在圆中要证∠CBD=∠ABD,可证这两个角所对
的弧相等.
(2)由OB=OD和∠ODB=30°求得∠AOD的度数,然后求得∠A的度
数,再根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,可证得BC= AB,进而
得结论.【自主解答】(1)∵OD⊥AC,OD为半径,∴
∴∠CBD=∠ABD,即BD平分∠ABC.
(2)∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=30°,∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°.又∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°,∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD =180°-90°-60°=30°.又∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴BC= AB,∵OD= AB,∴BC=OD.【想一想】
在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等吗?
提示:在一个圆中,一条弦对两条弧,这两条弧所对的圆周角相等或互补.故同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.【微点拨】
1.同弧指同一条弧,等弧指同一个圆内能重合的弧或等圆中能重合的弧.
2.一条弦两侧所对的两个圆周角的度数之和为180°.【方法一点通】
利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路
1.在同圆或等圆中,要证弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角相等.
2.在同圆或等圆中,要证圆周角相等,考虑证明这两个圆周角所对的弧相等.
3.当有直径时,常利用直径所对的圆周角为直角解决问题.知识点二 圆内接四边形
【示范题2】(2013·厦门中考)如图,已知A,B,C,D是☉O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.【解题探究】(1)四边形ABCD内接于圆,能得到内角之间有什么关系?
提示:∠A+∠DCB=180°,∠D+∠ABC=180°.
(2)要证△ADE是等腰三角形,需要证哪两个角相等,通过怎样的转化才能得到△ADE的两个角相等.
提示:∠A=∠E.由BC=BE,可得∠E=∠BCE,再根据圆内接四边形对角互补及邻补角的定义可得出∠A=∠E.【尝试解答】∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°.∵∠BCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠BCE.∴∠A=∠E.∴△ADE是等腰三角形.【想一想】
圆内接四边形的的外角等于它相邻的内角的对角吗?
提示:圆内接四边形的对角互补,结合邻补角的知识可以得到圆内接四边形的外角等于它相邻的内角的对角.【备选例题】如图,两圆相交于A,B两点,直线CD过点A交两圆于C,D,直线EF过点B交两圆于E,F,探索CE,DF的位置关系.【解析】CE与DF平行.连接AB,则∠E+∠BAC=180°,
∠BAD+∠F=180°,又∠BAC+∠BAD=180°,所以∠E+∠F=180°,所以CE∥DF.【方法一点通】
圆内接四边形的角的“三种关系”
(1)对角互补,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
(2)四个角的和是360°,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
(3)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.提技能·题组训练
圆周角定理及其推论
1.(2013·滨州中考)如图,在☉O中,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的大小为( )
A.156° B.78° C.39° D.12°
【解析】选C.∠BOC是所对的圆心角,∠BAC是所对的圆周角,∴∠BAC=
∠BOC=39°.
2.(2013·海南中考)如图,在☉O中,弦BC=1,点A是圆上一点,且∠BAC=30°,则☉O的半径是( )
A.1 B.2 C. D.
【解析】选A.方法一:连接OB,OC.
∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,
∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,
∴OB=OC=BC =1.
方法二:作直径CD,连接BD.
则∠CBD=90°,∵∠BDC=∠BAC
=30°,∴CD=2BC=2,
∴OC=CD=1.
3.(2013·长春中考)如图,△ABC内接于☉O,∠ABC=71°,∠CAB=53°,点D在上,则∠ADB的大小为( )
A.45° B.53° C.56° D.71°
【解析】选C.在△ABC中,∵∠ABC=71°,∠CAB=53°,
∴∠C=180°-71°-53°=56°,∴∠ADB=∠C=56°.
4.(2013·佛山中考)图中圆心角∠AOB=30°,弦CA∥OB,延长CO与圆交于点D,则∠BOD= .
【解析】因为圆心角∠AOB=30°,弦CA∥OB,所以∠AOB=∠CAO=30°,
又OA=OC,所以∠CAO=∠ACO=30°,所以∠AOD=∠CAO+∠ACO=60°=∠AOB+∠BOD,所以∠BOD=30°.
答案:30°
5.(2013·贵阳中考)如图,AD,AC分别为☉O的直径和弦,∠CAD=30°,B是AC上一点,BO⊥AD,垂足为O,BO=5cm,则CD等于 cm.
【解析】在Rt△AOB中,∠A=30°,BO=5cm,∴AO=5cm,
∵AD是直径,∴AD=10cm,∠C=90°,在Rt△ADC中,
∠A=30°,AD=10cm,∴CD=5cm.
答案:5
6.如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC上的一点,则∠BPC= .
【解析】连接BD,则BD是直径,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.
答案:45°
【知识归纳】圆周角与直径
1.当题目中出现了直径时,常作辅助线,利用直径所对的圆周角是直角解决问题.
2.当出现90°的圆周角时,常连接该圆周角所对的弦,则该弦为直径.
7.如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.
(1)求∠B的大小.
(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.
【解析】(1)∵∠APD=∠C+∠CAB,
∴∠C=65°-40°=25°.
∴∠B=∠C=25°.
(2)过点O作OE⊥BD于E,则DE=BE.
又∵AO=BO,
∴OE=AD=×6=3.
∴圆心O到BD的距离为3.
圆内接四边形
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是( )
A.115° B.130°
C.65° D.50°
【解析】选A.∵∠BOD=130°,∴∠A=∠BOD=65°,∵∠BCD+∠A=180°,
∴∠BCD=115°.
2.(2013·莱芜中考)如图,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为( )
A. 135° B.122.5°
C.115.5° D.112.5°
【解析】选D.如图,作所对的圆周角.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22.5°.∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA =180°-22.5°-22.5°=135°.
∴∠D=∠AOB=×135°=67.5°.
∵四边形ACBD是圆内接四边形,
∴∠C+∠D=180°.
∴∠C=112.5°.
【方法技巧】1.在圆中,求角的度数时,常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成.
2.有时需要自己作出与已知角互补的圆周角,才能运用圆内接四边形的性质.
3.四边形ABCD内接于☉O,AD∥BC,∠B=75°,则∠C= .
【解析】∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,
∴∠A=180°-75°=105°,
又∵∠A+∠C=180°,∴∠C=75°.
答案:75°
【变式训练】已知,四边形ABCD内接于☉O,且∠A∶∠C=1∶2,则∠BOD=
°.
【解析】∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠A+∠C=180°.
又∠A∶∠C=1∶2,得∠A=60°.
∴∠BOD=2∠A=120°.
答案:120
4.如图,△ABC内接于☉O,AD为△ABC的外角平分线,交☉O于点D,连接BD,CD,判断△DBC的形状,并说明理由.
【解析】△DBC为等腰三角形.理由如下:
∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠DCB+∠DAB=180°,
又∠EAD+∠DAB=180°,
∴∠EAD=∠DCB.
又∠DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC,即△DBC为等腰三角形.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
A,B为☉O上的两点,∠AOB=100°,若点C也在☉O上,且点C不与A,B重合,求
∠ACB的度数.
(1)错因:____________________________________.
(2)纠错:____________________________________________________________
_________________________________.
答案：(1)点C也可能在劣弧上，需要分情况讨论
(2)当C在优弧上时，∠ACB=∠AOB=50°，当C在劣弧上时，∠ACB=
180°-50°=130°
课时提升作业(二十五)
圆 周 角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·泰安中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( )
A.60° B.70° C.120° D.140°
【解析】选D.延长CO交AB于D,则∠BOC=∠ODB+∠B=∠A+∠C+∠B,又因为
∠BOC=2∠A,即2∠A=∠A+∠C+∠B,2∠A=∠A+32°+38°,所以∠A=70°,所以
∠BOC=140°.
2.(2013·珠海中考)如图,?ABCD的顶点A,B,D在☉O上,顶点C在☉O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为( )
A.36° B.46° C.27° D.63°
【解析】选A.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC=54°.
∵BE是☉O的直径,∴∠BAE=90°,
∴∠AEB=90°-∠B=90°-54°=36°.
3.如图,两圆相交于A,B两点,小圆经过大圆的圆心O,点C,D分别在两圆上,若
∠ADB=100°,则∠ACB的度数为( )
A.35° B.40°
C.50° D.80°
【解析】选B.连接OA,OB,
∵四边形AOBD内接于圆,∠ADB=100°,
∴∠AOB=180°-100°=80°.
∵∠ACB=∠AOB,∴∠ACB=×80°=40°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·青海中考)如图,在☉O中直径CD垂直弦AB,垂足为E,若∠AOD=52°,则∠DCB= .
【解析】∵CD是直径,CD⊥AB,∴=,
∴∠DCB=∠AOD=×52°=26°.
答案:26°
【方法技巧】同一圆中证明两角相等、两弧相等的“两种方法”
(1)证明两角相等
①同弧或者等弧所对的圆心角相等;
②同弧或者等弧所对的圆周角相等(在同圆或者等圆中,同弧或者等弧所对的圆周角都等于这条弧所对圆心角的一半).
(2)证明两弧相等
①垂径定理及其推论中弧、弦、圆心角三者之间的关系;
②在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
即有弧找角、有角找弧是证明弧相等或者角相等常用的思维方法.
5.(2013·株洲中考)如图AB是☉O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 度.
【解析】方法一:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A=48°,
∴∠AOC=2∠B=96°,
∵OA=OC,AD=CD,∴∠DOC =∠AOC=48°.
方法二:∵AD=CD,∴OD⊥AC,
∴∠CDO=90°,∴∠DOC+∠ACO=90°,
∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=42°,
∴∠DOC =90°-∠A=48°.
答案:48
6.如图,AB是半圆O的直径,C,D是上两点,∠ADC=120°,则∠BAC的度数是
度.
【解析】∵∠ADC=120°,
∴∠B=180°-∠ADC=60°.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-60°=30°.
答案:30
【拓展延伸】同一条弧所对的四类角及两关系
四类角:
(1)圆心角:顶点在圆心的角.
(2)圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角.
(3)圆内角:顶点在圆内,两边和圆相交的角.
(4)圆外角:顶点在圆外,两边和圆相交的角.
两关系:
(1)一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半.
(2)一条弧对的圆内角>该弧对的圆周角>该弧对的圆外角.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F,点F不与点A重合.
(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?
(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由.
【解析】(1)AB=AC.连接AD,∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DC=BD,∴AB=AC.
(2)△ABC是锐角三角形.
由(1)知,∠B=∠C<90°,连接BF,则∠AFB=90°,
∴∠A<90°,∴△ABC是锐角三角形.
【方法技巧】有直径时,常常添加辅助线,构造直径所对的圆周角,由此转化为直角三角形的问题,结合等腰三角形的性质,可判断线段或角相等.
8.(8分)(2013·温州中考)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与☉O的另一
个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:∠B=∠D.
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D.
(2)设BC=x,则AC=x-2.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴(x-2)2+x2=16,
解得x1=1+,x2=1-(舍去),
∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E,
∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+.
【培优训练】
9.(10分)如图,☉O的直径AB的长为6,弦AC的长为2,∠ACB的平分线交☉O于点D,求四边形ADBC的面积.
【解析】∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,
∴BC===4.
∵∠ACB的平分线交☉O于点D,
∴∠DCA=∠BCD,∴=,∴AD=BD,
∴在Rt△ABD中,AD=BD=AB=3,
∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD
=AC·BC+AD·BD
=×2×4+×(3)2=9+4.
