课件19张PPT。24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系1.点和圆的三种位置关系
___________________________.
2.点和圆的位置关系和点到圆心的距离d、圆的半径r之间的
关系点在圆上,点在圆外,点在圆内=<>3.确定圆的条件
(1)确定一个圆需要确定___________.
(2)经过一点A可以作_____个圆.
(3)经过两点A,B可以作_____个圆,这些圆的圆心都在线段AB的
_____________.
(4)_______________的三个点确定一个圆.圆心和半径无数无数垂直平分线上不在同一直线上4.三角形的外接圆和外心
(1)三角形的外接圆:经过三角形的_________可以作一个圆,
这个圆叫做三角形的外接圆.
(2)三角形的外心:即三角形_______的圆心,外心是三角形
_________________的交点.三个顶点外接圆三条边垂直平分线5.反证法证明问题的三个步骤
(1)假设:假设命题的___________.
(2)推理:由假设经过推理得出_____(常与公理、定理、定义或
已知相_____).
(3)结论:由_____断定_______________,从而得到原命题成立.结论不成立矛盾矛盾矛盾所作假设不正确【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.点在圆内,则该圆的半径大于点到圆心的距离.( )
2.经过两点只能作一个圆.( )
3.经过三点一定可以确定一个圆.( )
4.任意一个三角形一定有一个外接圆.( )
5.任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )
6.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
7.用反证法证明“两直线平行,内错角相等”时,应假设“内错
角不相等”.( )√××√×√√知识点一 点与圆的位置关系
【示范题1】已知☉O的半径为5,圆心O到直线l的距离OP=3,Q为l上的一点,且PQ=4.3,则点Q( )
A.在☉O外 B.在☉O上
C.在☉O内 D.不确定【思路点拨】判断点Q和☉O的位置关系,先通过勾股定理求出点Q到圆心O的距离,再和☉O的半径为5比较大小.
【自主解答】选A.如图,连接OQ,
在Rt△ABC中,
OQ= ≈5.2,
5.2>5,即Q到圆心O的距离大于☉O的半径,
所以点Q在☉O外.【想一想】
要从数量上判断点与圆的位置关系需要确定哪几个量?
提示:需要确定点到圆心的距离和圆的半径.【微点拨】
1.点和圆的位置关系:点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.
2.判断点和圆的位置关系:点到圆心的距离和半径进行比较.【方法一点通】
点和圆位置关系的“两点注意”
1.等价关系:点和圆的位置关系?点到圆心的距离(d)和半径(r)的关系,即由位置关系可以判断数量关系,反过来由数量关系可以判断位置关系.
2.数形结合:解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法,借助图形进行判断.知识点二 确定圆的条件
【示范题2】如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.
(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.【思路点拨】(1)点M在AB和BC的垂直平分线的交点处.(2)据勾
股定理，求出圆的半径AM和线段DM的长，比较DM与AM的长得结
论.
【自主解答】(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相
交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).
(2)圆的半径
线段DM 所以点D在圆M内.【想一想】
怎样确定一段圆弧的圆心?
提示:任作两条不同的弦,两条弦的垂直平分线的交点即为该圆弧的圆心.【微点拨】
1.过同一直线上的三点不能作圆,过不在同一直线上的三点只能作一个圆.
2.过不在同一直线上的三点作圆确定圆心时,只需作两条线段的垂直平分线确定圆心即可,没有必要作出三条线段的垂直平分线,事实上,三条垂直平分线交于一点.【方法一点通】
确定圆心的“三种方法”
1.利用圆的轴对称性:将圆对折,确定圆的两条直径,两直径的交点即为圆心.
2.利用圆周角定理的推论:根据90°的圆周角所对的弦为直径,确定直径,然后确定两直径的交点或一条直径的中点.
3.根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心.提技能·题组训练
点与圆的位置关系
1.已知☉O的半径为3.6 cm,线段OA=cm,则点A与☉O的位置关系是( )
A.A点在☉O外 B.A点在☉O上
C.A点在☉O内 D.不能确定
【解析】选C.点A与圆心O的距离为cm,小于☉O的半径3.6cm,∴A点在☉O内.
2.两个圆心为O的甲、乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1A.甲圆内 B.乙圆外
C.甲圆外,乙圆内 D.甲圆内,乙圆外
【解析】选C.由题意知,点A在两圆组成的圆环内,甲圆的半径小于乙圆的半径,∴点A在甲圆外,乙圆内.
3.已知AB为☉O的直径,P为☉O上任意一点,则点P关于AB的对称点P′与☉O的位置为( )
A.在☉O内 B.在☉O外
C.在☉O上 D.不能确定
【解析】选C.由对称性知,点P′在☉O上.
4.☉O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.点P在☉O上或☉O外
【解析】选A.比较OP与☉O的半径r的关系.
∵OP==2,OP2=20,r2=25,∴OP∴点P在☉O内.
【变式训练】在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A,B,C,D四点中在圆内的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.如图,连接CD.∵D为AB的中点,∴CD=AB.
∵AB==4cm,∴CD=2<4.∵AC=BC=4 cm,
∴点C和点D在以C为圆心,4cm为半径的圆的内部.
5.如果☉O的半径为r,点P到圆心O的距离为6,那么:
①点P在☉O外,则r ;②点P在 ,则r=6;③点P在 ,则r>6.
【解析】①∵点P在☉O外,∴d>r,即r<6;
②∵d=r,∴点在圆上,即点P在☉O上;
③∵d答案:①<6 ②☉O上 ③☉O内
6.已知圆的半径等于5cm,根据下列点P到圆心的距离:
(1)4cm.(2)5cm.(3)6cm.
判断点P与圆的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)当d=4cm时,∵d(2)当d=5cm时,∵d=r,∴点P在圆上;
(3)当d=6cm时,∵d>r,∴点P在圆外.
【知识归纳】点与圆的位置关系,由点到圆心的距离与半径的大小比较
1.点到圆心的距离小于半径,点在圆内.
2.点到圆心的距离等于半径,点在圆上.
3.点到圆心的距离大于半径,点在圆外.
确定圆的条件
1.下列说法正确的是( )
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.过两点A,B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点
D.过四点A,B,C,D的圆不存在
【解析】选B.选项A中过一点A的圆的圆心不可以是A点;选项C中只有当A,B,C三点不共线时才有圆;选项D中过四点A,B,C,D的圆可能存在.只有B选项正确.
2.已知a,b,c是△ABC的三边长,外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( )
A.a=15,b=12,c=1 B.a=5,b=12,c=12
C.a=5,b=12,c=13 D.a=5,b=12,c=14
【解析】选C.由勾股定理知,边长为5,12,13的三角形为直角三角形,只有直角三角形的外心在三角形的一边上(斜边中点).
【知识归纳】三角形的外心位置和三角形形状的关系
1.锐角三角形的外心在三角形的内部,
2.直角三角形的外心是斜边的中点.
3.钝角三角形的外心在三角形的外部
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为
( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
【解析】选A.AB==10(cm),它的外心是斜边中点,外心与顶点C的距离是斜边的中线长为AB=5cm.
4.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)若在△ABC中,AB=8 m,AC=6 m,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.
【解析】(1)如图所示,☉O即为所求作的花坛的位置.
(2)∵∠BAC=90°,AB=8m,
AC=6m,∴BC=10m.
∴△ABC外接圆的半径为5m,
∴小明家圆形花坛的面积为25πm2.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知O是△ABC的外心,∠A=α,求∠BOC的大小.
(1)错因:
.
(2)纠错:
.
答案：(1)三角形的形状不确定,即外心的位置就不确定,本题只是考虑了点O在△ABC内部的情况
(2)当点O在△ABC内部时,∠BOC=2∠A=2α,
当点O在BC上时,∠A=90°,∠BOC=2∠A=180°,
当点O在△ABC外部时,由圆内接四边形的对角互补.可得,∠BOC=2(180°-α)
课时提升作业(二十六)
点和圆的位置关系
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·吉林中考)如图所示,体育课上,小丽的铅球成绩为6.4m,她投出的铅球落在( )
A.区域① B.区域②
C.区域③ D.区域④
【解析】选D.由于6.4>6,所以在半径为6m的圆外,6.4<7,所以在半径为7m的圆内,故在区域④.
2.△ABC中,点O是它的外心,BC=24cm,O到BC的距离是5cm,则△ABC的外接圆的半径等于( )
A.5 cm B.13 cm C.12 cm D.8 cm
【解析】选B.如图,∵O为外心,OD⊥BC,
∴BD=BC=12 cm,
又OD=5 cm,
∴由勾股定理,得
OB===13(cm),
∴△ABC的外接圆的半径是13 cm.
【知识归纳】三角形的外心的三点注意
1.三角形的外心是三边的垂直平分线的交点.
2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
3.三角形的外心的位置因三角形的形状的不同而不同.
3.用反证法证明命题“三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°
【解析】选D.必须有一个内角小于或等于60°的反面是:每一个内角都大于
60°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM为中线,以C为圆心,cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .
【解析】由勾股定理得,AB=2cm,CM=cm.点M在圆上,AC<,点A在圆内,BC>,点B在圆外.
答案:点B 点M 点A
5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 块.
【解析】本题通过创设实际情景来考查确定圆心和半径的方法以及分析问题、解决问题的能力.第②块利用在圆弧上任意取三点,就可以转化为“不在同一直线上的三点确定一个圆”.
答案:②
【方法技巧】1.确定一个圆需要知道圆心和半径.
2.由垂径定理知,作圆弧上任意不同两条弦的垂直平分线,即可确定圆心和半径.
6.如图, AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 °.
【解题指南】
1.先判断出三个点在同一圆上,再判断出三角形的形状.
2.用圆周角和圆心角的关系解决问题.
【解析】由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上,
∵AB=OA=OB=OC,∴∠AOB=60°,
∴∠ACB=∠AOB=30°.
答案:30
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M,N,P,Q在以O为圆心的同一个圆上.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,
M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴OM=ON=OP=OQ=AB,
∴根据圆的定义可知:M,N,P,Q四点在以O为圆心,OM为半径的圆上.
8.(8分)如图所示,残缺的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹).
(2)求(1)中所作圆的半径.
【解题指南】1.圆心O在△ABC三边的垂直平分线上.
2.连接OA,利用垂径定理和勾股定理可求出半径.
【解析】(1)如图.
(2)连接OA,设OA=OC=xcm.
∵CO⊥AB,AB=24 cm,CD=8 cm,
∴AD=12 cm,
在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,
即x2=122+(x-8)2,
解得x=13,
∴此残片所在圆的半径为13cm.
【培优训练】
9.(10分)先阅读,再解答:
我们在判断点(-7,20)是否在直线y=2x+6上时,常用的方法:把x=-7代入y=2x+6中,由2×(-7)+6=-8≠20,判断出点(-7,20)不在直线y=2x+6上.小明由此方法并根据“两点确定一条直线”,推断出点A(1,2),B(3,4),C(-1,6)三点可以确定一个圆.你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由.
【解析】他的推断是正确的.
因为“两点确定一条直线”,设经过A,B两点的直线的解析式为y= kx+b.
由A(1,2),B(3,4),得解得
∴经过A,B两点的直线的解析式为y=x+1.
把x=-1代入y=x+1中,由-1+1≠6,可知点
C(-1,6)不在直线AB上,即A,B,C三点不在同一直线上,所以A,B,C三点可以确定一个圆.
