课件12张PPT。24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时1.根据公共点的个数判断直线和圆的位置关系相交相切相离21切点切线2.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离d和半径r的关系(1)直线l和☉O相离?d__r.
(2)直线l和☉O相切?d__r.
(3)直线l和☉O相交?d__r. >=<【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.直线和圆的位置包括相交和相离.( )
2.直线与圆最多有两个公共点.( )
3.若A,B是☉O外两点,则直线AB与☉O相离.( )
4.圆心到直线的距离小于半径时,直线和圆相离.( )
5.若C为☉O内一点,则过点C的直线与☉O相交.( )
6.若C为☉O上的一点,则过点C的直线与☉O相切.( )×√××√×知识点一 直线和圆的位置关系
【示范题】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系?为什么?
(1)r=4cm.(2)r=4.8cm.(3)r=8cm.
【思路点拨】要判定☉O与直线AB的位置关系,只需要先求出圆心C到直线AB的距离CD的长,然后再与r比较即可.【自主解答】如图，过点C作CD⊥AB
于Ｄ，由勾股定理得：
∵ ·CD·AB= ·AC·BC，
∴CD= =4.8.
(1)当r=4 cm时，4<4.8，∴直线AB与⊙C相离；
(2)当r=4.8 cm时，4.8=4.8，∴直线AB与⊙C相切；
(3)当r=8 cm时，8>4.8，∴直线AB与⊙C相交.【想一想】
直线与圆的公共点是否能多于两个?
提示:由于经过同一直线上的三点不可能作圆,因而直线与圆不可能有三个公共点,即直线与圆的公共点不可能多于两个.【微点拨】
1.圆心到直线的距离是指通过圆心向直线所作的垂线段的长度.
2.在没有给出圆心到直线的距离的情况下,可根据勾股定理和三角形的面积公式求出.【方法一点通】
判断直线和圆的位置关系的“三个步骤”提技能·题组训练
直线和圆的位置关系
1.若☉O的直径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与☉O的位置关系是
( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【解析】选A.由题意知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,圆心O到直线l的距离大于☉O的半径,∴直线l与☉O相离.
2.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( )
A.x轴相交 B.y轴相交
C.x轴相切 D.y轴相切
【解析】选D.∵点(-1,2)到y轴的距离是1,到x轴的距离是2,∴以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与y轴相切.
3.设☉O的半径是r,点O到直线l的距离是d,若☉O与l至少有一个公共点,则r与d之间的关系是( )
A.d>r B.d=r C.d
【解析】选D.当直线l与☉O有唯一公共点时,直线l与☉O相切,d=r;当直线l与☉O有两个公共点时,直线l与☉O相交,d【知识归纳】判定直线与圆的位置关系的两种方法
1.根据定义,由直线与圆的公共点的个数来判断.
2.根据性质,由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
4.(2013·黔东南中考)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为( )
A.2 cm B.2.4 cm C.3 cm D.4 cm
【解析】选B.过C作CD⊥AB,垂足为D,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,
∴AB===5(cm).
∵S△ABC=AC×BC=CD×AB,
∴CD===2.4(cm),
∵☉C与直线AB相切,∴半径r=CD=2.4cm.
【变式训练】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
【解析】选B.作CD⊥AB于点D.∵∠B=30°,BC=4cm,
∴CD=2cm,等于半径,∴AB与☉C相切.
5.已知☉O的直径是10cm,点O到直线l的距离为d,若d=4cm,则l与☉O有
个公共点.
【解析】由题意知☉O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离=4cm,圆心O到直线l的距离小于☉O的半径,∴直线l与☉O相交,∴l与☉O有两个公共点.
答案:两
【知识归纳】直线和圆的位置关系和判断方法
1.当直线和圆有两个公共点时,此时直线与圆相交.
2.当直线和圆有且只有一个公共点时,此时直线和圆相切.
3.当直线和圆没有公共点时,此时直线和圆相离.
6.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆必与 相切.
【解析】∵等腰三角形顶角的平分线和底边上的高重合,即顶点到底边的距离等于半径,∴此圆和底边相切.
答案:底边
7.如图,☉O的直径为20cm,弦AB=16cm,OD⊥AB,垂足为D.则AB沿射线OD方向平移 cm时可与☉O相切.
【解析】∵OD⊥AB,垂足为D,
∴AD=AB=8cm.
在Rt△AOD中,OD===6(cm),
∴DE=OE-OD=10-6=4(cm),
即AB沿射线OD方向平移4cm时,可与☉O相切.
答案:4
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,☉O是以AB为直径的圆,则直线DC与☉O的位置关系是 .
【解析】∵矩形ABCD中,BC=4,
∴圆心到CD的距离为4.
∵AB为直径,AB=6,∴半径是3.
∵4>3,∴直线DC与☉O相离.
答案:相离
9.在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?
(1)r=2.(2)r=2.(3)r=3.
【解析】过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ACD中,∵∠A=45°,∴∠ACD=∠A,CD=AD.
又∵CD2+AD2=AC2,AC=4,
∴2CD2=16,CD=2,
即圆心C到直线AB的距离d=2.
(1)当r=2时,d>r,因此☉C与直线AB相离.
(2)当r=2时,d=r,因此☉C与直线AB相切.
(3)当r=3时,d10.设☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离OP=m,且m使得关于x的方程2x2-2x+m-1=0有实数根,判断直线l与☉O的位置关系.
【解析】∵关于x的方程2x2-2x+m-1=0有实数根,
∴b2-4ac≥0,即(-2)2-8(m-1)≥0,解得m≤2,即OP≤2.∵☉O的半径为2,
∴OP≤☉O的半径.
∴直线l与☉O相交或相切.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
设☉O的半径为3,点O到直线l的距离为d,若直线l与☉O有公共点,求d应满足的条件.
(1)错因: .
(2)纠错:
.
答案：(1)有公共点的意思是至少有一个公共点,漏掉了有两个公共点的情况.
(2)直线l与☉O有唯一公共点时,直线l与☉O相切,d=3;当直线l与☉O有两个公共点时,直线l与☉O相交,d<3.综上可知d应满足d≤3.
课时提升作业(二十七)
直线和圆的位置关系(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·杭州中考)在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直
B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点
C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点
D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
【解析】选C.A:如图①,则A不正确;
B:如图②,则B不正确
C:如图③,则C正确;
D:如图④,则D不正确.
2.已知☉O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与☉O的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.相离或相切 D.相切或相交
【解析】选D.当OP垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2=r,☉O与l相切;当OP不垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d<2,即d3.(2013·盘锦中考)如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
【解析】选A.如图,作AF⊥BC垂足为F,∵AB=6,AC=8,BC=10,
∴AB2+AC2=100,BC2=100,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE∥BC,DE=BC=5,AD=AC=4,AE=AB=3,
∴S△ABC=AB×AC=BC×h1,解得h1=4.8,
S△ADE=AD×AE=DE×h2,解得h2=2.4,
d=h1-h2=2.4,∵r=DE=2.5,∴d∴以DE为直径的圆与BC相交.
【知识归纳】判断直线和圆的位置关系时,通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小来解决.
(1)当d(2)当d=r时,直线和圆相切.
(3)当d>r时,直线和圆相离.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是 .
【解析】∵Rt△ABC中,AC=12cm,BC=5cm,
∴根据勾股定理求得斜边是13cm,
则圆心到直线的距离,即是直角三角形斜边上的高,是,又<6,则直线和圆相交.
答案:相交
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm,以点C为圆心,以3cm长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是 .
【解题指南】(1)由直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求出圆心到直线的距离.(2)圆心到直线的距离小于半径时,直线和圆相交.
【解析】过C作CD⊥AB,垂足为D,
∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=30°,∵BC=4cm,
∴CD=2cm,∵2<3,∴☉C与直线AB相交.
答案:相交
6.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是BC的中点,以D为圆心,2.5为半径作圆,则☉D与直线AC的位置关系是 .
【解题指南】(1)根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AD的长.(2)再根据三角形的面积计算可求点D到直线AC的距离,从而求解.
【解析】连接AD,过D点作DE⊥AC于E.
∵在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是BC的中点,
∴CD=3,∴AD=4,
∴DE=4×3÷5=2.4,
∵2.5>2.4,∴☉D与直线AC的位置关系是相交.
答案:相交
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图所示,已知正方形ABCD的边长为a,AC,BD交于点E,过点E作FG∥AB,分别交AD,BC于点F,G,问以B为圆心,a为半径的圆与直线AC,FG,DC的位置关系如何?为什么?
【解析】正方形ABCD的边长为a,
AC==a,∴BE=a,
∴以B为圆心,a为半径的圆与AC相切.
又∵BG=a∴以B为圆心,a为半径的圆与FG相交.
又∵BC=a>a,
∴以B为圆心,a为半径的圆与DC相离.
8.(8分)△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,以R长为半径画圆,若
☉C与AB相交,求R的范围.
【解析】作CD⊥AB于D.
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
由勾股定理得:AB===5.
由面积公式得:AC·BC
=AB·CD,
∴CD===2.4,
∴当2.4【培优训练】
9.(10分)如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向300 km的B处,并以10km/h的速度向北偏东60°的BF方向移动,距台风中心200 km的范围是受台风影响的区域.
(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风的影响,试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长?
【解析】(1)会受到影响.过A作AC⊥BF于C.
在Rt△ABC中,∵∠CBA=30°,BA=300km,
∴AC=AB=×300
=150(km).
∵AC<200km,∴A城会受到这次台风的影响.
(2)设BF上D,E两点到A的距离为200km,则台风中心在线段DE上时,对A城均有影响,而在DE以外时,对A城没有影响.
∵AC=150km,AD=AE=
200km,∴DC==50(km),
∴DE=2DC=100(km),
∴t===10(h).
答:A城受影响的时间为10h.
