课件21张PPT。24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时1.圆的切线的判定定理
经过半径的_____并且_______这条半径的直线是圆的切线.
2.圆的切线的性质定理
圆的切线___________________.外端垂直于垂直于过切点的半径【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.过半径的外端的直线是圆的切线.( )
2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.( )
3.与圆有公共点的直线是圆的切线.( )×√×知识点一 切线的判定
【示范题1】(2013·滨州中考)如图,在
△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,☉O过点B
且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,
垂足为F.
求证:直线EF是☉O的切线.【思路点拨】点E在圆上,连接OE,由等腰三角形的性质,证明∠OEB=∠C,再由平行线的性质,可得EF⊥OE.
【自主解答】连接OE,
∵OB=OE,∴∠B=∠OEB.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠OEB=∠C.∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴OE⊥EF.
∴直线EF是☉O的切线.【想一想】
过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线吗?
提示:不一定,经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线.【微点拨】判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的交点已知时,这时常用的证明方法是:(1)连过交点的半径.
(2)证明这条直线垂直于半径.【方法一点通】
判断圆的切线的“三种方法”
1.与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
2.圆心到直线的距离等于半径,这条直线是圆的切线.
3.经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.知识点二 切线的性质
【示范题2】(2013·珠海中考)如图,☉O经过菱形的三个顶点A,D,C,且与AB相切于点A.
(1)求证:BC为☉O的切线.
(2)求∠B的度数.【解题探究】(1)已知BC过☉O上的一点C,如何作辅助线,先证明什么条件,才能证明BC为☉O的切线.
提示:连接AO,CO,BO,由切线的性质可得∠BAO=90°,再根据菱形的性质,容易证明△BAO≌△BCO,进而证得∠BCO =90°,问题得证.(2)已知四边形ABCD是菱形,如何构造三角形,利用菱形的性质等知识求出∠B的度数.
提示:连接BD,利用菱形的性质、圆的对称性及等腰三角形的性质可求得∠ABO的度数.【尝试解答】(1)如图,连接AO,CO,BO.
∵AB是☉O的切线,∴OA⊥AB.∴∠BAO=90°.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.
∵AO=CO,BO=BO,∴△BAO≌△BCO(SSS).
∴∠BCO=∠BAO=90°.即OC⊥BC.∴BC为☉O的切线.(2)连接BD,由菱形、圆的对称性,BD必过圆心,即B,O,D三点共线.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∴∠ABO=∠ADO.
∵OA=OD,∠OAD=∠ODA.∴∠AOB=2∠ADO=2∠ABO.
∵∠ABO+∠AOB=90°,∴∠ABO+2∠ABO=90°,
∴∠ABO=30°.∴∠ABC=2∠ABO=2×30°=60°.【想一想】
圆的切线垂直于半径吗?
提示:不一定,圆的切线垂直于过切点的半径.【备选例题】(2013·聊城中考)如图,AB是☉O的直径,AF是☉O
的切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF
相交于点F,CD=4 ,BE=2.
求证:(1)四边形FADC是菱形.
(2)FC是☉O的切线.【证明】(1)连接OC,依题意知:AF⊥AB,又CD⊥AB,∴AF∥CD,
又CF∥AD,∴四边形FADC是平行四边形,
由垂径定理得:CE=ED= CD=2 ,
设☉O的半径为R,则OC=R,OE=OB-BE=R-2,在△ECO中,由勾股定理得:
R2=(R-2)2+(2 )2,解得:R=4,
∴AD=CD,
因此平行四边形FADC是菱形.
(2)连接OF,由(1)得:FC=FA,又OC=OA,FO=FO,∴△FCO≌△FAO,∴∠FCO=∠FAO=90°,
因此FC是☉O的切线.【方法一点通】
切线的三条性质及辅助线的作法
1.三条性质:
(1)切线和圆只有一个公共点.
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.
(3)圆的切线垂直于过切点的半径.
2.辅助线的作法:
连切点、圆心,得垂直关系.提技能·题组训练
切线的判定
1.如图,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为 .
【解析】当△ABC为直角三角形时,即∠ABC=90°时,BC与圆相切,∵AB是☉O的直径,∠ABC=90°,∴BC是☉O的切线(经过半径外端,与半径垂直的直线是圆的切线).
答案:∠ABC=90°
2.如图,已知点A是☉O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=OB.则AB (填“是”或“不是”)☉O的切线.
【解析】连接OA,∵OC=BC,AC=OB,∴∠OAB=90°,∴AB是☉O的切线.
答案:是
3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=
40°,直线BC与☉O的位置关系为 .
【解析】∵∠A=25°,∴∠BOD=50°,
又∵∠OCB=40°,∴∠OBC=90°,
∴BC为☉O的切线.
答案:相切
4.(2013·牡丹江中考)如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,且有BO=BD=BC.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)若半径OB=2,求AD的长.
【解析】(1)连接OD,如图,
则有BO=BD=BC=DO,
∴∠C=∠CDB,∠DOB=∠BDO.
又∵∠C+∠CDB+∠DOB+∠BDO=180°,
∴∠CDB+∠BDO=90°,
即∠CDO=90°,
∴CD是☉O的切线.
(2)∵OB=2,∴BD=OB=2,AB=4.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴AD=2.
【方法技巧】证明一条直线是圆的切线的常用方法
1.当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”.
2.当直线和圆公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.
切线的性质
1.(2013·重庆中考)如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若
∠BAO=40°,则∠OCB的度数为( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
【解析】选C.∵AB是☉O的切线,
∴∠OBA=90°,
∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°,
又∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=(180°-50°)=65°.
2.(2013·黔西南州中考)如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )
A.50° B.40° C.60° D.70°
【解析】选A.连接OC,∵CE为切线,∴∠OCE=90°,
∵∠CDB=20°,∴∠COE=40°,∴∠E=50°.
3.(2013·济南中考)如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则∠C= .
【解析】连接OD,则∠ODC=90°,∠DOC=2∠BAD=70°,
因此∠C=90°-70°=20°.
答案:20°
4.(2013·永州中考)如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B= .
【解析】连接OA,则OA⊥MN,由于∠MAB=30°,所以∠OAB=90°-30°=60°,而OA=OB,
所以∠B=∠OAB=60°.
答案:60°
5.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数.
【解析】∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B,
∴∠ABC=90°.
∵∠C=25°,
∴∠BOC=65°.
∵∠A=∠BOD,
∴∠A=32.5°.
【知识归纳】关于切线性质的五点理解
1.切线与圆只有一个公共点.
2.切线和圆心的距离等于半径.
3.切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
注意:对于任意一条直线,如果具备下列条件中的两个,就可以推出第三个结论:
①垂直于切线;
②经过切点;
③经过圆心.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么
☉P与直线CD相切时运动时间为 秒.
(1)错因:
.
(2)纠错:
.
答案：(1)☉P在点O的左右两边各相切一次,本题错在只考虑了一种情况,而遗漏另一种情况
(2)作PE⊥CD于E.若☉P与直线CD相切,则PE=1,当点P在OA上时,此时OP=2PE=2,则☉P需要移动6-2=4(cm),需要时间4s;
当点P在OB上时,此时OP=2PE=2,则☉P需要移动6+2=8(cm),需要时间8s
课时提升作业(二十八)
直线和圆的位置关系(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·河南中考)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与☉O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( )
A.AG=BG B.AB∥EF
C.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC
【解析】选C.∵CD是☉O的直径,AB⊥CD,∴AG=BG.又∵直线EF与☉O相切,
∴CD⊥EF,∴AB∥EF,故选项A,B正确;只有当=时,AD∥BC,当两条弧不等时,则不平行,故选项C不一定正确;根据同弧所对的圆周角相等,可以得到∠ABC=
∠ADC.故选项D正确.
2.(2013·贺州中考)直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,点D是☉O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是( )
A.25°或155° B.50°或155°
C.25°或130° D.50°或130°
【解析】选A. 连接OB.∵直线AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.当点D在优弧CB上时∠BDC为∠D1;当点D在劣弧CB上时∠BDC为∠D2.∵∠A=
40°,∴∠AOB=90°-∠A=50°,∴∠D1=∠AOB=25°.
∵四边形BD1CD2内接于☉O,∴∠D1+∠D2=180°,
∴∠D2=155°.综上,∠BDC的度数为25°或155°.
3.如图, AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是( )
A.DE=DO B.AB=AC
C.CD=DB D.AC∥OD
【解析】选A.当AB=AC时,如图:连接AD,∵AB是☉O的直径,∴AD⊥BC,∴CD=BD.
∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE是☉O的切线.∴B项正确.当CD=BD时,AO=BO,∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE是☉O的切线.∴C项正确.当AC∥OD时,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,∴DE是☉O的切线,∴D项正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·天津中考)如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,若∠P=70°,则∠C的大小为 .
【解析】如图,连接OA,OB,
∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴∠PAO=∠PBO=90°,又∠P=70°,
∴∠AOB=360°-90°×2-70°=110°,
∴∠C=∠AOB=55°.
答案:55°
5.(2013·咸宁中考)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线长PQ的最小值为 .
【解析】连接OP,OQ.
∵PQ是☉O的切线,
∴OQ⊥PQ.
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,
∴当PO⊥AB时,线段PQ最短.
∵在Rt△AOB中,
OA=OB=3,
∴AB2=OA2+OB2=36,即AB=6.
∵S△AOB=OA·OB=OP·AB,∴OP=3,
由PQ2=OP2-OQ2,OQ=1,
∴PQ==2.
答案:2
6.如图所示,一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:cm),那么该光盘的直径是 cm.
【解析】如图,设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.连接OC,交AB于D点,则AB=8cm,CD=2cm.连接OA.∵尺的对边平行,光盘与外边缘相切,∴OC⊥AB.
∴AD=4cm.设半径为Rcm,则R2=42+(R-2)2,解得R=5,∴该光盘的直径是10cm.
答案:10
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·湛江中考)如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:PA为☉O的切线.
(2)若OB=5,OP=,求AC的长.
【解题指南】解答本题的两个关键:
(1)由圆周角的推论和平行线的性质得出∠OAP=90°.
(2)由直角三角形的性质和面积的不变性求出AC的长.
【解析】(1)设AC与OP相交于点H.
∵AB是直径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°.
∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B.
∵∠P=∠BAC,
∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°,
∴PA为☉O的切线.
(2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH,
在直角三角形PAO中,
AP===,
由面积法可知:AH===4,
∴AC=2AH=8.
8.(8分)(2013·广元中考)如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由.
【解析】PC与☉O相切.理由如下:
连接OC,则OC=OB,∴∠B=∠OCB.
∵BC∥OP,∴∠B=∠AOP,∠OCB=∠COP,
∴∠AOP=∠COP.
在△AOP与△COP中,
OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP,
∴△AOP≌△COP.
又∵PA是☉O的切线,∴∠OCP=∠OAP=90°.
又∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
【知识归纳】切线的性质定理和判定定理的区别
1.切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用.
2.切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用,两者在使用时不要混淆.
【培优训练】
9.(10分)如图,AB是☉O的直径,C为圆周上一点,BD是☉O的切线,B为切点.
(1)在图(1)中,∠BAC=30°,求∠DBC的度数.
(2)在图(2)中,∠BA1C=40°,求∠DBC的度数.
(3)在图(3)中,∠BA1C=α,求∠DBC的大小.
(4)通过(1),(2),(3)的探究,你发现了什么结论?
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BAC=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD是☉O的切线,∴∠ABD=90°,∴∠DBC=30°.
(2)连接AC,则∠BAC=∠BA1C=40°,根据(1)可得∠DBC=40°.
(3)连接AC,则∠BAC=∠BA1C=α,根据(1)可得∠DBC=α.
(4)圆的切线与弦所成的角等于它们所夹的弧所对的圆周角.
