第二章 《有理数及其运算》综合单元测试
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列各数:﹣(﹣3),0,+5,﹣3,+3.1,2014,﹣2π,其中是负数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.水位上升7厘米,又下降3厘米,那么现在的水位比原水位( )
A.上升3厘米 B.下降3厘米 C.上升4厘米 D.下降4厘米
3.数轴上A,B两点表示实数,,则下列选择正确的是( )
A. B. C. D.
4.计算的结果为( )
A. B. C. D.
5.若,则的值为( )
A.-1 B.1 C.4 D.7
6.在纸上画一条数轴,对折纸面,使数轴上表示的点与表示4的点重合,那么同时重合的还有( )
A.表示的点与表示的点 B.表示的点与表示2的点
C.表示的点与表示的点 D.表示的点与表示的点
7.计算的结果是( )
A. B. C. D.
8.在学习“有理数的加减法运算”时,我们做过如下观察:“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习,规定初始位置为0,向西行驶为正,向东行驶为负,先向西行驶,在向东行驶,这时遥控车的位置表示什么数?”用算式表示以上过程和结果的是( )
A. B. C. D.
9.作为“一带一路”倡议的重大先行项目,中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快,成效显著,两年来,已有个项目在建或建成,总投资额达美元,将“”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
10.如图,在这个数运算程序中,若开始输入的正整数n为奇数,都计算3n+1;若n为偶数,都除以2.若n=21时,经过1次上述运算输出的数是64;经过2次上述运算输出的数是32;经过3次上述运算输出的数是16;…;经过2022次上述运算输出的数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共8个小题,每题3分,共24分)
11.的相反数是________,绝对值是________,倒数是________.
12.如图,数轴上点A表示的数是________.
13.比较大小:________0.(填“ < ”,“ = ”,“ > ”)
14.小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水(如图),现在知道A点表示的数是,那么B点表示的数是____________.
15.某地某周连续七天的最高气温与最低气温的变化情况如图所示,根据图中信息可知,这周的最大日温差是 ___℃.
16.世界上最长的跨海大桥—杭州湾跨海大桥总造价约为3 248 000 000元人民币,将3 248 000 000用科学记数法可表示为__________________.
17.2022年2月8日,北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛,关键的第三轮谷爱凌选择了一个她从未在比赛中尝试过的动作——左侧身转体1620°安全抓板,她的发挥却相当出色,拿到了94.50的高分,成绩跃升至首位,成功夺冠.转体1620°是在空中身体转了_________周.
18.新华书店对购书顾客实行优惠措施:每次买书200元至499.99元者优惠5%,每次买500元(包括500元)及以上者优惠10%,某顾客到书店买了三次书,如果第一次与第二次合并购买比分开购买便宜13.5元.如果三次合买比三次分开买便宜39.4元,而且第一次的书价与第三次的书价格比为5:8,则第二次的购书款为 _____.
三、解答题(本题共8个小题,共66分;第19-22每小题6分,第23-24每小题8分,第25小题12分,第26小题14分)
19.计算:
(1) (2) (3)
20.计算:
(1); (2);
(3); (4).
21.在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图所示,设点A,B,C所对应数的和是P.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算P的值;若以C为原点,P又是多少?
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=38,求P.
22.某自行车厂一周计划生产1 050辆自行车,平均每天生产150辆,由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产为正、减产为负):
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9
(1)根据记录可知前三天共生产_____辆;
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆;
(3)该厂实行每周计件工资制,每生产一辆车可得50元,若超额完成任务,则超过部分每辆另奖10元;若未完成任务,则不足部分每辆扣10元,那么该厂工人这一周的工资总额是多少?
23.综合探究
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:如图①,若数轴上点A、点B表示的数分别为a,b(b>a),则线段AB的长(点A到点B的距离)可表示为b-a.请用上面材料中的知识解答下面的问题:
【问题情境】如图②,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动2个单位长度到达点A,再向右移动3个单位长度到达点B,然后再向右移动5个单位长度到达点C.
(1)【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置;
(2)【问题探究】若点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动.设移动时间为t秒(t>0).
①A,B两点间的距离AB= ,AC= ;
②若点D、E分别是线段AB,BC的中点,求线段DE的长;
③用含t的代数式表示:t秒时,点P表示的数为 ,点M表示的数为 ,点N表示的数为 ;
④试探究在移动的过程中,3PN-4PM的值是否随着时间t的变化而变化?若变化说明理由;若不变,请求其值.
24.某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃,若以每箱净重10千克为标准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,称重的记录如下表:
与标准重量的差值(单位:千克) -0.5 -0.25 0 0.25 0.3 0.5
箱数 1 2 4 6 n 2
(1)求n的值及这20箱樱桃的总重量;
(2)若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃,若全部售出可获利多少元;
(3)实际上该水果店第一天以(2)中的价格只销售了这批樱桃的60%,第二天因为害怕剩余樱桃腐烂,决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出,水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损,盈利或亏损多少元.
25.已知:在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车,快车长(单位长度),慢车长(单位长度),设正在行驶途中的某一时刻,如图,以两车之间的某点为原点,取向右方向为正方向画数轴,此时快车头在数轴上表示的数是,慢车头在数轴上表示的数是.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶,同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶,且与互为相反数.
(1)求此时多快车头与慢车头之间相距多少单位长度?
(2)从此时刻开始算起,问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度?
(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客,他发现行驶中有一段时间,他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值(即为定值).你认为学生发现的这一结论是否正确?若正确,请直接写出这个定值:若不正确,请说明理由.
26.概念学习
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如,等,类比有理数的乘方,我们把记作,读作“2的3次商”,记作,读作“的4次商”.一般地,我们把n个相除记作,读作“a的n次商”.
初步探究
(1)直接写出结果:________;
(2)关于除方,下列说法错误的是_________.
①任何非零数的2次商都等于1;②对于任何正整数n,;
③;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数.
深入思考
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算能够转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例:
(3)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式
_______;_______.
(4)想一想:将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________;
(5)算一算:________.
答案
一、选择题
A.C.C.A.A.D.B.C.B.B.
二、填空题
11.
12.-1.
13.<.
14..
15.11.
16.3.248×109.
17.4.5.
18.115
三、解答题
19.(1)原式=
=
(2)原式=
=
=9
(3)原式=
=
=
20.解:(1)原式
;
(2)原式
;
(3)原式;
(4)原式
.
21.解:如图所示:
(1)∵AB=2,BC=1,B为原点,
∴点A,C所对应的数分别为﹣2,1;
又∵P=﹣2+0+1,
∴P=﹣1,
当以C为原点时,A表示﹣3,B表示﹣1,C表示0,此时P=﹣3+(﹣1)+0=﹣4.
(2)∵原点0在图中数轴上点C的右边,CO=38,
∴C所对应数为﹣38,
又∵AB=2,BC=1,点A,B在点C的左边,
∴点A,B,所对应数分别为﹣41,﹣39,
又∵P=﹣41+(﹣39)+(﹣38)
∴P=﹣118.
22.(1)解:+5+( 2)+( 4)=5+( 6)= 1,150×3+( 1)=450 1=449(辆),∴前三天共生产449辆;故答案为:449;
(2)观察可知,星期六生产的最多,星期五生产的最少,+16 ( 10)=16+10=26(辆),∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆,故答案为:26;
(3)+5+( 2)+( 4)+(+13)+( 10)+(+16)+( 9)=9,(1050+9)×50+9×10=53040(元).答:该厂工人这一周的工资总额是53040元.
23.(1)A,B,C三点的位置如图所示:
(2)①AB=1-(-2)=1+2=3;
AC=6-(-2)=6+2=8;
故答案为:3;8;
②∵点A、B、C对应的数为-2,1,6,且点D、E分别是线段AB,BC的中点,
∴点D对应的数为:;
点E对应的数为:;
∴DE=3.5-(-0.5)=3.5+0.5=4,
③t秒时,点P移动的距离为t,
∴点P对应的数为:-t-2;
点M移动的距离为2t,
∴点M对应的数为:2t+1;
点N移动的距离为3t,
对应的数为3t+6;
故答案为:-t-2;2t+1;3t+6;
④3PN-4PM的值不变.
当移动时间为t秒时,P点表示的数为-t-2,M点表示的数为2t+1,N点表示的数为3t+6,
则PN=(3t+6)-(-t-2)=4t+8,PM=(2t+1)-(-t-2)=3t+3,
∴3PN-4PM =3(4t+8)-4(3t+3)
=12t+24-12t-12
=12
即3PN-4PM的值为定值12.
∴在移动过程中,3PN-4PM的值不变.
24.(1)解:n=20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2=5(箱),
10×20+(﹣0.5)×1+(﹣0.25)×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2
=203(千克);
答:n的值是5,这20箱樱桃的总重量是203千克;
(2)解:由题意得,25×203﹣200×20,
=1075(元);
答:全部售出可获利1075元;
(3)解:由题意得,25×203×60%+25×203×(1﹣60%)×70%﹣200×20
=466(元).
答:是盈利的,盈利466元.
25.解:(1)∵|a+6|与(b-8)2互为相反数,
∴|a+6|+(b-8)2=0,
∴a+6=0,b-8=0,
解得a=-6,b=8.
∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距8-(-6)=14个单位长度;
(2)(14-8)÷(6+2)
=6÷8
=(秒).
或(14+8)÷(6+2)=(秒),
答:再行驶秒或 秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度;
(3)正确,当快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开之间时,如图,
∵PA+PB=AB=3,当P在CD之间时,PC+PD是定值2,
此时PA+PC+PB+PD=(PA+PB)+(PC+PD)=3+2=5(单位长度).
故定值是5个单位长度.
26.解:(1);
(2)当a≠0时,a2=a÷a=1,因此①正确;
对于任何正整数n,
当n为奇数时,,
当n为偶数时,,因此②错误;
因为34=3÷3÷3÷3=,而43=4÷4÷4=,因此③错误;
负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数,因此④正确;
故答案为:②③;
(3),
==;
(4)由题意可得:
将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于;
(5)
=
=
=