课件23张PPT。24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时1.切线长
经过圆外一点作圆的切线,_____和_____之间的线段的长,叫做
这点到圆的切线长.
2.切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长_____,这一点
和圆心的连线_____两条切线的夹角.这点切点相等平分3.三角形的内切圆
与三角形各边都_____的圆叫做三角形的_____圆.
4.内心
内切圆的圆心是三角形_____________的交点,叫做三角形的
_____.相切内切三条角平分线内心【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.切线长是指切线的长度.( )
2.过一点可以作圆的两条切线.( )
3.直角三角形的内心在斜边上.( )
4.三角形有且只有一个内切圆.( )×××√知识点一 切线长定理
【示范题1】如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度数.
(2)当OA=3时,求切线长PA.【思路点拨】(1)由切线长定理得出PA=PB,再由切线性质定理求出∠BAP的度数,进而求出∠APB.
(2)连接OP,由切线长定理,可得∠APO=∠BPO,再根据直角三角形的性质,求出OP,由勾股定理求出PA.【自主解答】(1)∵PA,PB是☉O的切线,
∴PA=PB,OA⊥AP,∴∠PAB=∠PBA,∠OAP=90°,
又∠OAB=30°,∴∠PAB=60°,
∴△ABP为等边三角形,∴∠APB=60°.(2)如图,连接OP,∵PA,PB是☉O的切线,∴PO平分∠APB,
即∠APO= ∠APB=30°,
又∵在Rt△OAP中,OA=3,∠APO=30°,∴OP=2OA=6,
∴PA= 【想一想】
切线长和切线的区别是什么?
提示:(1)切线长是切线上一条线段的长度,具有数量特征,可以度量.
(2)切线是一条直线,不可度量.【微点拨】
1.根据切线长定理既可得线段相等又可得角相等,在运用定理时要注意根据题意选用.
2.切线长定理是从圆外一点引两条切线时图形的性质,经常与切线的性质定理一起综合使用.【方法一点通】
切线长定理中的基本图形
如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有:
(1)两个等腰三角形(△PAB,△OAB).
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB).
(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).知识点二 三角形的内切圆及内心
【示范题2】已知:如图,☉O是Rt△ABC的内切圆,D,E,F为切点,∠C是直角,AC=6,BC=8.求☉O的半径r.【解题探究】(1)根据已知条件,如何求AB与S△ABC?
提示:由勾股定理求AB,△ABC的面积等于两直角边乘积的一半.
(2)根据切线长定理,如何求CE的长度?
提示:∵☉O是Rt△ABC的内切圆,∴CE=CF,AD=AF,BD=BE,
设CE的长为x,则BE可表示为8-x,AF可表示为6-x.
再通过AD+BD=AB求出CE.(3)如何求出Rt△ABC的内切圆的半径?
提示:连接OE,OF.通过证明四边形OECF为矩形,可求出☉O的半径r.【尝试解答】连接OE,OF,由勾股定理得,
∵☉O是Rt△ABC的内切圆,∴CE=CF,AD=AF,BD=BE,
设CE的长为x,则BE可表示为8-x,AF可表示为6-x.
∴AB=AD+BD=AF+BE=6-x+8-x=14-2x=10,解得x=2,即CF=CE=2.
∵☉O是Rt△ABC的内切圆,E,F为切点,∴∠OFC=∠OEC=90°,
又∠C=90°.
∴四边形OECF为矩形,∴CF等于Rt△ABC的内切圆的半径,即r=2.【想一想】
三角形的内心一定在三角形的内部吗?
提示:三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点,一定在三角形的内部.【备选例题】已知:△ABC(如图),
(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).
(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.【解析】(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC,AB于点H,G;
②分别以H,G为圆心,以大于 HG的长
为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,
则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切
圆的圆心;
④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所
求圆.
(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,
∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)= ×92°=46°,
∴∠BIC=180°-46°=134°.【方法一点通】
直角三角形内切圆的半径的“两种求法”
已知直角三角形直角边为a,b,斜边为c,直角三角形内切圆半径
为r.
(1)切线长定理:根据切线长定理推得,a-r+b-r=c,
即r=
(2)面积法:根据三角形面积等于三角形的周长与三角形内切圆
半径乘积的一半,得 ab= (a+b+c)r,即r=提技能·题组训练
切线长定理
1.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是( )
A.9 B.10 C.12 D.14
【解析】选D.根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以梯形的周长是5×2+4=14.
2.如图,PA,PB为☉O的切线,A,B分别为切点,∠APB=60°,点P到圆心O的距离OP=2,则☉O的半径为( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选B.连接OA,∵PA为☉O的切线,∴PA⊥OA,
∵∠APO=∠APB=30°,
∴OA=2×=1,
∴☉O的半径为1.
3.如图,从☉O外一点P引圆的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,如果∠APB=
60°,线段PA=10,那么弦AB的长是( )
A.10 B.12 C.5 D.10
【解析】选A.∵PA,PB都是☉O的切线,∴PA=PB,
∵∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形,∴AB=PA=10.
4.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,过A,B两点分别作☉O的切线,两切线交于点P.若已知☉O的半径为1,则△PAB的周长为 .
【解题指南】(1)由直径所对的圆周角是直角,从而将问题转化到直角三角形中.
(2)利用勾股定理和特殊三角形的性质得出直角边AB的长.
(3)再结合切线的性质和切线长定理得到答案.
【解析】∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∠BAC=30°,CB=1,AB=.∵AP为切线,∴∠CAP=90°,∠PAB=60°.
又∵AP=BP,∴△PAB为正三角形,∴周长为3.
答案:3
5.如图,PA,PB分别切☉O于A,B,并与☉O的切线,分别相交于D,C,已知PA=7cm,则△PCD的周长等于 .
【解析】设DC与☉O的切点为E,∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,
∴PA=PB=7cm;同理,可得:DE=DA,CE=CB;则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm,故△PCD的周长是14cm.
答案:14cm
【知识归纳】切线长应用注意的两方面
当多条直线与同一圆相切时:(1)注意简化:归纳出现了几对切线长定理的基本图形,从而将复杂问题简单化,进而发现必要的数量关系.(2)注意联系,如圆心是几个角的角平分线的交点.
6.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,以AD为直径的☉O切BC于E,连接OB,OC,试探究OB与OC有何位置关系?
【解析】∵AD为☉O的直径,四边形ABCD为直角梯形,∴AB,CD为☉O的切线.
∵☉O与BC相切,
∴∠ABO=∠CBO,∠DCO=∠BCO.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴∠OBE+∠OCE=90°.∴∠BOC=90°,所以OB⊥OC.
三角形的内切圆及内心
1.下列说法中,不正确的是( )
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
【解析】选C.A,B,D都正确,经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线,垂直于半径的直线不一定是圆的切线.
2.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为( )
A.2 B.3
C. D.2
【解析】选D.因为圆内切于正三角形,如图,连接AO及OD,可知AD=CD,根据半径是1,可知AO=2,根据勾股定理,得AD=,所以AC=2.
【知识归纳】三角形的内切圆和内心
(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形.
(2)三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部,三角形的内心到三边的距离相等.
3.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= °.
【解析】∵点P是△ABC的内心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.
答案:90
4.如图,☉I是△ABC的内切圆,切点分别为点D,E,F,若∠DEF=52°,则
∠A= .
【解析】连接ID,IF,∵☉I是△ABC的内切圆,
∴ID⊥AB,IF⊥AC.
又∵☉I中,∠DIF=2∠DEF=104°,四边形DIFA中,
∠IDA=∠IFA=90°,
∴∠A=180°-∠DIF=76°.
答案:76°
5.如图,已知☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,如果AE=2,CD=1,BF=3,求内切圆的半径r.
【解析】∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,∴AF=AE,EC=CD,DB=BF,
∵AE=2,CD=1,BF=3,∴AF=2,EC=1,BD=3,∴AB=BF+AF=5,BC=BD+DC=4,
AC=AE+EC=3,∴△ABC是直角三角形且∠C=90°,
∴(AB+BC+AC)r=AC×BC,即6r=6,r=1.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC= °.
(1)错因: .
(2)纠错:
.
答案：(1) I是内心，不是外心，要理解内心和外心的区别.
(2)∵∠A=45°,∴∠ABC +∠ACB=180°-45°=135°,∵I是△ABC的内心,
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=67.5°，∴∠BIC=180°-67.5°=112.5°.
答案：112.5
课时提升作业(二十九)
直线和圆的位置关系(第3课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·锦州中考)有如下四个命题:(1)三角形有且只有一个内切圆.(2)四边形的内角和与外角和相等.(3)顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形.(4)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.其中真命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.三角形有且只有一个内切圆,(1)是真命题;四边形的内角和与外角和都是360°,(2)是真命题;顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,不一定是菱形,(3)是假命题;由一组对边平行且一组对角相等可证得两组对边分别平行,所以四边形是平行四边形,(4)是真命题.∴真命题的个数有3个.
2.如图,已知△ABC的内切圆☉O与各边相切于点D,E,F,则点O是△DEF的( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
【解析】选D.∵△ABC的内切圆☉O与各边相切于D,E,F,∴OE=OF=OD,则可知点O是DE,DF,EF垂直平分线上的点,∴点O是△DEF的三边垂直平分线的交点.
3.如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则( )
A.EF>AE+BF
B.EF
C.EF=AE+BF
D.EF≤AE+BF
【解析】选C.如图,连接OA,OB,则OA,OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线,则
∠EAO=∠OAB,又EF∥AB,则∠EOA=∠OAB=∠EAO,则EA=EO,同理FO=FB,
∴EF=AE+FB.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则
∠ACB= .
【解析】如图,连接AO,OB,
∵PA,PB分别切☉O于A,B两点,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∴∠AOB=180°-∠P=150°,
设点E是优弧AB上一点,由圆周角定理知,∠E=75°,
由圆内接四边形的对角互补知,∠ACB=180°-∠E=105°.
答案:105°
5.如图,☉O与四边形各边均相切,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为 .
【解析】如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.由切线长定理,得AL=AP,BL=BM,CN=CM,
DN=PD,因此四边形ABCD的周长为AL+AP+BL+BM+CM+CN+DN+DP,可化简为2AB+2CD=2×(16+10)=52.
答案:52
【知识拓展】圆外切四边形的性质
由切线长定理得,圆外切四边形的两组对边的和相等.
6.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为
cm(AD【解题指南】(1)解一元二次方程求出AD,BE.
(2)由切线长定理和勾股定理求出半径.
【解析】设圆心为O,连接OD,OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,
解得:x1=10,x2=15,∵AD∴AD=10,BE=15,设半径为r,
又AB=AD+BE=25,
∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,
∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.
答案:5
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,△ABC中,E是内心,∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证:DE=DB.
【证明】连接EB,DB.
∵E是△ABC的内心,
∴∠EBC=∠ABE,
∠BAD=∠CAD.
∵∠CAD=∠CBD,
∴∠BAD=∠CBD.
又∵∠BED=∠BAD+∠ABE,
∠DBE=∠EBC+∠CBD,
∴∠BED=∠DBE,
∴DE=DB.
【知识归纳】三角形内心的性质
(1)三角形的内心到三边的距离相等,且距离等于三角形内切圆的半径.
(2)三角形内心与顶点的连线平分这个内角.
8.(8分)如图,已知AB是☉O的直径,DC是☉O的切线,点C是切点,AD⊥DC,垂足为D,且与圆O相交于点E.
(1)求证:∠DAC=∠BAC.
(2)若☉O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长.
【解析】(1)连接OC,
∵DC切☉O于C,
∴OC⊥DC,
∵AD⊥DC,∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠OCA,∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠BAC.
(2)∵∠DAC=∠BAC,∴EC=BC=3,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
由勾股定理得,AC==4,
答:AC的长是4cm.
【培优训练】
9.(10分)如图,在△ABC中,已知∠ABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D,若AE=2,AD=4.
(1)求☉O的直径BE的长.
(2)计算△ABC的面积.
【解析】(1)连接OD,∴OD⊥AC,∴△ODA是直角三角形,设☉O半径为r,
∴AO=r+2,
∴(r+2)2—r2=16,
解得:r=3,∴BE=6.
(2)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线.
∵CD切☉O于D,∴CB=CD,令CB=x,
∴AC=x+4,AB=8.
∵x2+82=(x+4)2,∴x=6,
∴S△ABC=×8×6=24.
