课件22张PPT。24.3
正多边形和圆1.正多边形与圆
如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边形一
定是________.
2.正多边形的有关概念
(1)中心:正多边形的_____________.
(2)半径:正多边形_______的半径.
(3)中心角:正多边形每一边所对的_______.
(4)边心距:正多边形的_____到正多边形的一边的_____.正n边形外接圆的圆心外接圆圆心角中心距离3.正多边形的画法
先将_______n等分,然后顺次连接各分点所得的多边形为____
_____.
4.利用尺规在圆中作正六边形和正方形
(1)正六边形:在半径为R的圆上依次截取等于__的弦,将圆___等
分,顺次连接各分点得_______形.
(2)正方形:作出已知圆的互相垂直的直径将圆___等分,顺次连
接各分点得_____形.正n圆心角边形R六正六边四正方【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.将一个圆分成5份,依次连接各分点所得的五边形为正五边
形.( )
2.三角形外接圆的圆心叫做三角形的中心.( )
3.正六边形外接圆的半径等于其边长.( )
4.正八边形的中心角等于45°.( )××√√知识点一 正多边形的性质与判定
【示范题1】已知:如图,△ABC是☉O的内接等
腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分
∠ABC,∠ACB,求证:五边形AEBCD是正五边形.【解题探究】(1)由△ABC是等腰三角形,∠BAC=36°,BD,CE是
两底角的平分线,可得哪些角相等?
提示:∠BAC=∠ABD=∠DBC=∠BCE=∠ECA.
(2)对于(1)中相等的角的顶点都在☉O上,故它们都是圆周角.
(3)由(1),(2)可得到什么结论?
提示: 因此五边形AEBCD是正五边形.【尝试解答】∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD，CE分别平分
∠ABC，∠ACB，∴∠BAC=∠ABD=∠DBC=∠BCE=∠ECA.
∴ 因此五边形AEBCD是正五边形.【想一想】
各边相等的多边形一定是正多边形吗?
提示:不一定,如菱形的各边相等,但它不是正多边形.【备选例题】已知☉O和☉O上的一点A(如图).
(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边
形AEFCGH;
(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,
求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.【解析】(1)作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A,B,C,D四点.
∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.
④分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,
交☉O于E,H,F,G;
⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,
如图所示.(2)连接OE,DE.∵∠AOD= =90°,∠AOE= =60°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°.∴DE为☉O的内接正十二边形的
一边.【方法一点通】
正多边形的判定方法
1.定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等.
2.正多边形与圆的关系判定:多边形为圆内接多边形时,判断该多边形的顶点将圆等分即可.知识点二 正多边形有关的计算
【示范题2】如图所示,已知☉O的周长等于6πcm,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.【思路点拨】连接OD,OE,过点O作OH⊥DE于H,由周长公式,可求出半径,OH为等边△DOE的高,由勾股定理求出OH,求出△DOE的面积,即可得正六边形ABCDEF的面积.【自主解答】连接OD,OE,过点O作OH⊥DE于H,则EH=DH= DE,
设☉O的半径为R,由题意知2πR=6π,
∴R=3(cm).∵正六边形的边长等于半径,
∴DE=3,在Rt△EOH中,OE=3,EH= ,由勾股定理得,
OH=
∴正六边形ABCDEF的面积为:
(cm2).【想一想】
正六边形的边长和半径有怎样的数量关系?为什么?
提示:相等,正六边形的中心角为60°,边和半径构成等边三角形.【备选例题】已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，
求它们的面积的比值.
【解析】设它们的周长是1.根据题意，得正三角形的边长是
正六边形的边长是 则正三角形的边心距是 正六
边形的边心距是 则正三角形的面积是 正六边形的面
积是 则它们的面积比是2∶3.【方法一点通】
正多边形有关量的计算
1.与正n边形有关的角.
(1)中心角:每一个中心角度数为:
(2)内角:每个内角度数为:
(3)外角:每个外角的度数为:2.正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系: +r2=R2.
3.正n边形周长l与边长a,面积S与边长a、边心距r的关系:周长
l=na;面积S= arn.提技能·题组训练
正多边形的性质与判定
1.下列命题正确的是( )
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
【解析】选D.根据正多边形的概念得:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形,故A,B错误;矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其不是正多边形,故C错误;D符合正多边形的概念,正确.
2.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍
C.扩大了四倍 D.没有变化
【解析】选D.由题意知圆的半径扩大一倍,则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍,所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.
3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数
是( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
【解析】选C.连接OB,∵∠AOB=60°,∴∠ADB=∠AOB=30°.
4.下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各角相等的圆内接多边形是正多边形.正确的是( )
A.① B.② C.①② D.都不正确
【解析】选A.∵各边相等的圆内接多边形其所对的弧线段相等,∴该多边形为圆的内接正多边形,故①正确;矩形符合②的条件但不符合结论,故②错误.
5.正五边形共有 条对称轴,正六边形共有 条对称轴.
【解析】正n边形的对称轴与它的边数相同.
答案:5 6
6.已知☉O的半径为1 cm,求作☉O的内接正八边形.
【解析】(1)如图所示,作直径AC,使AC=2 cm.
(2)作AC的中垂线BD交☉O于B,D两点.
(3)连接AD,作AD的中垂线交于M点.
(4)用同样的方法作出,,的中点分别为E,F,G.
(5)依次连接各分点,即得正八边形.正八边形AEBFCGDM即为所求作的☉O的内接正八边形.
正多边形有关的计算
1.(2013·资阳中考)一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是( )
A.正六边形 B.正八边形
C.正十边形 D.正十二边形
【解析】选C.∵多边形的外角和都等于360°,而360°÷36°=10,∴这个正多边形是正十边形.故选C.
2.正三角形的边心距、半径和高的比是( )
A.1∶2∶3 B.1∶∶
C.1∶∶3 D.1∶2∶
【解析】选A.如图过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD必过中心O点,连接OB,设OD=x,则OB=2x,所以△ABC的高线为3x,因此正三角形的边心距、半径和高的比为1∶2∶3.
3.(2013·莱芜中考)正十二边形每个内角的度数为 .
【解析】正十二边形的每个内角都相等,每个外角也相等.
方法一:(12-2)×180°=1 800°.1800°÷12=150°.
方法二:360°÷12=30°. 180°-30°=150°.
答案:150°
【方法技巧】正多边形外角的两种求法
1.根据多边形内角和公式计算正多边形每个内角的度数,再利用互补的关系求外角度数.
2.直接利用多边形外角和求其外角度数.
【变式训练】如果一个正多边形的一个内角为144°,则这个正多边形的边数为 .
【解析】360÷(180-144)=10,所以这个正多边形是正十边形.
答案:十
4.若正n边形的一个外角是一个内角的,此时该正n边形有 条对称轴.
【解析】因为正n边形的一个外角为,一个内角为,
所以由题意得=·,解这个方程得n=5.
所以该正n边形有5条对称轴.
答案:5
5.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为 .
【解析】内接正方形的边长为R,内接正六边形的边长为R,其比为∶1.
答案:∶1
6.已知正六边形的边心距为,则正六边形的边长为 .
【解析】∵正六边形的边心距为,
∴OB=,AB=OA,OA2=AB2+OB2,解得OA=2.
答案:2
【方法技巧】求正六边形有关线段的方法
1.构造直角三角形,其斜边是正六边形的半径,一条直角边是正六边形的边心距,另一条直角边是正六边形的边长的一半,一个锐角是正六边形中心角的一半
30°.
2.通过勾股定理求解.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
线段AB是圆内接正十边形的一条边,则AB所对的圆周角的度数是 度.
(1)错因: .
(2)纠错: .
答案：(1)忽略了一条弦对着两个圆周角
(2)另一个圆周角为:180°-18°=162°
答案:18或162
课时提升作业(三十)
正多边形和圆
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( )
A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.=
D.∠BAC=30°
【解析】选D.∵OA=AB=OB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°.又∵OC⊥AB,∴=,∠AOC=∠BOC=30°,∴∠BAC=15°,所以选项A,B,C都正确,D错误.
2.(2013·滨州中考)若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )
A.6,3 B.3,3
C.6,3 D.6,3
【解析】选B.作图如下,由正方形的性质、垂径定理可得OE=AE=3,OA=3.
【变式训练】正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为( )
A.2∶ B.∶2
C.2∶1 D.∶1
【解析】选A.设正六边形的半径是r,则外接圆的半径为r,内切圆的半径是正六边形的边心距,因而是r,因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.
3.(2013·绵阳中考)如图,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为( )
A.6mm B.12mm
C.6mm D.4mm
【解析】选C.连接AC,过B作BD⊥AC于D;
∵AB=BC,∴△ABC是等腰三角形,
∴AD=CD.∵此多边形为正六边形,
∴∠ABC=120°,∴∠ABD=60°,
∴∠BAD=30°,∴BD=3,AD==3,
∴b=2AD=6(mm).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.一元钱的硬币的直径约为24mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm(结果保留根号).
【解析】如图,已知此圆半径为12mm,则OB=12mm.在直角△OBD中,∠BOD=60°,
∴∠OBD=30°,∴OD=6mm,
BD==6mm.
∴BC=12mm.
答案:12
5.(2013·南京中考)△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为 .
【解析】根据已知,△OAB为等腰三角形,且△OAB的一个内角为70°,则这个角可能是底角,也可能是顶角.若70°角为顶角,则边数为=,不符合题意,舍去;若70°角为底角,则顶角为40°,则边数为=9,符合题意,故边数为9.
答案:9
6.将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形,这个正方形的边长等于
(结果保留根号).
【解析】∵△BDE是等腰直角三角形,BE=1,∴BD=,
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+.
答案:1+
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,边AB,BC,CD,DE,EA与☉O分别相切于点A′,B′,C′,D′,E′.
求证:五边形ABCDE是正五边形.
【证明】作☉O的半径OA′,OB′,OC′,则OA′⊥AB,OB′⊥BC,OC′⊥CD.
∴∠OA′B=∠OB′B=∠OB′C
=∠OC′C=90°,
由OA′=OB′，OB=OB，可得△OA′B≌△OB′B(HL),
∴A′B=B′B，∠OBA′=∠OBB′，
同理可得∠OCB′=∠OCC′
又∵∠ABC=∠BCD,∴∠OBB′=∠OCB′，∴BB′=BC,
同理A′B=AB, ∴AB=BC,
同理得AB=BC=CD=DE=EA,
又∵∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA,
∴五边形ABCDE是正五边形.
8.(8分)(2013·安徽中考)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2)、图(3)…
(1)观察以上图形并完成下表:
图形名称
基本图的个数
特征点的个数
图(1)
1
7
图(2)
2
12
图(3)
3
17
图(4)
4
…
…
…
猜想:在图(n)中,特征点的个数为 (用含n式子表示)
(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= ;
图(2013)的对称中心的横坐标为 .
【解析】(1)22 5n+2.
(2)正六边形的边长是2,所以边心距为,则x1=;
图(2)的对称中心在正六边形的一边上,横坐标为2;
图(3)的对称中心是正中间的正六边形的中心,横坐标为3,…,以此类推,图(2013)的对称中心的横坐标为2013.
【知识拓展】正多边形的性质
(1)各边相等;各角相等.
(2)正多边形都是轴对称图形,一个正n边形有n条对称轴,每一条对称轴都通过正n边形的中心.
①边数是偶数边的正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形;
②边数是奇数边的正多边形是轴对称图形.
【培优训练】
9.(10分)如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.
(1)求图(1)中∠MON的度数.
(2)图(2)中∠MON的度数是 ,图(3)中∠MON的度数是 .
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
【解析】(1)连接OB,OC.
∵正△ABC内接于☉O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,
∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM=∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90° 72°
(3)∠MON=.
