课件20张PPT。24.4 弧长和扇形面积
第1课时1.弧长公式
半径为R,圆心角为n°的弧的弧长l为______.
2.扇形
由组成圆心角的_________和该圆心角_________围成的图形叫
做扇形.两条半径所对的弧3.扇形的面积公式
(1)S扇形=_____(n为扇形的圆心角的度数,R为扇形的半径).
(2)S扇形=____(l为扇形的弧长,R为扇形的半径).【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.弧长公式是l= .( )
2.扇形的面积公式S= .( )
3.半径是6cm,圆心角为30°的弧长为 cm.( )
4.半径为3cm,弧长为8 cm的扇形面积为12 cm2.( )×××√知识点一 弧长公式及应用
【示范题1】如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束(B′)所走过的路径长度是多少?【解题探究】(1)找到等边△ABC每一次翻转的中心,画出点B所
走的路径.
提示: .
(2)等边△ABC每一次旋转的角度是多少?旋转的半径是多少?
提示:等边△ABC每一次旋转的角度是120°,旋转的半径是1.【尝试解答】如图，点B从开始到结束翻转了两次，每次旋转
的角度是120°，旋转的半径为1，点B从开始到结束走过的路
径长度=【想一想】
1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
提示：圆周长为2πR，可看作是360°的圆心角所对的弧长；
1°的圆心角所对的弧长为 ；圆心角为n°的弧长
是圆心角为1°的弧长的n倍,∴n°的圆心角所对的弧长为【备选例题】矩形ABCD的边AB=8,AD=6,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动翻滚,当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时(如图所示),求顶点A所经过的路线长.【解析】点A经过的路线长由三部分组成:以B为圆心,AB为半径旋转90°的弧长;以C为圆心,AC为半径旋转90°的弧长;以D为圆心,AD为半径旋转90°的弧长,利用弧长公式可得 【方法一点通】
求与弧长相关计算的两个步骤知识点二 扇形的面积公式及应用
【示范题2】(2013·威海中考)如图,
CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,
AO⊥BC,垂足为点E,AO=1.
(1)求∠C的大小.
(2)求阴影部分的面积.【思路点拨】(1)由垂径定理得， 再由圆周角和圆心
角的关系，求出∠C= ∠AOD，由直角三角形的两锐角互余，
求出∠C.
(2)不难得出∠AOB=120°，由直角三角形中30°的性质和勾股
定理求出OF ,AF，扇形OAB的面积减去△AOB的面积为阴影部分
的面积.【自主解答】(1)∵CD为⊙O的直径, CD⊥AB,
∴ ,∴∠C= ∠AOD.∵∠AOD=∠COE,
∴∠C= ∠COE.∵AO⊥BC,∴∠C=30°.
(2)连接OB.由(1)知∠C=30°,∴∠AOD=60°,
∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°,【想一想】
扇形和弓形有什么区别?
提示:弓形是由弦及其所对的弧组成的图形,扇形是由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.【微点拨】扇形的面积公式有两个：
(1)已知扇形的半径和圆心角度数求面积时选用
(2)已知半径和弧长求面积时选用【方法一点通】
两类弓形面积的求法
1.小于半圆的弧与弦组成的弓形,如图1,用扇形的面积减去三角形的面积.
2.大于半圆的弧与弦组成的弓形,如图2,用扇形的面积加上三角形的面积.提技能·题组训练
弧长公式及应用
1.(2013·仙桃中考)如果一个扇形的弧长是π,半径是6,那么此扇形的圆心角为( )
A.40° B.45° C.60° D.80°
【解析】选A.根据弧长公式,π×6=π,解得n=40,故选A.
2.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π,则该圆的半径r等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选C.利用l=,建立方程5π=,解得r=9.
3.(2013·菏泽中考)在半径为5的圆中,30°的圆心角所对弧的弧长为
(结果保留π).
【解析】∵r=5,n=30,∴l==π.
答案:π
4.(2013·南充中考)点A,B,C是半径为15cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为 cm.
【解析】如图,在☉O中,∠BAC=36°,
∴∠BOC=72°,∴根据弧长公式计算弧BC的长为:=6π(cm).
答案:6π
5.(2013·西宁中考)如图,网格图中每个小正方形的边长为1,则的弧长l= .
【解析】如图,∠AOB=90°,OA=OB==3,
∴l==π.
答案:π
6.如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=2,∠A=45°,把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置,则顶点C经过的路线长为 .
【解析】∵在Rt△ABC中,∠A=45°,
∴∠ABC=45°,∴AC=BC.
∵斜边AB=2,∴BC=2.
∴顶点C经过的路线长为=π.
答案:π
扇形的面积公式及应用
1.已知☉O的半径OA=5,扇形OAB的面积为15π,则所对的圆心角是( ) A.120° B.72° C.36° D.60°
【解析】选B.设所对的圆心角的度数为n°,则=15π,n=72.
2.如果扇形的圆心角为150°,扇形面积为240πcm2,那么扇形的弧长为( )
A.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm
【解析】选C.由πr2=240π,解得r=24.
又由S=lr,得240π=l×24,得l=20πcm.
3.(2013·重庆中考)如图,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
【解析】∵S扇===π,S△AOB=OA·OB=×2×2=2.
∴阴影部分的面积=S扇-S△AOB=π-2.
答案:π-2
【变式训练】如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D,则图中阴影部分的面积为 .
【解析】AB=AC,∴∠C=45°,
∴AD=BD,∴两个弓形面积相等,
∴阴影部分的面积就等于△ACD的面积,
∴S△ACD=2×1÷2=1,即阴影部分的面积为1.
答案:1
4.(2013·云南中考)已知扇形的面积为2π,半径为3,则该扇形的弧长为 .(结果保留π)
【解析】设扇形的弧长为l,由S=lR,得l=2×2π÷3=π.
答案:π
5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,1m长为半径的扇形区域内(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是 .
【解析】设五边形的五个内角分别为n1°,n2°,…,n5°,则n1+n2+…+n5=(5-2)×180=540,∴阴影部分面积为++…+===(m2).
答案:m2
6.如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)将△ABC向上平移3个单位长度,画出平移后的△A1B1C1.
(2)写出A1,C1的坐标.
(3)将△A1B1C1绕B1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B1C2,求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
【解题指南】(1)将△ABC的A,B,C三点分别向上平移3个单位长度,找到它们的对应点,顺次连接后得到△A1B1C1.
(2)从图中读出点A1,C1的坐标即可.
(3)根据线段B1C1旋转过程中扫过的面积为扇形,扇形半径为5,圆心角为90°,求出面积即可.
【解析】(1)画出平移后的图形,如图所示.
(2)A1(5,7),C1(9,4).
(3)画出旋转后的图形,如图所示,
根据线段B1C1旋转过程中扫过的图形为扇形,扇形半径为5,圆心角为90°,则
S扇形==π.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图所示,半圆O中,直径AB长为4,C,D为半圆O的三等分点,求阴影部分的面积.
(1)错因: .
(2)纠错:
_________________________.
答案：(1)没有证明△ACD的面积等于△OCD的面积
(2)易知△OCD和△AOC都为等边三角形，得CD∥AO,
∴△ACD的面积等于△OCD的面积.S阴影=S扇形COD=
课时提升作业(三十一)
弧长和扇形面积(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图所示,实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( )
A.12πm B.18πm C.20πm D.24πm
【解析】选D.此游泳池的周长为两段相等的弧长,弧的半径为9m,每段弧的圆心角为240°,所以游泳池的周长为2×=24π(m).
2.(2013·资阳中考)钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是( )
A.π B.π C.π D.π
【解析】选A.钟面上的分针的长为1,即R=1;从9点到9点30分,分针在钟面上绕着轴心旋转了180°,即n=180.所以S扇形===.
3.(2013·荆州中考)如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′,点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.π
【解析】选A.∵∠BAC=60°,AC=1,∴AB=2AC=2.由题意可知,图中阴影部分的面积=扇形ABB′的面积+△AB′C′的面积-△ABC的面积,又△AB′C′的面积=△ABC的面积,所以阴影部分的面积=扇形ABB′的面积==.
【方法技巧】求阴影部分的面积
(1)若是规则图形,可用公式面积直接求解.
(2)若是不规则图形,则需观察阴影部分是怎样形成的,然后再运用割补法、拼接法、等积法等去解决.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·遂宁中考)如图,△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置,且点A′,C′仍落在格点上,则图中阴影部分的面积约是 (π≈3.14,结果精确到0.1).
【解析】依题意得扇形的半径==,圆心角∠ABA′=90°,∴图中阴影部分的面积=扇形的面积-直角三角形的面积=-×2×3=π×13-3≈×3.14×13-3=10.205-3≈7.2.
答案:7.2
【变式训练】(2013·汕头中考)如图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π).
【解析】根据题意可知,∠1=∠2,于是图中阴影部分的面积可化为扇形AOB和扇形DCE的和,由正方形的性质,可知∠AOB=45°,∠DCE=90°,结合扇形面积计算公式得阴影部分的面积=+=π.
答案:π
5.(2013·扬州中考)如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形OAB沿着过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的长为 .
【解析】如图,连接OD.由折叠可得OB=DB=OD,
∴△ODB是等边三角形,从而∠DOB=60°.
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°,因此的长为=5π.
答案:5π
6.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为
60°,则图中阴影部分的面积是 (结果保留π).
【解析】连接BD,因为四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,
所以BD=BC=2,由题意得∠DBG=∠CBH,∠GDB=∠C,所以△DGB≌△CHB,则四边形GBHD的面积等于△DBC的面积,
S阴=S扇形EBF- S△DBC=-×2×=-.
答案:-
三、解答题(共26分)
7.(8分)一个扇形的弧长为10πcm,面积是120πcm2,求扇形的圆心角的度数.
【解析】设扇形的圆心角为n度,半径为R,则
解方程组得
即扇形的圆心角为75°.
8.(8分)如图所示,等腰直角三角形ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D,E.求图中阴影部分的面积.
【解析】连接OE.
∵☉O与BC相切于点E,
∴∠OEB=90°.
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=BC且AC2+BC2=AB2=42=16.
∴AC=BC=2.
∵∠C=90°,∴OE∥AC.
又∵OA=OB,∴CE=EB.
∴OE=EB=AC=.
∴S△OEB=·OE·EB=××=1,
S扇形OEF==.
∴S阴影=2(S△OEB-S扇形OEF)=2-.
【培优训练】
9.(10分)如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A经过的路线长是多少?
(2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少?(计算结果不取近似值)
【解析】(1)∵∠A=30°,
∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=,
∴∠ABA′=120°,
∴==π, ==π,
∴点A经过的路线长为π+π=π.
(2)S扇形BAA′=××2=,
S扇形C′A′A″=××=,
S△A′BC′=×1×=,
∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π+π+=+.
