课件19张PPT。24.4 弧长和扇形面积
第2课时1.圆锥
(1)圆锥的组成:圆锥是由一个底面和一个_____围成的.
(2)圆锥的母线:连接圆锥_____和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
2.圆锥面积
(1)圆锥的侧面积:S侧=____.
(2)圆锥的全面积:S全=_________.侧面顶点πrlπrl+πr2【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.同一个圆锥的母线都相等.( )
2.圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长.( )
3.圆锥的母线不一定是其侧面展开图扇形的半径.( )
4.已知一个圆锥的高为6cm,底面半径为8cm,则这个圆锥的母线长为10cm.( )√√×√知识点一 圆锥的有关概念和侧面展开图
【示范题1】如图,如果圆锥的底面圆的半径是8,母线长是15,求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.【解题探究】(1)要求扇形的圆心角,在已知扇形的半径的前提下,可以考虑哪些公式?
提示:可以考虑扇形的面积公式或弧长公式.
(2)已知圆锥的底面半径,可以求出其展开图的哪个量?
提示:可以求出扇形的弧长.【尝试解答】设扇形的圆心角为n°,由弧长公式得,
=16π,解得:n=192,即圆心角为192°.【想一想】
圆锥的侧面积中的l,r与弧长公式中的l,r相同吗?
提示:不同.
理由:圆锥的侧面积中的l指的是母线长,是展开图中扇形的半径,r指的是圆锥的底面半径;弧长公式中的l是指弧长,r是指弧所在的圆的半径.【备选例题】如图,扇形的半径为30,圆心角
为120°,用它做一个圆锥模型的侧面,求这
个圆锥的底面半径和高.
【解析】由题意知，圆锥底面周长=
圆锥底面的半径为：20π÷2π=10.故圆锥的高为：【方法一点通】
圆锥和侧面展开图之间转换的“两个对应”
1.圆锥的母线与展开后扇形的半径的对应.
2.展开后扇形的弧长与圆锥底面周长的对应，根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法.知识点二 圆锥的侧面积和全面积
【示范题2】一个圆锥的高为3 cm,侧面展开图是半圆,
求:(1)圆锥母线与底面半径的比值.
(2)圆锥的全面积.【思路点拨】圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径,底面周长是展开图中扇形的弧长,知道圆锥母线和底面半径,就可由扇形面积公式求侧面积,底面积加侧面积就得圆锥的全面积.【自主解答】如图，AO为圆锥的高，经过
AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，
BO为底面半径r.
(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr
=πl，则 =2.
(2)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以
l2=h2＋r2；
又l=2r，h=3 cm，则r=3 cm，l=6 cm.
所以S全=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6π＋32π=27π(cm2).【想一想】
圆锥的轴截面是什么图形?
提示:圆锥的轴截面是等腰三角形.【备选例题】圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形
纸帽.已知纸帽的底面周长为58cm,高为20cm,要制作20顶这样
的纸帽至少要用多少纸?(结果精确到0.1cm2)
【解析】设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝
l＝ ≈22.03(cm)，S圆锥侧＝πrl≈ ×58×22.03＝638.87(cm2).
638.87×20＝12 777.4(cm2).所以，至少需要12 777.4 cm2
的纸.【方法一点通】
圆锥面积计算的“三个关键点”
1.分析清楚几何体表面的构成.
2.弄清圆锥与其侧面展开图扇形各元素之间的对应关系.
3.圆锥的母线长l,底面圆的半径r和圆锥的高h的关系为:l2=r2+h2.注意:(1)圆锥的侧面展开图是扇形,它的轴截面是等腰三角形.圆柱的侧面展开图是矩形,它的轴截面是矩形.
(2)不要把圆锥侧面展开图的半径同底面圆的半径相混淆.提技能·题组训练
圆锥的有关概念和侧面展开图
1.(2013·湘西中考)下列图形中,是圆锥侧面展开图的是( )
【解析】选B.因为圆锥的侧面展开图是扇形,各选项中只有B选项是扇形,故选B.
2.一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π,则这个圆锥底面圆的半径为
( )
A.6 B.12 C.24 D.2
【解析】选A.设这个圆锥底面圆的半径为r,则2πr=12π,解得r=6.
3.(2013·遂宁中考)用半径为3cm,圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )
A.2πcm B.1.5cm C.πcm D.1cm
【解析】选D.依题意,得这个圆锥的底面半径=÷2π=1cm,故应选D.
4.用半径为9,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则圆锥的高为 .
【解析】如图所示,扇形弧长l===6π,设圆锥底面圆半径为r,则
2π·r=6π,所以r=3.从而得到圆锥的高h===6.
答案:6
5.如图1,底面半径为1,母线长为4的圆锥展开后得到图2,在图1中,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,根据展开图求蚂蚁爬行的最短路线长.
【解析】根据题意可知,线段AA′的长度为蚂蚁爬行的最短路线长,设侧面展开图扇形圆心角为n°,则有2π×1=.
解得n=90,即∠APA′=90°,
所以AA′=PA=4.
【方法技巧】立体图形的最短路线
解决这类最短路线问题一般要把立体图形转化为平面图形,进而利用“两点之间,线段最短”来确定路线,最后利用勾股定理等求出路线的长.
圆锥的侧面积和全面积
1.粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径是4m,母线长为3 m,为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡,那么这块油毡的面积至少为( )
A.6m2 B.6πm2
C.12m2 D.12πm2
【解析】选B.侧面积=底面直径·π·母线长=×4×π×3=6π(m2).
【变式训练】(2013·南通中考)用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4cm,底面周长是6πcm,则扇形的半径为( )
A.3cm B.5cm
C.6cm D.8cm
【解析】选B.由已知可得圆锥的底面圆的半径是3,圆锥的母线长是=5,所以扇形的半径是5cm.
2.如果圆锥的高与底面直径相等,那么该圆锥的底面积与侧面积之比为( )
A.1∶ B.1∶2
C.1∶ D.1∶1.5
【解析】选A.设圆锥的底面半径为r,则高为2r,
可得圆锥的母线长为:=r,
圆锥的底面积为πr2,
侧面积为πrl=π×r×r=πr2,
∴该圆锥的底面积与侧面积之比为:πr2∶πr2=1∶.
3.(2013·镇江中考)用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径等于( )
A.3 B. C.2 D.
【解析】选A.设圆锥的底面半径为r,由半圆的弧长等于圆锥的底面周长得2πr=,解得r=3.
4.(2013·黄石中考)已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm,另一条直角边BC=5cm,则以AB为轴旋转一周,所得到的圆锥的表面积是 ( )
A.90πcm2 B.209πcm2
C.155πcm2 D.65πcm2
【解题指南】解决该题的两个关键点
1.已知两直角边通过勾股定理可求出斜边,即圆锥的母线长,直角边BC为圆锥的底面半径.
2.要明确圆锥的表面积就是圆锥的全面积.
【解析】选A.∵∠ABC=90°,AB=12cm,BC=5cm,
∴AC=13cm;侧面积S=πrl=5×13π=65π(cm2);底面积S=πr2=25π(cm2);圆锥的表面积=65π+25π=90π(cm2).
5.如图,扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图,已知∠AOB=90°,OA=4cm,则的长l= cm,圆锥的全面积S= cm2.
【解析】由题意知:的长l==2π(cm);扇形的面积是=4π(cm2),设圆锥的底面半径是r,则2πr=2π,解得r=1,则底面面积是πcm2,∴圆锥的全面积S=4π+π=5π(cm2).
答案:2π 5π
6.已知扇形的圆心角为120°,面积为300π.
(1)求扇形的弧长.
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的全面积是多少?
【解析】(1)=300π,∴R=30,
∴l==20π.
(2)2πr=l,则r=10,∴S底=πr2=100π,
∴S全=S侧+S底=400π.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°,底面面积为15cm2,求圆锥的侧面积.
(1)错因: .
(2)纠错:
.
答案：(1)混淆了圆锥侧面展开图中的半径与圆锥底面的半径
(2)设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，πr2=15,r=，2π=
∴l＝2，∴圆锥的侧面积为S=πrl=π××2=30
课时提升作业(三十二)
弧长和扇形面积(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·绍兴中考)若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
【解析】选D.设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n°,半径为r,则圆锥的底面直径也为r,根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,可得=πr,解得n=180.
2.(2013·南宁中考)如图,圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm,母线长为20cm,制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( )
A.150πcm2 B.300πcm2
C.600πcm2 D.150 cm2
【解析】选B.方法一:烟囱帽的面积=π×15×20=300π(cm2).
方法二:圆锥展开后的扇形弧长是圆锥的底面周长,扇形的半径是圆锥的母线长,∴S=×(2×π×15)×20=π×15×20=300π(cm2).
3.在Rt△ABC中,已知AB=6,AC=8,∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S1;把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S2.那么S1∶S2等于( )
A.2∶3 B.3∶4
C.4∶9 D.5∶12
【解析】选A.∵∠A=90°,AC=8,AB=6,
∴BC===10.
当以AC为轴时,AB为底面半径,S1=S侧+S底
=πAB·BC+πAB2=π×6×10+π×36=96π;
当以AB为轴时,AC为底面半径,S2=S侧+S底=80π+π×82=144π.∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·聊城中考)已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为 cm.
【解析】设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长R=60cm,因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长,所以2πr=,解得r=25.
答案:25
【变式训练】(2013·呼和浩特中考)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 °.
【解析】设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆心角为n,则πrl=2πr2,即l=2r,∴侧面展开图扇形的圆心角为n=360°×=180°.
答案:180
5.(2013·泸州中考)如图,从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为 cm.
【解题指南】1.求出扇形的圆心角后即可求得扇形的弧长,即圆锥的底面周长,则底面半径即可求得,
2.利用勾股定理即可求得圆锥的高.
【解析】圆心角是:360°×=240°,则弧长是:=12π.
设圆锥的底面半径是r,则2πr=12π,解得:r=6,
则圆锥的高是:=3(cm).
答案:3
6.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°,则该圆锥的底面半径与母线长的比是 .
【解析】设圆锥的母线长是R,底面半径是r,
由=2πr,得=,
所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.
答案:1∶4
三、解答题(共26分)
7.(8分)若圆锥的底面周长为20π,侧面展开后所得扇形的圆心角为120°,求圆锥的侧面积.
【解析】设母线长为R,∵20π=,∴R=30,
∴S圆锥侧=×30×20π=300π.
8.(8分)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13cm,BC=5cm,求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积.
【解析】如图所示,过C点作CD⊥AB,垂足为D点.
由题意知AC==12(cm),
CD===(cm),
旋转形成两圆锥的底面周长为
2π·=(cm),
所以S全=··5+··12=(cm2).
答:这个几何体的全面积为cm2.
【方法技巧】直角三角形旋转体的全面积的求法
(1)当以一条直角边为轴旋转一周时,另一条直角边为圆锥的底面半径,斜边为母线长,不难求出圆锥的侧面积和底面积,全面积为侧面积与底面积的和.
(2)当以斜边为轴旋转一周时,得到两个圆锥,这两个圆锥的底面半径都是斜边的高,母线分别为两条直角边,全面积为两个圆锥侧面积的和.
【培优训练】
9.(10分)如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm.母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点.求此蚂蚁爬行的最短距离.
【解析】由题意得:
EF=10cm,
OE(OF)=10cm,r=5cm,
则2π×5=,
解得n=180,
即侧面展开图扇形的圆心角为180°,∴∠EOA=90°,
OA=OF-AF=8(cm),
∴AE==2(cm).
