北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

北京市怀柔区2022-2023学年度第二学期期末试卷高二数学
第一部分（选择题共40分）
2023.7
第一部分（选择题共40分）
一 选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数在处的切线斜率为（ ）
A.-3 B. C. D.5
3.已知函数为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
4.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值
C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值
6.将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为，则随机变量的期望（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在数列中，若，则（ ）
A.-1 B.1 C. D.2
8.若是等差数列的前项和，，则（ ）
A. B.
C. D.
9.数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下面对函数的描述正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题共110 分）
二 填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设函数，则__________.
12.已知随机变量的分布列如下，且：
0 1
则__________；__________.
13.已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则__________.
14.若曲线在处的切线方程为，则__________；__________.
15.设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
给出下列四个结论：
①当为等差数列时，；
②当为等差数列时，公差；
③当数列满足时，；
④当数列满足时，时，.
其中所有正确结论的序号是__________.
三 解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
已知等差数列的的前项和为，从条件① 条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，，求数列的前项和.
①；②；③.
17.（本小题13分）
已知函数.
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
18.（本小题14分）
为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：
（1）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（2）从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望；
（3）为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生 5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为，这5名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.
19.（本小题15分）
已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润=年销售收入-年总成本）；
（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
20.（本小题15分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意恒成立，求a的取值范围.
21.（本小题15分）
定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.
（1）若数列满足，判断为是否为“完全平方数列”；
（2）若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.
北京市怀柔区2022-2023学年度第二学期期末试卷
高二数学答案及评分参考
2023.7
一 选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.A 2.B 3.C 4.D 5.A
6.B 7.A 8.B 9.D 10.B
二 填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.0 12.， 13.2 14.， 15.①③④
注：12 14.题第一空3分，第二空2分；15.题给5 4 3分，有错解不给分.
13.题写2的给5分，写2或1的给3分
三 解答题（共6小题，共85分）
16.解：选①；②
（1）设等差数列的公差为.
由题设，得
解得.
所以.
（2）因为是等比数列，且由，得，
由，得
所以
所以.
所以
选其它，结论一样，按步给分.
17.（共13分）
解：（1）因为，所以.
令，得.
的变化情况如下：
-1 0
- 0 + 0 -
极大值 极小值
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.从而的极大值为的极小值为.
（2）由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值为，最小值为0.
18.（共14分）
解：（1）由茎叶图数据，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，90分以上的有4人，
所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.
（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.
从7人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为的值可能为：
的分布列为：
1 2 3 4
（3）不能确定是否有.
上述5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.
所以，不能确定是否有.
19.（共15分）
解：（1）售价固定为，
当产量不足60万箱时，
.
当产量不小于60万箱时，.
则.
（2）设
当时，.得在上单调递增，在上单调递减.
则.
当时，由基本不等式有
当且仅当时取等号.又，得当时，所获利润最大值为1300万元
20.（共15分）
解：（1）因为，
所以，所以.
当时，在单调递增；
当时，令，得
+ 0 -
极大值
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）解法一：由（1）分类讨论
当时，在单调递增；
.
（或其它例子，或当时，.）
，不恒成立.
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
，
令，
得，
得，即.
解法二：构造新函数若对任意恒成立，
即恒成立，
则恒成立，
设，
则.
令，得.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
所以.
21.（共15分）
解：（1）不是“完全平方数列”.
不是整数的完全平方数.
（2）存在，.
因为数列的前项和（是正整数），
那么
时，
时，
要使数列为“完全平方数列”，只需
只需时，，恒成立
只需，
，是正整数，.
（3）
因为数列等差数列，设
前项和
因为是完全平方数，则是完全平方数且
设，所以
备18（2）：从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率.
解：随机抽取的20名学生中有女生10人，从女生中随机抽取1人，90分以上的有3人，
所以女生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.
从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的情况有3种情况，
概率估计值；
备21：设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质.
（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？无需说明理由
.解：（1）数列不具有性质（2）（3）具有性质的数列是有限个