2022-2023学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）在等差数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝2（n≥2），则a6＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式运算求解．
【解答】解：由题意可知：数列{an}是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以a6＝1+（6﹣1）×2＝11．
故选：B．
2．（4分）已知，那么P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式求解即可．
【解答】解：因为，
所以，故A，B，D错误．
故选：C．
3．（4分）如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n个图案中黑色与白色三角形的个数之和为an，数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1（n≥1），那么下面各数中是数列{an}中的项的是（ ）
A．121 B．122 C．123 D．124
【答案】A
【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列{an}的通项，再根据选项进行计算求解．
【解答】解：因为a1＝1，an+1＝3an+1（n≥1），所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
对于A，当时，3n＝243，解得n＝5，故A正确；
对于B，当时，3n＝245，此时n N+，故B错误；
对于C，当时，3n＝247，此时n N+，故C错误；
对于D，当时，3n＝249，此时n N+，故D错误．
故选：A．
4．（4分）已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望即可；
【解答】解：试验成功的概率为，解得：；
记一次试验中成功的次数为X，则X的取值有0，1，
，P（X＝1）＝，
则随机变量X的数学期望．
故选：A．
5．（4分）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V（r）随着气球半径r的增大而增大．当半径r＝1时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ）
A． B．2π C．4π D．8π
【答案】C
【分析】球的体积公式为，对其求导并代入r＝1计算即可
【解答】解：由球的体积公式可得，得V′＝4πr2，
所以r＝1时，体积关于半径的瞬时变化率为V′＝4π×12＝4π．
故选：C．
6．（4分）某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为（ ）
A地至B地高铁列车时刻表
车次 发车时间 到站时间
G87 07：00 08：01
G91 07：55 08：56
G93 09：00 10：01
B地至C地高铁列车时刻表
车次 发车时间 到站时间
G2811 08：25 10：31
G653 09：24 11：13
G501 10：26 12：30
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【分析】分别讨论A到B车次到站时间，然后判断从B到C地高铁能乘坐的车次进行计算即可．
【解答】解：若乘G87车次，到站8：01，则B到C的3辆高铁都可以乘坐，
若乘G91车次，到站8：56，则B到C的3辆高铁只有G653和G501两个车次能乘坐，
若乘G93车次，到站10：01，则B到C的3辆高铁只有G501可以乘坐，
则此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为3+2+1＝6．
故选：B．
7．（4分）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量X～N（μ，σ2），可以证明，对给定的k∈N*，P（μ﹣kσ≤X≤μ+kσ）是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩ξ基本服从正态分布ξ～N（105，102）．若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在（105，125）的考生人数大约为（ ）
A．341 B．477 C．498 D．683
【答案】B
【分析】根据已知，成绩在（105，125）的概率符合2σ原则，直接可得．
【解答】解：ξ基本服从正态分布ξ～N（105，102），则μ＝105，σ＝10，
则125＝105+20，符合2σ原则，
则P（105＜ξ＜125）＝P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝×0.9545，
则1000名考生成绩在（105，125）的考生人数大约为：1000××0.9545≈477．
故选：B．
8．（4分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．若S3＝7，S6＝63，则q＝（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列求和公式，然后相比即可求答案．
【解答】解：当q＝1时，因为S3＝7，S6＝63，所以，不成立．
当q≠1时，因为S3＝7，S6＝63，所以，
两式相除得，
所以q＝2．
故选：C．
9．（4分）2023年5月18日至19日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行．峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A，B，C，D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．45种
【答案】B
【分析】先用捆绑法分组，再排列求解即可；
【解答】解：首先把5名同学转化成4组，然后分给4项翻译工作，
第一步：从5名同学中任意取出2名捆绑成1组，有种方法，
第二步：再把4组分给4项翻译工作，有种方法，
由乘法原理，共有（种）方法．
故选：B．
10．（4分）设函数给出下列四个结论：
①当a＜0时，函数f（x）有三个极值点；
②当0＜a＜1时，函数f（x）有三个极值点；
③ a∈R，x＝2是函数f（x）的极小值点；
④ a∈R，不是函数f（x）的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
【分析】取特殊值a＝﹣1，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论a的取值范围，结合函数图象，可判断④．
【解答】解：对于①，不妨取a＝﹣1，此时f（x）＝，作出函数f（x）图像如图：
此时函数有2个极值点x＝0，x＝2，故①错误；
对于②，当0＜a＜1时，＜＜1，作出函数f（x）图像如图：
f（x）在 单调递减，在，1）单调递增，
在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，
此时函数f（x）有3个极值点：，x2＝1，x3＝2，②正确；
对于③，由①的分析可知，a＝﹣1时，x＝2是函数f（x）的极大值点，③错误；
对于④，由以上分析可知当a＜1时，，
且为y＝x2﹣（a+1）x+2a的对称轴，
此时 为函数f（x）的极小值点，
当a≥1时，，此时f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在[1，2]上也单调递减，
在（2，+∞）上单调递增， 不是函数f（x）的极大值点，
故 a∈R，不是函数f（x）的极大值点，④正确，
故选：D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）的展开式中的常数项是： ﹣20 ．（请用数字作答）
【答案】﹣20．
【分析】先求出展开式的通项公式，令6﹣2r＝3，即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1＝＝x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
故的展开式中的常数项是．
故答案为：﹣20．
12．（5分）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 0.014 ．
【答案】0.014．
【分析】记事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi（i＝1，2）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果；
【解答】解：设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi（i＝1，2）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，
则P（B1）＝0.8，P（B2）＝0.2，P（A|B1）＝0.01，P（A|B2）＝0.03，
由全概率公式可得：P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）
＝0.01×0.8+0.03×0.2＝0.014，
即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为0.014．
故答案为：0.014．
13．（5分）已知函数f（x）＝xe﹣x+1在区间[0，m]上单调递增，则m的最大值为 1 ．
【答案】1．
【分析】求出函数的导数，令f′（x）＞0可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案．
【解答】解：由于函数f（x）＝xe﹣x+1，故f′（x）＝（1﹣x）e﹣x+1，
令f′（x）＝（1﹣x）e﹣x+1≥0，等号仅在x＝1时取得，
而e﹣x+1＞0，故x≤1，
即f（x）＝xe﹣x+1在（﹣∞，1]上单调递增，
故函数f（x）＝xe﹣x+1在区间[0，m]上单调递增，则m的最大值为1，
故答案为：1．
14．（5分）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（0＜p＜1）．现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为f（p），则f（p）＝ ；函数f（p）取最大值时，p＝ 0.2 ．
【答案】；0.2．
【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点．
【解答】解：10次的结果恰有2次是正面的概率为，
因此，
令f′（p）＝0，得p＝0.2，
当p∈（0，0.2）时，f′（p）＞0；当p∈（0.2，1）时，f′（p）＜0，
所以f（p）在（0，0.2）上单调递增，在（0.2，1）上单调递减，
当p＝0.2时，函数f（p）取最大值．
故答案为：；0.2．
15．（5分）设n是正整数，且n≥2，数列{ak}，{bk}满足：a1＝a（a＞0），，，数列{bk}的前k项和为Sk．给出下列四个结论：①数列{ak}为单调递增数列，且各项均为正数；②数列{bk}为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，k∈{1，2， ，n﹣1}，；④对任意正整数k∈{1，2， ，n}，Sk＜1．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【分析】由和a1＞0可确定①正确；由bk+1﹣bk＜0知②错误；根据已知等式可得及，推导得到，加和可得③正确；由已知等式可推导得到，累加得到，进而得到Sk＜1，知④正确．
【解答】解：对于①，，∵a1＝a（a＞0），∴，∴数列{ak}为单调递增数列，
∵a1＞0，∴ak＞0，即数列{ak}各项均为正数，①正确；
对于②，，
由①知：ak+1+n＞0，ak+n＞0，ak﹣ak+1＜0，∴数列{bk}单调递减数列，②错误；
对于③，由得：，∴
又，∴，
∴，③正确；
对于④，由得：，
∴，
∴，
∴，∴，即Sk＜1，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣3，1]上的最值．
【答案】（1）a＝3，b＝0；
（2）最大值为4，最小值为0．
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数f（x）在区间[﹣3，1]上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2ax，由题意得，解得a＝3，b＝0，
此时f（x）＝x3+3x2，f′（x）＝3x2+6x＝3x（x+2），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增，
当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣2，0）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，
所以f（x）在x＝﹣2时取得极大值．
所以a＝3，b＝0．
（2）由（1）可知，f（x）在[﹣3，﹣2）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，在（0，1]单调递增．
又因为f（﹣3）＝0，f（﹣2）＝4，f（0）＝0，f（1）＝4，
所以函数f（x）在区间[﹣3，1]上的最大值为4，最小值为0．
17．（13分）如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图．
注：年份代码1﹣9分别对应年份2014﹣2022．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）．
参考数据：．
参考公式：相关系数．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】（1）y与t之间存在较强的正相关关系，见解析；
（2）；2.15．
【分析】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
（2）根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计．
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，所以，
，，
所以，
，
∵0.99＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系．
（2）由（1），结合题中数据可得，
，
，
，
∴y关于t的回归方程，
2023年对应的t值为10，故，
预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿．
18．（14分）数列{an}的前n项和为Sn，其中n∈N*，a1＝1．从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求b1+b2+b3+ +bn．
条件①：an+1＝an+2；条件②：2an+1＝an+an+2；条件③：．
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）n2+2n+1﹣2．
【分析】（1）若选择①②，可判断数列{an}是公差为2的等差数列，即可求解通项公式，若选择③，根据a1＝S1，求c后，再根据数列an与Sn的关系，即可求通项公式；
（2）利用等差和等比数列的前n项和公式，即可求和．
【解答】解：（1）若选择①，an+1＝an+2，则an+1﹣an＝2，
即数列{an}是公差为2的等差数列，且a1＝1，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
若选择②，2an+1＝an+an+2，
则数列{an}是公差为2的等差数列，且a1＝1，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
若选择③，，由a1＝S1＝1+c＝1，得c＝0，
即，
n≥2时，，
且当n＝1时，a1＝2×1﹣1＝1，成立，
所以．
（2）由（1）可知，an＝2n﹣1，
，
，
＝．
19．（14分）2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图频率分布直方图．
（1）求图中的a的值；
（2）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在[50，60）中的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（直接写出结果）
【答案】（1）0.018；
（2）X的分布列为：
X 1 2 3
P
；
（3）n＞m．
【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值；
（2）首先求出60（分）以下的参观者人数，[40，50）和[50，60）的参观者人数，得到X的取值，写出变量各个取值对应的概率，进而得出X的分布列及数学期望；
（3）利用平均数的计算公式和中位数的定义，求出平均数和中位数即可比较大小．
【解答】解：（1）由题意可得，（0.004+0.012+0.014+0.024+0.028+a）×10＝1，
解得a＝0.018；
（2）由题意可得，分数在60（分）以下的参观者人数为（0.004+0.012）×10×50＝8人，
因为0.004：0.012＝1：3，所以在[40，50）中人数有2人，在[50，60）中人数有6人，
故随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
故；
（3）平均数m＝45×0.04+55×0.12+65×0.14+75×0.24+85×0.28+95×0.18＝76.4，
因为0.04+0.12+0.14＝0.3＜0.5，0.04+0.12+0.14+0.24＝0.54＞0.5，
所以中位数n∈[70，80），所以（n﹣70）×0.024＝0.5﹣0.04﹣0.12﹣0.14＝0.2，
解得n＝78.33，故n＞m．
20．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）判断e0.01与1.01的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）y＝（1﹣a）x
（2）当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；
当a＞0时，x∈（﹣∞，lna），函数单调递减；x∈（lna，+∞），函数单调递增；
（3）e0.01＞1.01，理由见解析．
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；
（2）求出定义域，求导后，分a≤0与a＞0两种情况进行讨论得到函数单调性情况；
（3）构造函数f（x）＝ex﹣x﹣1，比较判断e0.01与1.01的大小关系．
【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣a，所以k＝f′（0）＝1﹣a，
f（0）＝0，所以切点为（0，0），
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝（1﹣a）x．
（2）定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）＝ex﹣a
当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0对x∈R恒成立，
f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令f′（x）＝0，所以ex＝a，x＝lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0，函数单调递减，
x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，
综上所述：当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；
当a＞0时，x∈（﹣∞，lna），函数单调递减；x∈（lna，+∞），函数单调递增；
（3）记g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（0.01）＞g（0），即e0.01﹣0.01﹣1＞e0﹣0﹣1＝0，e0.01＞1.01，
故有：e0.01＞1.01．
21．（15分）正实数构成的集合A＝{a1，a2， ，an}（n≥2），定义A A＝{ai aj|ai，aj∈A，且i≠j}．当集合A A中的元素恰有个数时，称集合A具有性质Ω．
（Ⅰ）判断集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有性质Ω；
（Ⅱ）若集合A具有性质Ω，且A中所有元素能构成等比数列，A A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；
（Ⅲ）若集合A具有性质Ω，且A A中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）A1具有性质Ω；A2不具有性质Ω． （Ⅱ）3．（Ⅲ）4．
【分析】（Ⅰ）按照定义A A判断即可；（Ⅱ）当n≥4时，判断A A中元素个数即可；（Ⅲ）因为ai＞0（i＝1，2， ，n），不妨设a1＜a2＜a3＜ ＜an﹣1＜an，对n分类讨论A A中元素个数即可．
【解答】解：（Ⅰ）A1 A1＝{2，4，8}，A2 A2＝{2，4，8，16，32}，
则A1具有性质Ω；A2不具有性质Ω．
（Ⅱ）当A中的元素个数n≥4时，
不妨设元素依次为a1，a2， ，an构成等比数列，则a1an＝a2an﹣1，
其中a1，a2，an﹣1，an互不相同．
这与A具有性质Ω，A A中恰有个元素矛盾，
即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同矛盾．
当A中的元素个数恰有3个时，取A＝{1，2，4}时满足条件，
所以集合A中的元素个数最大值为3．
（Ⅲ）ai＞0（i＝1，2， ，n），不妨设a1＜a2＜a3＜ ＜an﹣1＜an，
所以a1a2＜a1a3＜ ＜an﹣2an＜an﹣1an．
（1）当n＞5时，a1a2，a1a3， ，an﹣2an，an﹣1an构成等比数列，
所以，即a2an﹣1＝a3an﹣2，其中a2，an﹣1，a3，an﹣2互不相同．
这与A A中恰有个元素，
即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾．
（2）当n＝5时，a1a2，a1a3， ，a3a5，a4a5构成等比数列，第3项是a2a3或a1a4．
①若第3项是a2a3，则，即，
即，所以a2a3＝a1a4，与题意矛盾．
②若第3项是a1a4，则，即，
即，所以a2，a3，a4成等比数列，设公比为q，
则A A中等比数列的前三项为：
a1a2，a1a3，a1a4，其公比为q，第四项为，第十项为．
（ⅰ）若第四项为a2a3，则，即a2 ＝a1 q3，得，
又，即a5 ＝a1 q9，得，
此时A中依次为，显然a1a5＝a3a4，不合题意．
（ⅱ）若第四项为a1a5，则，得，又，得，
此时A中依次为，显然a2a5＝a3a4，不合题意．
因此，n≤4．取A＝{1，2，4，16}满足条件．
所以A中的元素个数最大值是4．2022-2023学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）在等差数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝2（n≥2），则a6＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．（4分）已知，那么P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n个图案中黑色与白色三角形的个数之和为an，数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1（n≥1），那么下面各数中是数列{an}中的项的是（ ）
A．121 B．122 C．123 D．124
4．（4分）已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V（r）随着气球半径r的增大而增大．当半径r＝1时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ）
A． B．2π C．4π D．8π
6．（4分）某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为（ ）
A地至B地高铁列车时刻表
车次 发车时间 到站时间
G87 07：00 08：01
G91 07：55 08：56
G93 09：00 10：01
B地至C地高铁列车时刻表
车次 发车时间 到站时间
G2811 08：25 10：31
G653 09：24 11：13
G501 10：26 12：30
A．9 B．6 C．4 D．3
7．（4分）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量X～N（μ，σ2），可以证明，对给定的k∈N*，P（μ﹣kσ≤X≤μ+kσ）是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩ξ基本服从正态分布ξ～N（105，102）．若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在（105，125）的考生人数大约为（ ）
A．341 B．477 C．498 D．683
8．（4分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．若S3＝7，S6＝63，则q＝（ ）
A． B． C．2 D．8
9．（4分）2023年5月18日至19日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行．峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A，B，C，D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．45种
10．（4分）设函数给出下列四个结论：
①当a＜0时，函数f（x）有三个极值点；
②当0＜a＜1时，函数f（x）有三个极值点；
③ a∈R，x＝2是函数f（x）的极小值点；
④ a∈R，不是函数f（x）的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）的展开式中的常数项是： ．（请用数字作答）
12．（5分）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ．
13．（5分）已知函数f（x）＝xe﹣x+1在区间[0，m]上单调递增，则m的最大值为 ．
14．（5分）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（0＜p＜1）．现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为f（p），则f（p）＝ ；函数f（p）取最大值时，p＝ ．
15．（5分）设n是正整数，且n≥2，数列{ak}，{bk}满足：a1＝a（a＞0），，，数列{bk}的前k项和为Sk．给出下列四个结论：①数列{ak}为单调递增数列，且各项均为正数；②数列{bk}为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，k∈{1，2， ，n﹣1}，；④对任意正整数k∈{1，2， ，n}，Sk＜1．其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣3，1]上的最值．
17．（13分）如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图．
注：年份代码1﹣9分别对应年份2014﹣2022．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）．
参考数据：．
参考公式：相关系数．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
18．（14分）数列{an}的前n项和为Sn，其中n∈N*，a1＝1．从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求b1+b2+b3+ +bn．
条件①：an+1＝an+2；条件②：2an+1＝an+an+2；条件③：．
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分．
19．（14分）2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图频率分布直方图．
（1）求图中的a的值；
（2）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在[50，60）中的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（直接写出结果）
20．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）判断e0.01与1.01的大小关系，并说明理由．
21．（15分）正实数构成的集合A＝{a1，a2， ，an}（n≥2），定义A A＝{ai aj|ai，aj∈A，且i≠j}．当集合A A中的元素恰有个数时，称集合A具有性质Ω．
（Ⅰ）判断集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有性质Ω；
（Ⅱ）若集合A具有性质Ω，且A中所有元素能构成等比数列，A A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；
（Ⅲ）若集合A具有性质Ω，且A A中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
