【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常用的逻辑用语教案 苏教版选修2-1

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一章 常用的逻辑用语
1．1命题及其关系
1．1.1　四种命题
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
2．过程与方法
通过学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析问题和解决问题的能力．
●重点难点
重点：(1)会写四种命题并会判断命题的真假；(2)四种命题之间的相互关系．
难点：(1)命题的否定与否命题的区别；(2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；(3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
教学时，应从回顾命题的相关知识入手，以命 ( http: / / www.21cnjy.com )题的结构为切入点，结合具体的实例，总结出四种命题的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握四种命题的写法及真假的判断方法，并且体会四种命题间的关系，从而突出教学的重点；对于命题的否定与否命题，要结合具体的实例，进行区别，分析它们结构的区别，辨析其真假，从而化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课作为数学的工具课程，安排在选修教材的 ( http: / / www.21cnjy.com )开篇，是非常合适的，首先之前通过必修课的学习，学生已经具备大量的数学基本素材，有例可举；其次，学习本章内容，又可为学习后续课程提供新的逻辑思维方式，因此本章内容承前启后，作用极大．本节课作为概念理论课，学习时切忌抽象，从认识的角度出发，由具体到抽象，由特殊到一般，通过具体实例抽象出相关逻辑概念，由一般到具体，由相关概念及理论指导学生进行四种命题的互求及真假性的判断．
●教学流程
回顾初中有关命题的概念，判断命题真假． 通过具体实例抽象出四种命题的定义，理清四种命题条件与结论间的关系，辨析命题的否定与否命题的区别． 展示题板，由实例得出四种命题间的关系，抽象出逆否命题的概念，并得出互为逆否命题间的真假关系． 通过例1及变式训练，使学生掌握命题的判断方法，以及其真假的判别方法． 通过例2及变式训练，使学生掌握四种命题的互求，以及它们真假性判断的方法． 通过例3及变式训练，使学生掌握命题的真假性的应用，即由它们的真假性求字母参数的取值范围． 通过易错易误辨析，体会带有大前提命题的否命题的写法，杜绝错误的写法． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识． 完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义．(重点)2．会分析四种命题的相互关系．(难点)3．逆命题、否命题及逆否命题的写法及真假性的判定．(易错点)
命题
【问题导思】　
观察下列语句：
①两个全等的三角形面积相等；
②y＝2x是一个增函数；
③请把门关上；
④y＝tan x的定义域为全体实数吗？
⑤若x>2012，则x>2013.
1．上述哪几个语句能判断真假？
【提示】　①②⑤
2．语句⑤的条件和结论分别是什么？
【提示】　条件为“x>2012”，结论为“x>2013”．
命题定义：能够判断真假的语句形式：若p则q，其中p是命题的条件，
q是命题的结论分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句
四种命题
【问题导思】　
观察下列四个命题：
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1．命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
【提示】　命题(1)的条件是命题(2)的结 ( http: / / www.21cnjy.com )论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)、(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)、(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．21*cnjy*com
2．命题(1)(4)的真假性相同吗？命题(2)(3)的真假性相同吗？
【提示】　命题(1)(4)同为真，命题(2)(3)同为假．
1．四种命题的概念
一般地，设“若p则q”为原 ( http: / / www.21cnjy.com )命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题，原命题与逆命题称为互逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，原命题和否命题称为互否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题，原命题与逆否命题称为互为逆否命题．
2．四种命题之间的关系
3．四种命题的真假性
一般地，互为逆否命题的两个命题，要很都是真命题，要么都是假命题．
命题的概念及真假判断
　判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)空集是任何集合的真子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)对顶角不相等；
(5)6>3；
(6)x>3.
【思路探究】　
能否判定真假→结论
【自主解答】　(1)能判断真假，是真命题；
(2)能判断真假，是假命题；
(3)不是命题；
(4)能判断真假，是假命题；
(5)能判断真假，是真命题；
(6)不能判断真假，不是命题．
1．判断语句是否为命题的标准是能否判断其真假，是否符合已学过的公理、定理、公式等，一般情况下疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
2．假命题也是命题，往往有人错误地认为不是命题．
下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
①是无限循环小数；
②x2－3x＋2＝0；
③当x＝4时，2x>0；
④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
⑤把门关上．
【解】　①是命题，能判断真假.是无理数，此命题为假命题．
②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．
③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．
④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．
⑤不是命题，没有作出判断．
四种命题的形式及真假性判断
　写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：
(1)正偶数不是素数；
(2)已知a，b，c∈R，若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
【思路探究】　
将原命题改写成若p则q的形式→依照定义写出另外三种命题→判断真假
【自主解答】　(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；
逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；
逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．
(2)由方程根的判别式与0的大小关系，可知原命题是真命题．
逆命题：已知a，b，c∈R，若ax2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0，是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝2，但此时ac＝2>0.21·cn·jy·com
否命题：已知a，b，c∈R，若ac ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实数根或只有一个根，是假命题．这是因为逆命题是假命题，否命题和逆命题互为逆否命题，具有相同的真假性．
逆否命题：已知a，b，c∈R，若a ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c＝0没有实数根或只有一个根，则ac≥0，是真命题．因为原命题是真命题，逆否命题与原命题同真假．www-2-1-cnjy-com
1．对于题(1)这样的命题，条件与结论不明显 ( http: / / www.21cnjy.com )，需将原命题改写成“若p则q”的形式，必要时可以加入字母或文字．注意命题形式的改变并不改变命题的真假性，只是表述形式上发生了变化．
2．对于四种命题的真假性判断，其方法有两个：①借助相应的定义、定理、公式等直接判断；②借助其逆否命题进行判断．
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：
(1)如果一个四边形是平行四边形，则它的两组对边互相平行；
(2)负数的平方是正数．
【解】　 (1)原命题：平行四边形的两组对边互相平行，显然是真命题．
逆命题：如果一个四边形的两组对边互相平行，则它是平行四边形，是真命题．
否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的两组对边不互相平行，是真命题．
逆否命题：如果一个四边形的两组对边不互相平行，则它不是平行四边形，是真命题．
(2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数，是真命题．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数，是假命题．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数，是假命题．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数，是真命题．
根据命题的真假求参数的取值范围
　已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝ ”是假命题，求实数m的取值范围．2·1·c·n·j·y
【思路探究】　
A∩B＝ 假 A∩B≠
)→取
交
集
【自主解答】　因为“A∩B＝ ”是假命题，所以A∩B≠ .
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝{m|m≤－1或m≥}．
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有
m≥.
又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
1．本题若从正面分析，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )要使Δ≥0，然后分两个负根，一正根一负根，两种情况求并集再与Δ≥0求交集，这样解题十分繁琐，故采用“正难则反”思想简化解题过程．
2．利用命题的真假求参数的取值范围，应注意转化思想的应用，即根据所给的真或(假)命题，转化为相应的数学问题进行求解．21教育网
已知命题P：lg(x2－2x－2)≥0；命题Q：1－x＋<1，若命题P是真命题，命题Q是假命题，求实数x的取值范围．
【解】　由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋<1，得x2－4x<0，解得0因为命题P为真命题，命题Q为假命题，
所以，解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞).
忽略大前提而致错
　将命题“a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p则q”的形式，并写出其否命题．
【错解】　“若p则q”的形式：若a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b的值随x的不增大而不增大．
【错因分析】　原命题有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是大前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，都要把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件．错解中对否命题的写法，把“a>0”和“x增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当a＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义，应在不改变函数性质的前提下完成解答．
【防范措施】　(1)有大前提的命题，改 ( http: / / www.21cnjy.com )写成“若p则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p则q”，而不能为“若大前提且p，则q”或“若大前提或p，则q”．
(2)对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．
【正解】　“若p则q”的形式：当a>0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也随着增大；
否命题：当a>0时，若x不增大，则函数y＝ax＋b的值也不增大．
1．已知原命题，写出它的逆命题、否命题 ( http: / / www.21cnjy.com )及逆否命题是本节的重点内容，求解本类题目时，首先应将原命题改写为“若p则q”的形式，弄清条件与结论，并注意命题的大前提与条件的关系．
2．四种命题的真假性判断，由于互为逆否命题的两个命题同真假，因此只需判断两个互否命题的真假性即可．
1．下列语句是命题的是________．
(1)若a>b，则a2>b2；
(2)a2>b2；
(3)方程x2－x－1＝0的近似根；
(4)方程x2－x－1＝0有根吗？
【解析】　(2)、(3)无法判断真假；(4)是疑问句，不是陈述句，不能判断真假，故(2)、(3)、(4)不是命题．
【答案】　(1)
2．(2013·肇庆高二检测)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
【解析】　原命题与逆否命题为真命题，逆命题及否命题为假命题．
【答案】　2
3．(2012·湖南高考改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________．
①若α≠，则tan α≠1；②若α＝，则tan α≠1；③若tan α≠1，则α≠；④若tan α≠1，则α＝.
【解析】　命题“若α＝，则tan α＝1”的条件是“α＝”，结论是“tan α＝1”，故其逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
【答案】　③
4．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若x＜0，则x2＞0.
【解】　(1)逆命题：若a＝b，则|a|＝|b|，它为真命题；
否命题：若|a|≠|b|，则a≠b，它为真命题；
逆否命题：若a≠b，则|a|≠|b|，它为假命题．
(2)逆命题：若x2＞0，则x＜0，它为假命题；
否命题：若x≥0，则x2≤0，它为假命题；
逆否命题：若x2≤0，则x≥0，它为真命题.
一、填空题
1．下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④实数的平方是非负数．
其中真命题的序号是________．
【解析】　①④均正确，②③均错误．
【答案】　①④
2．(2013·漳州高二检测)命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．
【解析】　条件：x2<1，结论：－1【答案】　若x≤－1或x≥1，则x2≥1
3．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．
【解析】　逆否命题为：若x2－1＝0则x＝1，显然为假命题．
【答案】　假
4．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．
【解析】　逆命题的条件和结论是它的原命题的结论和条件．
【答案】　若|a|＝|b|，则a＝－b
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
【解析】　原命题的条件是“a＋b＋c＝3”，结论是“a2＋b2＋c2≥3”，
所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．
【答案】　若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
6．有下列四个命题：
①“已知函数y＝f(x)，x∈D，若D关于原点对称，则函数y＝f(x)，x∈D为奇函数”的逆命题；
②“对应边平行的两角相等”的否命题；
③“若a≠0，则方程ax＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则B≠A”的逆否命题．
其中的真命题是________．
【解析】　①的逆命题为：若y＝f(x)，x∈D为奇函数，则D关于原点对称，为真命题．
②的否命题为：若两个角的对应边不平行，则两角不相等，为假命题．
③的逆否命题为：若ax＋b＝0无实根，则a＝0，为真命题．
④的逆否命题为：若B＝A，则A∪B≠B，为假命题．
【答案】　①③
7．命题“若a，b是奇数，则a＋b是偶数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中，真命题个数为________．【版权所有：21教育】
【解析】　因为原命题是真命题，而逆 ( http: / / www.21cnjy.com )命题“若a＋b是偶数，则a，b都是奇数”是假命题，所以逆否命题是真命题，否命题是假命题，所以，真命题的个数是2.
【答案】　2
8．(2013·杭州高二检测)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．
若函数f(x)＝log2x的图象与g(x ( http: / / www.21cnjy.com ))的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．
【解析】　可考虑关于x轴、y轴、直线y＝x、原点对称等几种情形之一．
【答案】　(1)x轴，－log2x；(2)y轴，log2(－x)；(3)直线y＝x,2x；(4)原点，－log2(－x)
二、解答题
9．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断命题的真假：
(1)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数；
(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数；
(3)函数y＝2x＋1为增函数．
【解】　(1)条件p：x＋y是有理数，结论q：x，y都是有理数，是假命题．
(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数，是假命题．
(3)将命题“函数y＝2x＋1为增函 ( http: / / www.21cnjy.com )数”改写为“若p则q”的形式为“若一个函数为y＝2x＋1，则这个函数为增函数”．则条件p：一个函数为y＝2x＋1，结论q：这个函数为增函数，是真命题．
10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
【解】　(1)逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等，是真命题．
否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角不相等，是真命题．
逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边不相等，是真命题．
(2)原命题：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称，是真命题．
逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数，是真命题．
否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象关于原点不对称，是真命题．
逆否命题：若一个函数的图象关于原点不对称，则这个函数不是奇函数，是真命题．
(3)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d，是假命题．
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b、c与d不都相等，则a＋c≠b＋d，是假命题．
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b、c与d不都相等，是真命题．
11．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【解】　原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题.
(教师用书独具)
主人邀请张三、李四、王五三人吃饭聊天， ( http: / / www.21cnjy.com )时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能来了，”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来，”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“哎哟，不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．21cnjy.com
请你用逻辑与命题的原理解释二人离去的原因．
【思路探究】　利用主人说的两个命题的逆否命题来说明原因．
【自主解答】　张三走的原因：“ ( http: / / www.21cnjy.com )该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因：“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”，李四觉得自己是应该走的．
1．这是一个老笑话，是说主人不会说话，不过在这个故事中却蕴含着逻辑思想，通过这样的题目，可以激发同学们学习数学的兴趣．www.21-cn-jy.com
2．利用逆否命题的等价性还可以证明数学命题即反证法．
证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
【证明】　该命题的逆否命题为：若p＋q>2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
∵p＋q>2，∴(p＋q)2>4，∴p2＋q2>2.
即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立．
∴如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
1.1.2　充分条件和必要条件
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
正确理解充分条件、必要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
2．过程与方法
通过对充分条件、必要条件的概念的理解与应用，培养学生的分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及良好的思维品质，在练习过程中进行辨证唯物主义思想教育．
●重点难点
重点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．
难点：充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究．
教学时，应以回顾命题的结构入手，结合具 ( http: / / www.21cnjy.com )体的实例，归纳出必要条件、充分条件、充要条件的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握判定条件充要性的方法，强调利用推出符号得出条件之间的充要关系，在此基础上进一步探讨充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究方法，突出教学的重点，化解教学的难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是四种命题的延伸和深化，首先应以上节 ( http: / / www.21cnjy.com )课学习的命题知识为基础，进行理论铺垫，通过具体的命题，得出充分条件、必要条件、充要条件的定义，进而探究充要性的判断方法，以及充分条件、必要条件、充要条件的探究方法，培养学生发散性思维能力．在学习的过程中，要多举实例，类型要全，设计知识面要广泛，使学生利用新的逻辑思维方式理解以前各章节学习的概念、定理及性质．
●教学流程
回顾提问四种命题的构成、真假 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，举例回答． 通过具体实例抽象出充分条件、必要条件的定义，归纳出充分条件、必要条件的判定方法． 通过具体实例抽象出充要条件的定义，归纳出充要条件的判定方法，进而总结条件关系的分类，辨析充分条件与充要条件的关系． 通过例1及变式训练，使学生掌握条件充要性的判断方法及步骤，并提醒学生注意判别时的常犯错误． 通过例2及变式训练，使学生掌握多个命题间充要关系的判断方法，即用推出符号画出多个命题间的关系，找出通路，并且注意是否可逆． 通过例3及变式训练，使学生掌握命题的条件充要性的应用，即由它们的充要性求字母参数的取值范围． 通过易错易误辨析，体会探求充分条件、必要条件、充要条件时不要把题意弄反，充分条件与必要条件不可颠倒． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识． 完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．
课标解读 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(重点)2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(难点)3．会求或证明命题的充要条件．(易错点)
符号“ ”与“”的含义
【问题导思】　
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题．
1．若x>a2＋b2，能推出x>2ab吗？
【提示】　能．
2．若ab＝0，能推出a＝0吗？
【提示】　不能．
一般地，命题“若p则q”为真，记作“p q”；“若p则q”为假，记作“pq”．
充分条件、必要条件、充要条件的含义
【问题导思】　
判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．
【提示】　“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件．
两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然A?B.
1．一般地，如果“p q”，那么称p是 ( http: / / www.21cnjy.com )q的充分条件，同时称q是p的必要条件；如果“p q”，且“q p”，那么称p是q的充分必要条件，简记为p是q的充要条件，记作p q.
2．如果“p q”，且“qp”，那么称p是q的充分不必要条件．
3．如果“pq”，且“q p”，那么称p是q的必要不充分条件．
4．如果“pD /q”，且“qD /p”，那么称p是q的既不充分又不必要条件.
充分条件、必要条件、充要条件
　指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)：
(1)p：λa＝0，q：λ＝0或a＝0(其中，λ是实数，a是向量)；
(2)p：x＝a，q：|x|＝|a|；
(3)p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
【思路探究】　
结合充要
条件定义结论判断p q？判断q p
【自主解答】　(1)因为λa＝0 λ＝0或a＝0，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝a |x|＝|a|，|x|＝|a| x＝a，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为四边形是正方形 四边形是矩形，四边形是矩形四边形是正方形，所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分又不必要条件．
1．判断p是q的充分条件还是必要条件，即 ( http: / / www.21cnjy.com )对命题“若p则q”“若q则p”进行真假判断，即确定p与q之间有怎样的推式成立，注意命题的真假对应的推式．
2．判断p是q的什么条件，不能只看p q是否成立，还要检验q p是否成立．
下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|.
【解】　(1)因为能被6整除的数一定能被3整除，所以p q，但能被3整除的数不一定能被6整除，如9，所以qp，所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为三角形中若有两个角相等，则一定是等腰三角形．反之，等腰三角形中一定有两个角相等，所以p q，即p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a≠b.
而|a＋b|<|a|＋|b|必须满足a，b异号，
即pq，同时q p，所以p是q的必要不充分条件．
充分条件、必要条件、充要条件
　　的探求
　若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？
【思路探究】　题设中给出的信息较多，而且还有 ( http: / / www.21cnjy.com )一些干扰信息，因此要想从中找出s与p的关系并不容易，可考虑将文字语言翻译成符号语言，使它们之间的关系一目了然，便于找到答案．
【自主解答】　p，q，r，s之间的关系如图所示，由图可知p s，但sp，故s是p的必要不充分条件．
1．当题目中涉及到多个命题时，判断其充要性时，一般可采用“ ”链接成图，寻求“通路”．
2．用图形来反映条件之间的关系有三个地方易出错：
(1)翻译不准确，(2)标注箭头有误，(3)读图错误．因此解决此类问题时，一定要细心，避免弄巧成拙．
如果p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，那么下列说法正确的是________．
①r是p的充分不必要条件；
②r是p的必要不充分条件；
③r是p的充要条件；
④r是p的既不充分又不必要条件．
【解析】　由题意可得，故r是p的充分不必要条件．
【答案】　①
充分条件、必要条件、充要条件
　　的应用
　已知条件p：{x|x<或x>(a≥0)}，条件q：>0，试选取适当的实数a的值，使p是q的充分条件．
【思路探究】　
p q→转化为集合关系→利用数轴→求a范围
【自主解答】　由已知，p是q成立的充分条件，则集合p是集合q的子集．
∵2x2－3x＋1>0，∴q：{x|x<或x>1}．
∴∴a≥4.
∴a的取值范围是[4，＋∞)．
1．由条件的充要性求字母参数的取值范围，一般转化为集合间的包含关系列等式(或不等式)．
2．作题时，要审清题意，如本例中，p是q的充分条件，有两层含义，即充要和充分不必要，不要片面地当成后者，而列错不等式.
(2013·泉州高二检测)已知p：x ( http: / / www.21cnjy.com )2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解】　由x2－8x－20>0，得x>10或x<－2.
由x2－2x＋1－m2>0，得x>1＋m或x<1－m(m>0)．
∴p：{x|x>10或x<－2}，q：{x|x>1＋m或x<1－m}．
又∵q是p的充分不必要条件，
∴
混淆充分条件与必要条件致误
　使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是________．
①x≥0；②x<0或x>2；
③x∈{－1,3,5}；④x≤－或x≥3.
【错解】　由2x2－5x－3≥0解得x ( http: / / www.21cnjy.com )≥3或x≤－，因为集合{x|x≥3或x≤－}?{x|x>2或x<0}，所以“x<0或x>2”是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．故填②.
【答案】　②
【错因分析】　对于两个条件A，B，如果A ( http: / / www.21cnjy.com ) B成立，则A是B的充分条件(B的充分条件是A)，B是A的必要条件；如果B A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的原因就是颠倒了充分性和必要性．
【防范措施】　在解答问题时务必看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要条件的概念作出准确的判断．
【正解】　由于不等式2x2－5x－ ( http: / / www.21cnjy.com )3≥0的解为x≥3或x≤－，所以只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．故填③.
【答案】　③
1．判断充要条件的步骤：
(1)确定条件p是什么，结论q是什么；
(2)尝试从条件推结论，如果p q，则充分性成立，p是q的充分条件；
(3)再考虑从结论推条件，如果q p，则p是q的必要条件，必要性成立；
(4)下一个完整的结论．
2．多个命题间充要性的判别方法：
(1)审清题意，用“ ”符号将命题链接成图；
(2)在图中寻求两命题间的推出关系，由充要性的定义进行判别．
3．已知充要性求参数(或参数的取值范围)，一般利用转化思想，转化为集合间的关系，进行求解.
1．用“ ”“ ”“ ”填空：
(1)x＝1________x2＝1；
(2)a>b________ac2>bc2；
(3)圆心O到直线l的距离等于半径________直线l与圆O相切．
【解析】　(1)x2＝1 x＝±1.
(2)ac2>bc2 a>b，但a>bac2>bc2，
当c＝0时，ac2＝bc2.
(3)由平面几何知识知填“ ”．
【答案】　(1) 　(2) 　(3)
2．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一种填空：
(1)“a∈N”是“a∈Z”的________；
(2)“x<5”是“x<3”的________；
(3)“同旁内角互补”是“两直线平行”的________．
【解析】　(1)a∈N a∈Z，a∈Na∈Z.
(2)x<5 x<3，x<5x<3.
(3)“同旁内角互补” “两直线平行”．
【答案】　充分不必要条件　必要不充分条件　充要条件
3．(2013·浙江高考改编)若α∈R，则“α＝0”是“sin α【解析】　若α＝0，则sin α＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )，cos α＝1，所以sin α【答案】　充分不必要
4．在△ABC中，设命题p：＝＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的什么条件？
【解】　q p，由△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，A＝B＝C，显然成立．
p q：由三角形的性质可知：
＝＝，
又已知＝＝，
两式相除得：＝＝，令＝＝＝t，
则a＝ct，b＝at，c＝bt，
∴abc＝abct3，得t＝1，
因此a＝b＝c，即△ABC是等边三角形．
因此p是q的充要条件.
一、填空题
1．“x>1”是“|x|>1”的________________条件．
【解析】　|x|>1 x>1或x<－1，∴“x>1” “|x|>1，”但“|x|>1”D /“ x>1”，
故为充分不必要条件．
【答案】　充分不必要
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________条件．
【解析】　∵x≥2且y≥2，∴x2＋y ( http: / / www.21cnjy.com )2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．21教育名师原创作品
【答案】　充分不必要
3．(2013·南通高二检测)已知a，b，c均为实数，b2－4ac<0是ax2＋bx＋c>0恒成立的________条件．
【解析】　b2－4ac<0D /ax2＋bx＋c>0恒成立，
ax2＋bx＋c>0恒成立D /b2－4ac>0.
【答案】　既不充分也不必要
4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的________条件．
【解析】　若a＝1，则N＝{1}，N M；若N M，
则a2＝1或a2＝2，得不出a＝1，∴“a＝1”“N M”．
【答案】　充分不必要
5．设{an}是等比数列，则“a1【解析】　{an}是等比数列，an＝a1·qn－1，由a1a10，q>1或a1<0,0【答案】　充要
6．(2013·陕西高考改编)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件．
【解析】　当|a·b|＝|a||b|时，
若a，b中有零向量，显然a∥b；
若a，b均不为零向量，则
|a·b|＝|a||b||cos?a，b?|＝|a||b|，
∴|cos?a，b?|＝1，
∴?a，b?＝π或0，
∴a∥b，即|a·b|＝|a||b| a∥b.
当a∥b时，?a，b?＝0或π，
∴|a·b|＝||a||b|cos?a，b?|＝|a||b|，
其中，若a，b有零向量也成立，
即a∥b |a·b|＝|a||b|，
综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
【答案】　充分必要
7．(2013·肇庆高二检测)不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2【解析】　(a＋x)(1＋x)<0，由题意知其解集应为{x|－a又∵其充分不必要条件为－2∴－a<－2，∴a>2.
【答案】　(2，＋∞)
8．(2013·南京高二检测)给出下列命题：
①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件；
②“lg a＝lg b”是“a＝b”的必要不充分条件；
③若x，y∈R，则“|x|＝|y|”是“x2＝y2”的充要条件；
④△ABC中，“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【解析】　①a>bD /a2 ( http: / / www.21cnjy.com )>b2，a2>b2D /a>b，应为既不充分也不必要条件；②lg a＝lg b a＝b，但a＝bD /lg a＝lg b，如a＝b＝－2，应为充分不必要条件；④sin A>sin B 2Rsin A>2Rsin B a>b A>B.
【答案】　③④
二、解答题
9．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】　必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0， ( http: / / www.21cnjy.com )∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
10．在直角坐标系中，求点(2x＋3－x2，)在第四象限的充要条件．
【解】　点(2x＋3－x2，)在第四象限
－1＜x＜或2＜x＜3.
∴点(2x＋3－x2，)在第四象限的充要条件是－1＜x＜或2＜x＜3.
11．(2013·淮安高二检测)已知p：－7≤x≤9，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．　　21*cnjy*com
【解】　设A＝{x|－7≤x≤9}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，
∴，且等号不能同时成立．
∴m>8，
即m的取值范围是(8，＋∞).
(教师用书独具)
求证：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.
【思路探究】　解答本题首先应分清条件和结论，再证明充分性和必要性．
【自主解答】　(1)充分性：
若0＜m＜，则Δ＝4－12m＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
设两个不相等的实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝＞0，x1·x2＝>0，
∴x1与x2同号，
∴0＜m＜ 方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：
若方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根，设两根为x1，x2，则
∴0＜m＜，
∴方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)
有两个同号且不相等的实根 0＜m＜.
综上可知：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等实根的充要条件是0＜m＜.
1．本题中“0＜m＜”是条件，“方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根”是结论．
2．证明“充要条件”的一般步骤：
分清条件p，结论q→充分性p q→必要性q p→p q
设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】　①充分性：如果xy≥0，那么有x ( http: / / www.21cnjy.com )y＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，通过推理易知等式成立．当xy>0时，x>0，且y>0或x<0，且y<0.当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|，且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知xy≥0是|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
1．2简单的逻辑联结词
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1) 掌握逻辑联结词“或、且”的含义．
(2) 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题．
(3) 掌握真值表并会应用真值表解决问题．
2．过程与方法
在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．
3．情感、态度与价值观
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
●重点难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容．
难点：
1．正确理解命题“p∧q”，“p∨q”，“綈p”真假的规定和判定．
2．简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“綈p”．
教学时，结合生活中的实例，归纳出“p∧q”“ ( http: / / www.21cnjy.com )p∨q”“綈p”命题的定义，并根据定义，会由简单命题构造含有逻辑联结词的命题，并会由简单命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假．为了突出重点，可借助集合间的韦恩图，也可借助电路中的串并联，数形结合，类比归纳，有利于定义的掌握及真假性的判断规律的探究．【来源：21·世纪·教育·网】
为了化解难点，可通过具体的例子，讲清简单命题 ( http: / / www.21cnjy.com )与含有逻辑联结词的命题间的真假关系，总结出规律，再通过例题，进行判断．举例要视野开阔，多涉及各方面的问题，简单命题的真假情况各异为好．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是命题的深化，内容较为 ( http: / / www.21cnjy.com )抽象，学习时应由具体到抽象，从生活中的一般连词出发，结合集合交并补运算以及电路中的串并联问题进行理论铺垫，教学层次要清晰，环环相扣，层层加深，并通过小组讨论，发表演讲，辩论正误等方式调动学生的思维，
●教学流程
回顾提问命题的真假，举例回答．看图回答电路中的串并联问题． 通过具体实例抽象出“或”、“且”、“非”命题的定义，并归纳出这类复合命题真假的判定方法，同时指出否命题与命题的否定的区别． 通过例1及变式训练，使学生掌握构造含有逻辑联结词的命题的方法及步骤，并提醒学生注意一般联结词与逻辑联结词的区别． 通过例2及变式训练，使学生掌握含有逻辑联结词的命题的真假判断方法，提醒学生注意省略逻辑联结词的复合命题的真假判别方法． 通过例3及变式训练，使学生掌握命题的含有逻辑联结词的命题的真假性的应用，即由它们的真假性求字母参数的取值范围． 通过易错易误辨析，体会一般联结词与逻辑联结词的区别，以及相应命题真假的判别方法． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识． 完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”“且”“非”表示相关的数学内容．(重点)2．“p∨q”，“p∧q”，“綈p”命题的真假判断．(难点)3．綈p与否命题的区别．(易错点)
逻辑联结词及命题的构成形式
【问题导思】　
如图所示，有两种电路图．
甲　　　　　　　　　　　乙
1．甲图中，什么情况下灯亮？
【提示】　开关p闭合且q闭合．
2．乙图中，什么情况下灯亮？
【提示】　开关p闭合或q闭合．
1．逻辑联结词
命题中的“或”、“且”、“非”叫做逻辑联结词．
2．命题的构成形式
(1)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作p或q.
(2)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”，读作p且q.
(3)对一个命题p进行否定，就得到一个新命题，记作“綈p”，读作“非p”或p的否定．
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【问题导思】　
如知识1中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、p∨q的真与假．
1．什么情况下，p∧q为真？
【提示】　当p真，q真时．
2．什么情况下，p∨q为假？
【提示】　当p假，q假时．
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
用逻辑联结词构造命题
　(2013·太原高二检测)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
【思路探究】　理解原命题，按复合命题的结构组成复合命题．
【自主解答】　(1)p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
1．利用逻辑联结词“或”“且”“非”构成新命题，关键是要理解“或”“且”“非”的含义．
2．构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题适当地简化．
指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q.
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)方程x2－3＝0没有有理根；
(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．
【解】　(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．
(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限，q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．
含有逻辑联结词命题的真假
　分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．
【思路探究】　本题考查判断含逻辑 ( http: / / www.21cnjy.com )联结词的命题的真假，解答本题时可先将复合命题分解成简单命题，判断简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假．
【自主解答】　(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(4)∵p是真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
1．解答本题过程中应注意命题“p或q”与“ ( http: / / www.21cnjy.com )p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结命题p与q，而不能用“或”与“且 ”去联结命题p与q中的条件．
2．判断含逻辑联结词的命题的真假步骤：
(1)逐一判断命题p、q的真假．
(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的真假．
写出由下列命题构成的“p且q”“p或q”形式的新命题，并指出其真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．
【解】　(1)p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，假．
p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，真．
(2)p且q：不等式x2＋2x－8<0 ( http: / / www.21cnjy.com )的解集是{x|－42}．p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．∵不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4∴p且q为假，p或q为真．
含有逻辑联结词命题真假性的应用
　已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
【思路探究】　本题考查利用命题的真 ( http: / / www.21cnjy.com )假求参数的取值范围，解答本题可先分别求出p，q中a的取值范围，再由已知p∨q为真，p∧q为假，求出适合条件的a的范围．
【自主解答】　当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；
当a＞1时，
y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，故0＜a＜1.
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
又a＞0，∴0＜a＜或a＞.
∵p∨q为真，∴p，q中至少有一个为真．
又∵p∧q为假，∴p，q中至少有一个为假，
∴p、q中必定一个为真一个为假．
(1)若p真，q假，
即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两不同点，
因此a∈(0,1)∩([，1)∪(1，])，
即a∈[，1)．
(2)若p假，且q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，
因此a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，
即a∈(，＋∞)．
综上可知：a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
1．在利用含有逻辑联结词的命题的真假求字母参数的取值范围时，一般先转化为简单命题的真假．
2．综合应用逻辑联结词求参数范围的一般步骤：
(1)分别求出命题p、q对应的参数集合A、B；
(2)由p或q、p且q的真假讨论p、q的真假；
(3)由p、q的真假转化为相应集合的运算；
(4)综合得到参数的范围．
已知命题p：方程x2＋2ax＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
【解】　命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或
由于 解得0∴0≤a<4.
∵“p或q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，
∴解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].
错误理解逻辑联结词致误
　若命题p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是2，命题q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是1，则命题“方程(x－1)(x－2)＝0的根是2或1”是________命题(填“真”或“假”)．
【错解】　由条件易知命题p与命题q都是假命题，而命题“方程(x－1)(x－2)＝0的根是2或1”为“p∨q”，故是假命题．
【错因分析】　命题“方程(x－1)(x－2)＝0的根是2或1”中的“或”不是逻辑联结词．
【防范措施】　逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者表示“不兼有”．
【正解】　真．
1．一个含有逻辑联结词的命题，从字面上 ( http: / / www.21cnjy.com )不一定有“或”“且”“非”，但也可能隐含这种逻辑关系，应注意仔细分析，认真思考，如“≥”，就是“或”命题．
2．含有逻辑联结词的命题的真假由简 ( http: / / www.21cnjy.com )单命题的真假及逻辑关系确定，真值表体现了真假规律；反过来，由含有逻辑联结词的命题的真假也可判断简单命题的真假，从而求字母参数的取值范围．
3．判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)把含有逻辑联结词的命题写成两个简单命题，并确定含有逻辑联结词的命题的构成形式；
(2)判断简单命题的真假；
(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假，得出结论．
1．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空，并指出命题的真假：
(1)命题“方程＝1没有实根”是________形式，该命题是________．
(2)命题“5是偶数或奇数”是________形式，该命题是________．
(3)命题“中国既是俄罗斯的邻国，也是越南的邻国”是________形式，该命题是________．2-1-c-n-j-y
(4)命题“A(A∪B)”是________形式，该命题是________．
【解析】　(1)非p形式，x为除以外的任何实数都可，故为假命题．
(2)p或q形式，因5是奇数，故为真命题．
(3)p且q形式，为真命题．
(4)非p形式， 为假命题．
【答案】　(1)非p　假命题　(2)p或q　真命题　(3)p且q　真命题　(4)非p　假命题
2．命题p：{2}∈{2,3}，q：{2} {2,3}，则下列对命题的判断，正确的是________(填上所有正确的序号)．
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．
【解析】　p假，q真，故p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假．
【答案】　①④⑤⑥
3．若命题“p∧q”为假，“綈p”为假，则p为________，q为________．
【解析】　∵綈p为假，∴p为真，又∵p∧q为假，∴q为假．
【答案】　真　假
4．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的值．
【解】　p：x≤－2或x≥3，q：x∈Z，
∵綈q假，∴q真，又∵p∧q假，∴p假，
∴，
∴x＝－1,0,1,2.
一、填空题
1．下列有关命题“2 013≥2 012”的说法正确的是________．
①是简单命题；②是“p或q”形式的命题；
③是“p且q”形式的命题；④是“非p”形式的命题．
【解析】　①错，该命题为“或”命题；②正确；③④错误．
【答案】　②
2．命题“两个全等三角形一定相似”的否命题是____________，命题的否定是________．
【解析】　根据否命题既否定条件又否定 ( http: / / www.21cnjy.com )结论知，否命题：不全等的两个三角形不一定相似．因命题的否定只否定结论，所以命题的否定为：全等三角形不一定相似．
【答案】　不全等的两个三角形不一定相似　两个全等三角形不一定相似
3．(2013·扬州高二检测)以下四个命题：
(1)直线a平行于直线b；
(2)直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；
(3)直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；
(4)直线a不平行于直线b.
其中是p∨q形式的命题的序号为________，
p∧q形式的命题的序号为________，
綈p形式的命题的序号为________．
【答案】　(2)、(3)、(4)
4．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为________，命题的否定为________．
【解析】　否命题同时否定条件和结论，命题的否定条件不变，否定结论．
【答案】　若a≥b，则2a≥2b　若a＜b，则2a≥2b
5．(2013·金华高二检测)“p∨q为假命题”是“綈p”为真命题的________条件．
【解析】　∵p∨q为假，∴p假，∴綈p真；反过来，若綈p真则p假，若q真则p∨q为真．
【答案】　充分不必要条件
6．若命题“p或q”与“p且q”中一真一假，则可能是________．
①p真、q假；②p真、q真；③綈p真、q假；④p假、綈q真．
【解析】　∵p或q，p且q中一真一假，∴p且q为假，p或q为真，∴p，q一真一假，∴①可能存在．
【答案】　①
7．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集 ( http: / / www.21cnjy.com )为{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p且q”“p或q”及“綈p”形式的新命题是真命题的是________．
【解析】　命题p是假命题，因为当a＜0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系，所以只有非p是真命题．
【答案】　綈p
8．(2013·银川质检 ( http: / / www.21cnjy.com ))命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是________．
①q∨p为真；②p∧q为真；③綈p为假；④綈q为假．
【解析】　p假，q真，故q∨p真，p∧q假，綈p真，綈q假．
【答案】　①④
二、解答题
9．写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断它们的真假：
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角形互相垂直；
(3)p：8＋7＝16，q：π>3.
【解】　(1)“p或q”：3是9的约数或3是18的约数；
“p且q”：3是9的约数且3是18的约数；
“非p”：3不是9的约数．
因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
(2)“p或q”：矩形的对角线相等或矩形的对角线互相垂直；
“p且q”：矩形的对角线相等且互相垂直；
“非p”：矩形的对角线不相等．
因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．
(3)p或q：8＋7＝16或π>3；
p且q：8＋7＝16且π>3；
非p：8＋7≠16.
因为p假，q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．
10．判断下列命题是“p∨q”“p∧q”“綈p”中哪种形式的命题，并判断真假：
(1)16是自然数且是偶数；
(2)5大于或等于2；
(3)梯形不是平行四边形．
【解】　(1)“p∧q”形式，其中p：16是自然数，q：16是偶数，p为真命题，q为真命题，所以“p∧q”为真命题．
(2)“p∨q”形式，其中p：5大于2，q：5＝2，p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”为真命题．
(3)“綈p”形式：p：梯形是平行四边形，为假命题，所以綈p为真命题．
11．(2013·南京高二检测)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知命题p：函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，命题q：关于x的方程x2－2ax＋4＝0有实数根．若p∧q为真，求实数a的取值范围．
【解】　当p为真命题时，a>1.当q为真命题时，Δ＝4a2－16≥0，
解得a≤－2或a≥2.
因为p∧q为真，
所以p和q都是真命题，
所以实数a的取值范围是[2，＋∞).
(教师用书独具)
写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(2)若m＝－，则关于x的方程x2＋x－m＝0有两个相等的实数根．
【思路探究】　正确理解命题的否定与否命题的概念是解题的关键．
【自主解答】　(1)否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．假命题．
命题的否定：若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数．假命题．
(2)否命题：若m≠－，则关于x的方程x2＋x－m＝0没有两个相等的实数根．真命题．
命题的否定：若m＝－，则关于x的方程x2＋x－m＝0没有两个相等的实数根．假命题．
1．对于命题“若A则B”，其否命题为“若綈A则綈B”，其否定为“若A则綈B”．
2．在否定条件和结论时，应注意副词的变化．
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)5≥3；
(2)10是5的倍数且10是2的倍数．
【解】　(1)命题的否定：5<3.为假命题．
(2)命题的否定：10不是5的倍数或10不是2的倍数．为假命题.
1.3全称量词与存在量词
1．3.1　量词
1．3.2　含有一个量词的命题的否定
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过生活和数学中的 ( http: / / www.21cnjy.com )丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
(2)了解含有量词的全称命题和存在 ( http: / / www.21cnjy.com )性命题的含义，并能用含有量词判断其命题的真假性．使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
●重点难点
重点：理解全称量词与存在量词的意义，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．
难点：全称命题和存在性命题真假的判定，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学时，应从具体的实例入手，归纳 ( http: / / www.21cnjy.com )出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法，从而突出教学重点．对于含有一个量词的命题的否定，是本节课的难点，化解的方法是，由特殊到一般，由具体到抽象，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时，既要否定量词，又要否定结论．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是命题的延伸和深化，首先应分 ( http: / / www.21cnjy.com )析几个全称命题、存在性命题的例子，通过具体的实例，得出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法，进而探究命题真假性的判定方法，对于含有量词的命题的否定，由特殊到一般，由具体到抽象，掌握否定的规律．21·世纪*教育网
●教学流程
通过具体实例归纳出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法． 通过具体实例得出含有一个量词的命题否定的方法，归纳出否定的规律和步骤． 通过例1及变式训练，使学生掌握全称命题和存在性命题的结构及区分方法．对省略量词的命题也要注意辨析是否是全称命题或存在性命题． 通过例2及变式训练，使学生掌握全称命题和存在性命题真假的判别方法．除了利用真值表，还要利用相关章节的知识． 通过例3及变式训练，使学生掌握全称命题和存在性命题的否定的方法和步骤，掌握其否定真假的两个判别方法． 通过易错易误辨析，体会探求含有量词“至少”、“至多”的命题的否定方法．避免因量词的否定错误而导致否定的错误． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识． 完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读 1.了解全称量词与存在量词的意义，能用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)2．能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)3．了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)
全称量词、存在量词与全称命题、存在性命题
【问题导思】　
观察下列语句
(1)对于所有的x∈R，x≤2；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数；
(3)存在一个x∈R，使4x＋2＝10；
(4)至少有一个x∈R，使x能被5和8整除．
1．以上语句是命题吗？
【提示】　都是命题．
2．语句(1)和(2)有什么共同特点？
【提示】　都有对变量x的限定条件：“对所有的x∈R”，“对任意一个x∈Z”．
3．语句(3)、(4)有什么特点？
【提示】　含有对变量x取值的限定条件“存在一个x∈R”，“至少有一个x∈R”．
1．全称量词与全称命题
(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意x”．
(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为： x∈M，p(x)．
2．存在量词和存在性命题
(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“ x”表示“存在x”．
(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为： x∈M，p(x)．
全称命题与存在性命题的否定
【问题导思】　
观察下列命题：
(1)被7整除的整数是奇数；
(2)有的函数是偶函数；
(3)至少有一个三角形没有外接圆．
1．命题(1)的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？
【提示】　不对，命题(1)是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
2．命题(2)的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？
【提示】　不对，应为每一个函数都不是偶函数．
3．判断命题(3)的否定的真假．
【提示】　命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
1．“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M，綈p(x)”．
2．“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M，綈p(x)”.
全称命题与存在性命题的辨析
　判断下列命题是全称命题还是存在性命题：
(1)有一个实数α，使得tan α无意义；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3)直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)在y轴上有截距；
(4)棱锥的底面多边形中有正多边形；
(5)直线x＝2的斜率不存在．
【思路探究】　可先判断命题中的量词特征，再运用全称命题和存在性命题的定义求解．
【自主解答】　(1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题．
(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．
(3)由于直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)表示的是一系列直线，因此该命题是全称命题．
(4)命题用量词表示为：存在一些棱锥，它们的底面多边形是正多边形，因此是存在性命题．
(5)“直线x＝2的斜率不存在”，表明存在一直线x＝2斜率不存在，因此是存在性命题．
1．若命题含有全称量词或存在量词，则该命题的类别容易辨析，如(1)(2)．
2．若一个命题在字面上没有量词出现，但隐含着量词的存在，可将量词补齐后再辨析类别．
判断下列命题是全称命题还是存在性命题：
(1)a>0且a≠1，则对任意x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sin x|；
(4)存在实数x，使得x2＋1<0.
【解】　(1)(2)中含有量词“任意”，是全称命题；
(3)(4)中含有量词“存在”，是存在性命题．
全称命题与存在性命题的真假
　判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
【思路探究】　
命题分类→按各自真假判别方法判别→结论
【自主解答】　(1)真命题．
(2)真命题，如：函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
1．全称命题的真假判断：一般从全称命题为假命题入手，寻找使其为假命题的反例，找不到，再从证明 x∈M，p(x)成立入手判定其为真命题．
2．存在性命题的真假判断： ( http: / / www.21cnjy.com )一般从存在性命题为真命题入手，寻找使其为真命题的特例，找不到，再从证明 x∈M，p(x)不成立入手判定其为假命题．
(2013·东城高二检测)下列命题中，真命题的序号是________．
① x∈R，－x2－1<0；② x∈R，x2＋x＝－1；
③ x∈R，x2－x＋>0；④ x∈R，x2＋2x＋2<0.
【解析】　①为全称命题．∵x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋1>0恒成立，∴－x2－1<0恒成立，为真命题；②中，x2＋x＋1＝0即(x＋)2＋＝0恒不成立，为假命题；③中，x2－x＋＝(x－)2≥0当x＝时，等号成立，假命题；④中，(x＋1)2＋1<0为假命题．
【答案】　①
全称命题、存在性命题的否定
　分别写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数．
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
(4) x∈R，x2＋2x＋5>0.
【思路探究】　
命题分类→改变量词→否定结论→判断真假
【自主解答】　(1)是存在性命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根．
∵Δ＝4＋4m<0，即m<－1时，一元二次方程没有实根，
∴其否定是真命题．
(4)是存在性命题，其否定为： x∈R，x2＋2x＋5≤0.
∵Δ＝4－20＝－16<0，
∴x2＋2x＋5恒大于0.
∴ x∈R，x2＋2x＋5≤0为假命题．
1．命题p的否定为“非p”，二者真假性相反，即若p为真(假)，则“非p”为假(真)．
2．常见关键词的否定：
关键词 是 > < 都是 所有 有的 至少有n个
词语的否定 不是 ≤ ≥ 不都是 有一个 任意 至多有n－1个
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，都有|x|＝x；
(2)p： x∈R，x3>x2；
(3)p：至少有一个二次函数没有零点；
(4)p：存在一个角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1.
【解】　(1)p是全称命题．
綈p： x∈R，有|x|≠x，如x＝－1，|－1|＝1≠－1，
所以綈p是真命题．
(2)p是全称命题．
綈p： x∈R，x3≤x2，如x＝－1时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，
即(－1)3≤(－1)2，所以綈p是真命题．
(3)p是存在性命题．
綈p：所有二次函数都有零点，
如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0.
x∈R，y＝x2＋2x＋3≠0.
所以p是真命题，因此綈p是假命题．
(4)p是存在性命题．
綈p： α∈R，sin2α＋cos2α＝1，
设任意角α终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x，显然有sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1，
所以綈p是真命题．
　写出下列命题的否定．
(1)p：平面内凸多边形的内角至多有三个锐角；
(2)p：三角形中至少有一个内角不小于60°.
【错解】　(1)綈p：平面内凸多边形的内角至少有三个锐角．
(2)綈p：三角形中至少有一个内角小于60°.
【错因分析】　错解的主要原因是不能正确认识“至少”与“至多”的区别．
【防范措施】　对于一些含有“至多”“至少”等 ( http: / / www.21cnjy.com )量词的命题的否定，由于不能正确认识“至少”与“至多”的区别而导致错误．一般地，“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”；“至少有n个”的否定为“至多有n－1个”．另外，“至少有一个”所表达的含义重在“有”，即“存在”之义，其否定应该为“没有”或“不存在”．
【正解】　(1)綈p：存在平面内凸多边形，它的内角至少有四个是锐角．
(2)綈p：存在三角形，它的内角都小于60°.
1．判断全称命题与存在性命题的真假，首先应分清命题的类别，然后判断真假，全称命题一假则假，都真才真；存在性命题，一真则真，都假才假．
2．含有一个量词的命题的否定，应注意两个变化：(1)量词的变化，全称量词与存在量词互换；(2)结论的变化，p(x)变为綈p(x)．
3．利用全称命题与存在性命题互为否定的关系，可以帮助我们间接判断一些命题的真假：
若一个全称命题是真命题，则它的否定即存在性命题一定是假命题；
若一个全称命题是假命题，则它的否定即存在性命题一定是真命题；
若一个存在性命题是真命题，则它的否定即全称命题一定是假命题；
若一个存在性命题是假命题，则它的否定即全称命题一定是真命题.
1．下列命题中，是全称命题的为________，是存在性命题的为________．
①不论m取什么实数，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实根；
②对于所有的实数x，都有x2>0；
③存在一个平行四边形，它的两条对角线长相等．
【解析】　②显然为全称命题，③为存在性命题，①可写出 m∈R，x2＋x－m＝0有实根，也为全称命题．
【答案】　①②　③
2．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
【解析】　存在性命题，用“ ”符号．
【答案】　 x<0，(1＋x)(1－9x)>0
3．(2013·重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．
【解析】　因为“ x∈M，p(x)” ( http: / / www.21cnjy.com )的否定是“ x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”．
【答案】　存在x0∈R，使得x<0
4．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：有的正方形是矩形；
(2)r： x∈R，x2－x＋2>0；
(3)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解】　(1)綈p：任意正方形都不是矩形．假命题．
(2)綈r： x∈R，x2－x＋2≤0.假命题．
(3)綈s： x∈R，x3＋1≠0.假命题.
一、填空题
1．下列命题中，是正确的全称命题的是________．
(1)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；
(2)菱形的两条对角线相等；
(3) x∈R，＝x；
(4)对数函数在定义域上是单调函数．
【解析】　(1)(2)(4)为全称命题，(1)中，(a－1)2＋(b－1)2≥0，原命题假．
(2)菱形的对角线相互垂直，原命题假．(4)y＝logax当a>1时为增函数，当0【答案】　(4)
2．下列命题中含有存在量词的是________．
①所有正方形都是矩形；
②每一个有理数都能写成分数的形式；
③有些三角形是直角三角形；
④一切三角形的内角和都等于180°；
⑤存在一个实数x，使得x2＋x－1＝0.
【解析】　③⑤中的量词为“有些”“存在一个”均为存在量词．
【答案】　③⑤
3．下列命题中假命题有________个．
① x∈R＋，＋1≥x；
②存在既是奇函数又是偶函数的函数；
③ x∈R，x2－2x－3＝0；
④所有正方形都是菱形；
⑤ x∈R，|x|≥x.
【解析】　②③④⑤为真命题，①为假命题．
【答案】　1
4．(2013·淮安高二检测)命题“ x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________．
【解析】　否定量词，否定结论．
【答案】　 x∈R，x2＋x＋1>0
5．命题“ x∈R，x2＋1>0”的否定是________．
【解析】　全称命题的否定为存在性命题．
【答案】　 x∈R，x2＋1≤0
6．(2013·启东高二检测)有四个关于三角函数的命题：
p1： x∈R，sin2＋cos2＝；
p2： x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3： x∈[0，π], ＝sin x；
p4：sin x＝cos y x＋y＝.
其中的假命题是________．
【解析】　p1： x∈R，sin2＋cos2＝是假命题；p2是真命题，如x＝y＝0时成立；p3是真命题，
∵ x∈[0，π]，si ( http: / / www.21cnjy.com )n x≥0，∴＝＝|sin x|＝sin x；p4是假命题，如x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠.
【答案】　p1　p4
7．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是________．
① x∈R，ax2－bx≥ax－bx0；
② x∈R，ax2－bx≤ax－bx0；
③ x∈R，ax2－bx≥ax－bx0；
④ x∈R，ax2－bx≤ax－bx0.
【解析】　x0是方程ax＝b的解 x＝x0是f(x)＝ax2－bx的对称轴 x∈R，ax2－bx≥ax－bx0(a>0)．
【答案】　③
8．(2013·无锡高二 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)已知命题p：任意“x∈[0,1]，a ≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题p 为真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】　因p为真命题，故当x∈[0 ( http: / / www.21cnjy.com ),1]时，ex∈[1，e]，∴a≥e；又q为假命题，∴Δ＝16－4a<0即a>4.综上，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围是(4，＋∞)．
【答案】　(4，＋∞)
二、解答题
9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：
(1)有的实数是无限不循环小数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)每一个四边形的四个顶点共圆；
(4)有的梯形对角线相等．
【解】　(1)存在性命题，如就是无限不循环小数．
∴(1)是真命题．
(2)全称命题，－4无算术平方根，∴(2)是假命题．
(3)全称命题，∵只有对角互补的四边形四个顶点才共圆，∴(3)是假命题．
(4)存在性命题，有的梯形如等腰梯形的对角线相等，
∴(4)是真命题．
10．写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2＋1<0；
(4) x，y∈Z，使得x＋y＝3.
【解】　(1)命题的否定是：“不存在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．【出处：21教育名师】
(3)命题的否定是：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“ x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．
(4)命题的否定是：“ x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
11．(2013·常州四星级中学联考)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知命题p：“ x∈[1,2]，x2－x－a≥0”与命题q：“ x∈R，x2＋2ax＋8－2a≤0”，若p或q真，p且q假，求实数a的取值范围．
【解】　命题p：对x∈[1,2]，a≤ ( http: / / www.21cnjy.com )(x2－x)min，即a≤－.命题q：(2a)2－4(8－2a)≥0，即a≤－4或a≥2，p或q真，p且q假，有两种情况：“p真q假”和“p假q真”．
若“p真q假”即 －4若“p假q真”即 a≥2.
综上：满足条件的实数a的取值范围是(－4，－]∪[2，＋∞).
(教师用书独具)
(1)若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式x2－ax－a≤0的解集不是空集，求实数a的取值范围．
【思路探究】　
【自主解答】　法一　判别式法
(1)设f(x)＝x2－ax－a，
则关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，
即f(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立 Δ＝a2＋4a<0，解得－4(2)关于x的不等式x2－ax－a≤0的解集不是空集，
即x2－ax－a≤0有解，只要Δ＝a2＋4a≥0，
解得a≤－4或a≥0.
法二　函数的最值法
(1)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞) f(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立 f(x)min>0，21世纪教育网版权所有
即f(x)min＝－>0，解得－4(2)设f(x)＝x2－ax－ ( http: / / www.21cnjy.com )a，则关于x的不等式x2－ax－a≤0的解集不是空集 f(x)≤0在(－∞，＋∞)上能成立 f(x)min≤0，即f(x)min＝－≤0，
即a2＋4a≥0，解得a≤－4或a≥0.
1．对于一元二次不等式的解法以及不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式“恒成立”和“能成立”问题，可以结合全称命题和存在性命题的意义，转化为“三个二次”的相互关系，运用一元二次方程的根的判别式以及函数的最值加以解决．
2．求解问题的过程中，要注意等价转化，否则将导致错误．
已知命题“ x∈R，ax2－2ax－3≤0”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】　当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；
当a≠0时，借助二次函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a＜0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0.
综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是[－3,0].
四种命题及其关系
1.四种命题的结构
如果用p和q分别表示命题的条件和结论，那么它的四种形式是：
原命题：若p则q；逆命题：若q则p；
否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p.
应注意的是：如果所给命题不是“若p则q”形式 ( http: / / www.21cnjy.com )，首先应改写成“若p则q”形式；如果一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是说大前提不变．
2．四种命题之间的关系
四种命题中有两对互为逆否的命题，分别是原命 ( http: / / www.21cnjy.com )题和逆否命题，否命题和逆命题．由于互为逆否的命题同真假，则四种命题中，真命题的个数只能是0、2、4.
　给出命题：“已知a，b，c，d为实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为________．
【思路点拨】　
判断原命题及逆命题的真假→
由互为逆否的命题真假性相同判断
逆否命题及否命题的真假
【解析】　原命题为假命题．如3≠5,4≠2， ( http: / / www.21cnjy.com )但3＋4＝5＋2.逆命题为“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5，但a＝b＝3.由原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，知逆否命题和否命题都为假命题．
【答案】　0
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断其真假．
(1)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2；
(2)平行于同一直线的两条直线互相平行；
(3)矩形的对角线相等且互相平分；
(4)正偶数不是质数．
【解】　(1)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.(真)
否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.(真)
逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.(假)
(2)逆命题：若两条直线互相平行，则它们平行于同一条直线．(真命题)
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则它们不互相平行．(真命题)
逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不平行于同一条直线．(真命题)
(3)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形．(真命题)
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分．(真命题)
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形．(真命题)
(4)逆命题：如果一个数不是质数，那么这个数是正偶数．(假命题)
否命题：如果一个数不是正偶数，那么这个数是质数．(假命题)
逆否命题：如果一个数是质数，那么这个数不是正偶数．(假命题)
充要条件的判断及应用
充分条件、必要条件的判定问题一 ( http: / / www.21cnjy.com )直是高考的热点，可以说历年来每年必考．这是因为充分条件、必要条件很好地体现了数学上逻辑推理的纯粹性与完备性．另一原因是这一逻辑知识可以和本学科内的任一知识相联系、相结合．
正确理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )，而理解定义的前提是分清命题的条件与结论．对于命题“p q”来说，它可以有四种自然语言描述：(1)p是q的充分条件；(2)q是p的必要条件；(3)q成立的充分条件是p；(4)p成立的必要条件是q.只有深刻理解这四句话，才能做好这一类的题目．
　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：∠A≠30°，q：sin A≠；
(2)p：x＋y≠－2，q：x、y不都是－1.
【思路点拨】　由于p，q所述对象都具有否定性，从正面入手较难，宜用逆否命题等价判断．
【规范解答】　(1)在△ABC中，綈q：sin A＝，綈p：∠A＝30°.
∵在△ABC中，sin A＝，则∠A＝30°或∠A＝150°，
∴綈q綈p，而綈p 綈q，故綈q是綈p的必要不充分条件，从而，p是q的必要不充分条件．
(2)綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1.
∵綈q 綈p，但綈p綈q，故綈q是綈p的充分不必要条件，从而，p是q的充分不必要条件．
若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论中正确的有________．
①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件；
②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件；
③“x∈C”是“x∈A”的充要条件；
④“x∈C”不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件．
【解析】　由A∪B＝C，知A C，B C，故由x∈A，则x∈C，但x∈C，可能有x∈B，但x A，由充分必要条件的定义知选②.
【答案】　②
全称命题与存在性命题
全称命题与存在性命题的真假 ( http: / / www.21cnjy.com )性判断是本章中的基础内容．判断全称命题的真假时，通常有两种方法：(1)定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；(2)代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．判断存在性命题的真假时，通常用代入法：在给定的集合中能找到一个元素x，使命题p(x)为真，则为真命题，否则为假命题．
通常在对全称命题和存在性命 ( http: / / www.21cnjy.com )题进行否定时，首先要判断所给命题是全称命题还是存在性命题，然后按照下面的规则进行否定：全称命题否定后，全称量词变为存在量词，肯定判断变为否定判断；存在性命题否定后，存在量词变为全称量词，肯定判断变为否定判断．
　判断下列命题是否是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)对于所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解．
【思路点拨】　
判断类别→符号表示→判断真假
【规范解答】　(1)存在性命题，符号表示： α∈R，sin2α＋cos2α≠1.假命题．
(2)全称命题，符号表示： 直线l，l存在斜率．假命题．
(3)全称命题，符号表示： a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解．假命题．
写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)p： x∈R，x2＋x＋≥0；
(2)q： x是质数，x不是奇数；
(3)r：至少有一个实数x，使x> ；
(4)s：所有的周期函数都有最小正周期．
【解】　(1)綈p： x∈R，使x2＋x＋<0.由于对任意的实数x，x2＋x＋＝(x＋)2≥0，故p是真命题，綈p是假命题．
(2)綈q： x是质数，x是奇数．
由于2是质数，且2不是奇数，故q是真命题，綈q是假命题．
(3)綈r： x∈R，x≤.
对于对任意的实数x，x≤|x|＝<，故r是假命题，綈r是真命题．
(4)綈s：有的周期函数没有最小正周期．
由于f(x)＝0(x∈R)是周期函数但没有最小正周期，
故s是假命题，綈s是真命题．
逻辑联结词“或”、“且”、“非”
逻辑联结词的出现使得命题复杂化，对于 ( http: / / www.21cnjy.com )一个较复杂的命题真假的判断，首先找出命题中所含的逻辑联结词，并将其分解成“简单命题＋逻辑联结词”的形式，再根据真值表进行真假判断．
　给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点，q：若<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是________．
①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；
④(綈p)∨(綈q)．
【思路点拨】　判断p、q真假→綈p、綈q真假→命题真假
【解析】　∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p真．
∵x<0时<0<1但x>1不成立，∴q假，
∴綈q真，∴①②③均为假命题，④为真命题．
【答案】　④
分别指出下列各命题的构成形式，并指出命题的真假．
(1)8或6是30的约数；
(2)41是偶数且41是质数；
(3)方程x2－x＋1＝0没有实数根．
【解】　(1)“p或q”的形式，其中p：8是30的约数，q：6是30的约数，原命题为真命题．
(2)“p且q”的形式，其中p：41是偶数，q：41是质数．原命题为假命题．
(3)“非p”的形式，其中p：方程x2－x＋1＝0有实数根．原命题为真命题．
转化与化归思想
转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思 ( http: / / www.21cnjy.com )维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．
本章中，很多综合问题常是以逻辑形式叙述的数学命题，只有将逻辑条件转化为一般数学命题，才能利用相关知识进行求解．
　设命题p：函数f(x)＝(a－)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1,3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．
【思路点拨】　将“p且q为假，p或q为真”转化为“一真一假”再进行分类讨论．
【规范解答】　由0＜a－＜1得＜a＜，
∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1,3]得2≤a≤4，
∵p且q为假，p或q为真，∴p、q一真一假．
若p真q假，得＜a＜2；若p假q真，得≤a≤4.
综上所得，a的取值范围是＜a＜2或≤a≤4.
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)·(x－a)<0，又a>0，所以a当a＝1时，1由得2即q为真时，实数x的取值范围是2若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p 綈q，且綈q綈p，
设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A?B.
又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|綈q}＝{x≤2或x>3}，
则03，
所以实数a的取值范围是1综合检测(一)
第1章　常用逻辑用语
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．命题“ x∈R，x2＋3≥2x”的否定是________．
【解析】　全称命题的否定是存在性命题．
【答案】　 x∈R，x2＋3<2x
2．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词是________．
【解析】　“≥”含两种情形即“>”或“＝”，故用了逻辑联结词“或”．
【答案】　或
3．下列全称命题为真命题的是________．
①所有的素数是奇数；
② x∈R，x2＋1≥1；
③对每一个无理数x，x2也是无理数；
④所有的平行向量均相等．
【解析】　①中，2是素数不是奇数， ( http: / / www.21cnjy.com )故①假；③中，取x＝为无理数，x2＝2是有理数，故③假；④中，a＝(1,2)，b＝(2,4)平行，但不相等．故只有②为真．
【答案】　②
4．命题“若A B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真