【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常用逻辑用语教案 北师大版选修2-1
文档属性
| 名称 | 【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常用逻辑用语教案 北师大版选修2-1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 9.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-04 08:25:24 | ||
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文档简介
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第一章 常用逻辑用语
§1命 题
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解命题的概念．
(2)通过简单的例子，让学生体会四种命题的构成形式．
(3)通过实际例子，让学生体会四种命题的关系．
2．过程与方法
经历从具体数学实例中抽象出命题概念的过程，感受命题在数学学习中的重要性和广泛性．
3．情感、态度与价值观
通过命题的学习过程，使学生了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，提高思维的严谨性．
●重点难点
重点：1.命题的概念．
2．四种命题的关系．
难点：1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．利用四种命题之间的关系判断命题的真假．
对于命题概念的教学，要从具体实例中去认知，从命题与开语句的比较中去把握．
对于命题的四种形式及其关系的教学，要遵循 ( http: / / www.21cnjy.com )认知规律，通过例子，引导学生探究四种形式及其关系，即让学生经历概念的形成和抽象过程，再通过例题分析得出四种命题之间的关系．
(教师用书独具)
●教学建议
1．教学中应多举出一些学生熟悉的数学中的例子或生活中的实例．
2．教师可以通过总结引例、例1、例2中的判断结果，引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图．21·cn·jy·com
3．在高中常用逻辑用语部分，一般只要求学生 ( http: / / www.21cnjy.com )讨论“若p，则q”形式的命题，或者可以改写成“若p，则q”的形式的命题，而超出这一形式的命题，在这里不做讨论．
●教学流程
创设问题情境，引出问题命题的概念 命题的结构 命题的分类四种命题四种命题之间的关系 反馈矫正 归纳总结
课标解读 1.了解命题的概念，会判断命题的真假．(重点)2．掌握四种命题的结构形式，会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点)3．能用四种命题之间的相互关系判断四种命题的真假．(难点)
命题及其形式
【问题导思】
下列能判断真假的语句序号是？
①π是无理数吗？
②x＞1.
③∈N.
④若a⊥b，则a·b≤0.
【提示】 ③④能判断真假．
命题及其形式
(1)定义：可以判断真假、用文字或符号表述的语句．
(2)分类
(3)形式：通常表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．
四种命题及其相互关系
【问题导思】
1．下面有四个命题．
①若x＞1，则x＞0.
②若x＞0，则x＞1.
③若x≤1，则x≤0.
④若x≤0，则x≤1.
它们的条件和结论分别是什么？
【提示】 命题①的条件是x＞1，结论是x＞0.
命题②的条件是x＞0，结论是x＞1.
命题③的条件是x≤1，结论是x≤0.
命题④的条件是x≤0，结论是x≤1.
2．命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系？
【提示】 命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件．
命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定．
命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定．
1．四种命题
互逆命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件
互否命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定
互为逆否命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定
2.四种命题之间的关系
互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．
命题及其真假判断
判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
①若a＞b，则2a＞2B．
②y＝sin x是奇函数吗？
③x2－1＜0(x∈Z)．
④空集是任何集合的子集．
【思路探究】 判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断其真假．
【自主解答】 ①由指数函数y＝2x的性质知，①是真命题．
②不是命题，不涉及真假．
③不是命题，未给x赋值之前，无法判断真假．
④由空集的性质知，④是真命题．
1．判断一个语句是否为命题，关键看这个语句能否判断真假．
2．判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
(1)斜率相同的两直线平行．
(2)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．
(3)这是一棵大树．
(4)当x＝1时，x2＋2x－3＝0.
【解析】 (1)是假命题．
(2)是假命题．当x＝时，y＝－时，x＋y是有理数．
(3)无法判断真假，不是命题．
(4)是真命题．
命题的结构
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)矩形的对角线相等．
(2)当m＞时，方程mx2－x＋1＝0无实根．
(3)已知x，y∈N＋，当x＋y＝2时，x＝y＝1.
【思路探究】 分清命题的条件和结论，是解决这类问题的关键．
【自主解答】 (1)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；是真命题．
(2)若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根；是真命题．
(3)已知x，y∈N＋，若x＋y＝2，则x＝y＝1；是真命题．
改写命题时，需要注意的事项：
①分清命题中的条件和结论；②要注意叙述的完 ( http: / / www.21cnjy.com )整性，比如第(1)题；③当命题有大前提时，不能把大前提写在条件中，应写在前面，仍然作为命题的大前提，比如第(3)题．
指出下列命题的条件和结论．
(1)若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2B．
(2)当x＝1时，x2＝1.
(3)两个奇数的和是偶数．
【解】 (1)条件：a，b，c成等差数列，结论：a＋c＝2B．
(2)条件：x＝1，结论：x2＝1.
(3)条件：两个数都是奇数，结论：它们的和是偶数．
四种命题及其真假判断
写出命题“若不等式x2＋px＋q＞0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【来源：21·世纪·教育·网】
【思路探究】 根据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写，要注意：
(1)分清命题的条件和结论；
(2)“＞”的否定是“≤”．
【自主解答】 逆命题：若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集为R；假命题．
否命题：若不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R，则p2－4q＞0；假命题．
逆否命题：若p2－4q＞0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R；真命题．
互为逆否命题的两个命题同真假，因此，在直接判断一个命题的真假困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．【出处：21教育名师】
写出命题“末位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
【解】 逆命题：能被5整除的整数的末位数字是0，假命题．
否命题：末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题．
逆否命题：不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.
对四种命题的结构认识不清致误
已知a，b∈R，命题“若a＋b＝2，则a2＋b2≥2”的否命题是( )
A．若a＋b≠2，则a2＋b2＜2
B．若a＋b＝2，则a2＋b2＜2
C．若a＋b≠2，则a2＋b2≥2
D．若a2＋b2≥2，则a＋b＝2
【错解】 只否定结论，错选B；只否定条件，错选C；误将互否理解成互逆，错选D．
【答案】 D
【错因分析】 对四种命题的结构形式认识不清致误．
【防范措施】 掌握四种命题的结构形式．
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
否命题：若p的否定，则q的否定．
逆否命题：若q的否定，则p的否定．
【正解】 “a＋b＝2”的否定是“a＋b≠2”，“a2＋b2≥2”的否定是“a2＋b2＜2”，由否命题的定义知，选项A正确．
【答案】 A
1．判断一个语句是否为命题，关键看它能否判断真假．
2．对于四种命题要掌握其结构形式．
3．由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
【解析】 只有A选项能判断真假．
【答案】 A
2．与命题“若a∈M，则b M”等价的命题是( )
A．若b M，则a∈M B．若a M，则b∈M
C．若b∈M，则a M D．若a∈M，则b∈M
【解析】 由原命题与其逆否命题等价知：选项C正确．
【答案】 C
3．命题：“菱形的对角线互相垂直”的条件是__________，结论是____________．
【解析】 该命题可写成：若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线互相垂直．
【答案】 一个四边形是菱形 它的对角线互相垂直
4．命题：若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
【解】 逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题.
一、选择题
1．下列语句不是命题的是( )
A．3是15的约数 B．3小于2
C．0不是自然数 D．正数大于负数吗？
【解析】 选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判断，故选D．
【答案】 D
2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
【解析】 一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B．
【答案】 B
3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 此命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
【答案】 D
4．假设坐标平面上一非空集合S内的点(x，y)，具有以下性质：“若x＞0，则y＞0”，试问下列哪个叙述对S内的点(x，y)必定成立( )
A．若x≤0，则y≤0 B．若y≤0，则x≤0
C．若y＞0，则x＞0 D．若y＞0，则x≤0
【解析】 若x＞0，则y＞0 若y≤0，则x≤0，故选B．
【答案】 B
5．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的否命题；
③“面积相等的三角形全等”的否命题；
④“若x≠＋2kπ(k∈Z)，则tan x≠1”的逆否命题．
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
【解析】 ①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；
②否命题为“若a＋b＜2，则a，b都小于1”，假命题；
③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；
④逆否命题为“若tan x＝1，则x＝＋2kπ(k∈Z)”，假命题．
【答案】 C
二、填空题
6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．
【解析】 根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．
【答案】 否
7．在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．
【解析】 当a＝1，b＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )时，a2＜b2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；当a＝－2，b＝1时，a＜b，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.
【答案】 3
8．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．
【解析】 负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．
【答案】 非负数的平方不是正数
三、解答题
9．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
【解】 (1)若一个数是偶数，则它能被2整除；
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的，可用反证法证明：
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，逆命题真．
(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：
由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
∴逆否命题为真．
11．a，b，c为三个人，命题A：“如 ( http: / / www.21cnjy.com )果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
【解】 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．
由命题A为真可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b＞a＞c.
同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.
故由A与B均为真可知b＞a＞c.
∴a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小.
(教师用书独具)
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【思路探究】 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去判断命题的真假．
【自主解答】 法一 写出原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2 ( http: / / www.21cnjy.com )a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a＜1，所以4a－7＜0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．
法二 先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥.
因为a≥，所以a≥1，所以原命题为真．也说明逆否命题为真．
此类问题的求解，可先写出原命题的逆否命题，再 ( http: / / www.21cnjy.com )判断其真假．也可以通过判断原命题的真假，来间接判断其真假．至于用哪种方法，要看原命题与它的逆否命题哪一个更好判断．
若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
【解】 法一 (逆否证法) ( http: / / www.21cnjy.com )依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题即可．
若a，b，c都是奇数，则 ( http: / / www.21cnjy.com )a2，b2，c2都是奇数．于是a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．
法二 (反证法)假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾．
所以假设不成立，从而原命题成立．
§2充分条件与必要条件
2．1 充分条件
2．2 必要条件
2．3 充要条件
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．
2．过程与方法
(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．
(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．
3．情感、态度与价值观
(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．
(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性．
●重点难点
重点：1.理解充分条件、必要条件的含义．
2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．
难点：对必要条件的理解．
在教学过程中，注重把教材内容与生活实际 ( http: / / www.21cnjy.com )结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．21*cnjy*com
(教师用书独具)
●教学建议
教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．
●教学流程
创设情境，
激发兴趣?引导归纳，
给出定义?深入探究，
获得新知?反馈练习，
形成方法?总结反馈，
拓展引申
课标解读 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．(重点)2．充分条件、必要条件与充要条件的判断．(难点)3．利用条件关系求字母的取值范围．(难点)
充分条件与必要条件
【问题导思】
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)由k1＝k2能推出l1∥l2吗？
【提示】 当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.
(2)由l1∥l2能推出k1＝k2吗？
【提示】 由l1∥l2能推出k1＝k2.
1．推断符号“ ”的含义
“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p q，读作“p推出q”．
2．充分条件与必要条件
推式 “若p，则q”真，即p q “若p，则q”的逆命题真，即q p
p是q的 充分条件 必要条件
q是p的 必要条件 充分条件
充要条件
【问题导思】
一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？
【提示】 不需要，因为由A是B的女儿，可推出B是A的妈妈，反之亦然．
如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
充分条件、必要条件、充要条件的判断
(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路探究】
着眼点分清条件p与结论q分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假
【自主解答】 (1)当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 .
反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，
得，
因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件．
(2)由an＋1>|an|≥an，得an＋1＞an，
∴{an}是递增数列．
反过来，由{an}是递增数列，知a ( http: / / www.21cnjy.com )n＋1＞an，但不一定有an＋1＞|an|，如递增数列{－()n}中，a1＝－，a2＝－，a2＞|a1|不成立．
因此，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
【答案】 (1)B (2)A
除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：
已知集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论．
(1)“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)当x＝y＝时，x2＋y ( http: / / www.21cnjy.com )2＝＞1，所以点P(x，y)不在圆内；反过来，当点P(x，y)在圆内时，x2＋y2＜1，所以x2＜1，y2＜1，所以|x|＜1，|y|＜1.
因此，“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的必要不充分条件．
(2){an}是递增数列，可得a1＜a2＜a3；反过来，由a1＜a2＜a3，
得a1＜a1q＜a1q2，当a1＞0时，q＞1；当a1＜0时，0＜q＜1.
∴an＋1－an＝a1qn－1(q－1)＞0，
∴an＋1＞an，
∴{an}是递增数列．
因此，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件．
【答案】 (1)B (2)C
充分条件、必要条件的应用
已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＞0，且p是q的充分条件，求k的取值范围．
【思路探究】 求出p、q对应的集合A、BA B→k满足的条件k的取值范围
【自主解答】 由4x＋k≤0，得x≤－.
由x2－x－2＞0，得x＜－1或x＞2.
设A＝{x|x≤－}，B＝{x|x＜－1或x＞2}．
由p是q的充分条件，得A B．
∴－＜－1，
∴k＞4.
即k的取值范围为(4，＋∞)．
1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理．
2．解决本题的关键是把p、q之间的关系转化为p、q所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组)求解．www.21-cn-jy.com
已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．
【解】 由4x＋k≤0，得x≤－；
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.
设A＝{x|x≤－}，B＝{x|－1＜x＜2}，
由p是q的必要条件，得A B．
∴－≥2，
∴k≤－8.
即k的取值范围为(－∞，－8].
充要条件的证明
已知数列{an}的前n项和为Sn，求证：“对任意n∈N＋，Sn＝”是“数列{an}是等差数列”的充要条件．
【思路探究】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件 结论”，证明必要性即证“结论 条件”．
【自主解答】 必要性：由等差数列的前n项和计算公式，得Sn＝.
充分性：由Sn＝，得Sn＋1＝.
两式相减得，
an＋1＝＋－
整理得(n－1)an＋1＝nan－a1，
nan＋2＝(n＋1)an＋1－a1，
两式相减得，
nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan
整理得2nan＋1＝nan＋2＋nan
∴2an＋1＝an＋2＋an，∴数列{an}是等差数列．
1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n∈N＋，Sn＝”，结论是“数列{an}是等差数列”．
2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求)．
3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．
已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n＋1(n∈N＋)，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1.
【证明】 必要性：由an＋an＋1＝2n＋1，得
a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，
由数列{an}是等差数列，得
2a2＝a3＋a1，
∴2(3－a1)＝(2＋a1)＋a1，
解得a1＝1.
充分性：由an＋an＋1＝2n＋1，得an＋1＋an＋2＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，
两式相减得an＋2－an＝2，
∴数列{a2n－1}是首项为a1＝1，公差为2的等差数列．
∴a2n－1＝1＋2(n－1)＝2n－1，即当n为奇数时，an＝n.
当n为偶数时，n＋1是奇数，
∴an＋1＝n＋1，
∴an＝(2n＋1)－an＋1＝(2n＋1)－(n＋1)＝n.
综上得an＝n，
∴an＋1－an＝(n＋1)－n＝1.
因此，数列{an}是等差数列.
充分、必要条件颠倒致误
已知p：x2－x－2＜0，q：x∈(－1，m)，且p是q的充分不必要条件，则( )
A．m＞2 B．m≥2
C．－1＜m＜2 D．－1＜m≤2
【错解】 由x2－x－2＜0，得x∈(－1,2)．
∵p是q的充分不必要条件，∴(－1，m)?(－1,2)．
∴即－1＜m＜2，故选C.
【答案】 C
【错因分析】 颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误．
【防范措施】 在求解与充分条件、必要 ( http: / / www.21cnjy.com )条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题．在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．
【正解】 由x2－x－2＜0，得x∈(－1,2)．
∵p是q的充分不必要条件，
∴(－1,2)?(－1，m)，∴m＞2.故选A.
【答案】 A
1．判断p是q的什么条件，其实质是判断p q与q p两个命题的真假．
2．当不易判断p q与q p的真假时， ( http: / / www.21cnjy.com )可从集合的角度入手．首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若A B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A B，且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3.命题“若p，则q”为真、p q、p是q的充分条件、q是p的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.
1．“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x＝时，y＝si ( http: / / www.21cnjy.com )n 2x取最大值1；但当y＝sin 2x取最大值1时，x不一定等于，比如x＝π.因此“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A B，∴a∈B且 a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分而不必要条件．2-1-c-n-j-y
【答案】 A
3．用符号“ ”、“ ”、“ ”填空：
(1)x＝0________x＜1；
(2)整数a能被2整除________整数a是偶数；
(3)M＞N________log2M＞log2N.
【解析】 利用这三种符号的意义求解．
【答案】 (1) (2) (3)
4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是什么？
【解】 由直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，得
＝.
解得m＝0或－4.
又当m＝0或－4时，直线x＋y＋m＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切．因此，直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m＝0或－4.2·1·c·n·j·y
一、选择题
1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝1时，N＝{1} M；但当N M时，推不出a＝1，比如a＝.故选A.
【答案】 A
2．“sin A＞cos B”是△ABC为锐角三角形的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当A＝120°，B＝45°时，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC为钝角三角形；当△ABC是锐角三角形时，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°【答案】 B
3．已知p：lg x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1
C.＜x＜ D．＜x＜2
【解析】 由x2 lg x＜0，得0＜x＜1.设p的一个必要不充分条件为q，则p q，但q /p.故选B．
【答案】 B
4．(2012·天津高考)设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】 不等式2x2＋x－1＞0的解集为x＞或x＜－1，所以“x＞”是“2x2＋x－1＞0”成立的充分不必要条件，选A.
【答案】 A
5．(2013·江浙高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立；
若φ＝，则f(x)＝Acos(ωx＋)＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝的必要不充分条件．
【答案】 B
二、填空题
6．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________________．
【解析】 对a分a＝0和a≠0两种情况讨论．
【答案】 或
7．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：
(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________；
(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；
(3)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________；
(4)对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的________．
【解析】 利用定义求解．
【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分
8．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________．
①p是q的充分条件；
②p是q的必要条件；
③q是p的充分条件；
④q是p的必要条件．
【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．
【答案】 ①④
三、解答题
9．已知：p：x＞1，q：＜1，试判断p是q的什么条件？
【解】 由＜1，得＜0，
∴x(x－1)＞0，
∴x＞1或x＜0.
∴{x|x＞1}?{x|＜1}，
∴p是q的充分不必要条件．
10．已知p、q都是r的必要 ( http: / / www.21cnjy.com )条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，试问：(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件．21·世纪*教育网
【解】 p、q、r、s的关系可以用右图表示：
(1)∵s r，r q，
∴s q，又q s，
∴s是q的充要条件．
(2)∵q s，s r，
∴q r，又r q，
∴r是q的充要条件．
(3)∵q s，s r，r p
∴q p，
∴p是q的必要条件．
11．已知p：＜0，q：＜0，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 由q是p的必要条件，可知{x|＜0} {x|＜0}．
由a2＋2＞a，得{x|＜0}＝{x|a＜x＜a2＋2}，
当3a＋1＞2，即a＞时，{x|＜0}＝{x|2＜x＜3a＋1}，
∴，
解得＜a≤；
当3a＋1＝2，即a＝时，{x|＜0}＝ ，符合题意；
当3a＋1＜2，即a＜时，{x|＜0}＝{x|3a＋1＜x＜2}，
∴，
解得－≤a＜.
综上得，a∈[－，].
(教师用书独具)
设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
【思路探究】 先由必要性求出n值，再验证所求得的n值满足充分性．
【自主解答】 ∵x2－4x＋n＝0有整数根，
∴x＝
＝2±，
∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，
∴n＝3或n＝4.
当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；
当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.
∴n＝3或n＝4.
【答案】 3或4
在一些充要条件的命题中往往是“A的充要 ( http: / / www.21cnjy.com )条件是B”，这种情况下的条件实际是B，结论是A，因此其充分性是B A，必要性是A B．在寻求A成立的充要条件时，可先由A B，再验证B A.21世纪教育网版权所有
函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π的充要条件是a＝________.
【解析】 f(x)＝cos 2ax，
由f(x)的最小正周期是π，得＝π，∴a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝cos 2x；
当a＝－1时，f(x)＝cos(－2x)＝cos 2x.
∴当a＝±1时，f(x)的最小正周期都是＝π.
∴a＝±1.
【答案】 ±1
§3全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
3．3 全称命题与特称命题的否定
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．
3．情感、态度与价值观
通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．
●重点难点
重点：理解全称量词和存在量词．
难点：1.含有一个量词的命题的否定．
2．含有一个量词的命题的真假判断．
教学时，要从学生的认知水平入手，通过几 ( http: / / www.21cnjy.com )组例子，引导学生观察、比较、分析，来理解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方法，从而突出重点，化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，在教师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假判断方法为探究内容，让学生通过个人探究、小组讨论等多种解难释疑的尝试活动去发现方法、总结规律，通过例题与练习让学生在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的认识．
●教学流程
通过实例
引入课题全称量词与存
在量词的意义―→全称命题与特
称命题的定义全称命题与特称命
题的真假判断方法含有一个量词
的命题的否定―→小结
课标解读 1.理解全称量词和存在量词的意义．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)3．能判断含有一个量词的命题的真假．(难点)
全称命题与特称命题
【问题导思】
下面有两个命题：
①高二(1)班的每一位学生的年龄都不小于15岁；
②高二(1)班存在一位学生的年龄不小于15岁．
(1)这两个命题的含义相同吗？
【提示】 不同．
(2)造成含义不同的原因是什么？
【提示】 这两个命题使用了不同的量词．命题①使用的量词是“每一位”；命题②使用的量词是“存在一位”，二者表达的含义不同．21教育名师原创作品
1．全称量词与全称命题
“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指
定范围内，表示整体或全部的含义，这样的量词叫做全称量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．存在量词与特称命题
“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
全称命题与特称命题的否定
【问题导思】
下面有两个命题：
①对任意x∈R，都有2x＞0；
②存在x0∈R，使2x0≤0.
(1)从形式上看，这两个命题有什么不同？
【提示】 ①是全称命题，判断词是“＞”；
②是特称命题，判断词是“≤”．
(2)从意义上看这两个命题有什么不同？
【提示】 意义相反，即命题②是命题①的否定，同时，命题①也是对命题②的否定．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
全称命题、特称命题及其真假判断
指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．
(1)对任意实数x，都有x2＋1＞0.
(2)存在一个自然数小于1.
(3)菱形的对角线相等．
(4)至少有一个实数x0，使sin x0＋cos x0＝.
【思路探究】 着眼点量词命题类型正(反)例命题真假
【自主解答】 (1)全称命题．由x2≥0，知x2＋1＞0，所以(1)是真命题．
(2)特称命题．由于0∈N，且0＜1，所以(2)是真命题．
(3)全称命题．由于有一个角为60°的菱形对角线不等，所以(3)是假命题．
(4)特称命题．由于sin x＋cos x＝sin(x＋)≤＜，所以(4)是假命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．
2．要判断全称命题“对任意x∈M，p(x)成 ( http: / / www.21cnjy.com )立”是真命题，需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．21教育网
要判断特称命题“存在x∈M，使p(x)成立”是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，否则，这一命题就是假命题．
判断下列命题的真假．
(1)对任意的x∈R,2x≥1.(2)对任意的x∈N,2x≥1.
(3)存在x0∈Z，使x＜1.(4)存在x0∈Q，使x＝2.
【解】 (1)当x＝－1时，2x＝＜1，故(1)是假命题．
(2)由于x∈N，所以x≥0，所以2x≥1，故(2)是真命题．
(3)当x0＝0时，x＝0＜1，故(3)是真命题．
(4)由x2＝2，得x＝±，又因± Q，故(4)是假命题．
全称命题与特称命题的否定
写出下列命题的否定．
(1)所有的矩形都是平行四边形．
(2)存在x0，使sin2x0＋cos2x0≠1.
【思路探究】 着眼点改变量词否定判断词
【自主解答】 (1)命题的否定为：存在一个矩形不是平行四边形．
(2)命题的否定为：对任意x，sin2x＋cos2x＝1.
1．弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提．
2．全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定．
提醒：由于有些命题的全称量词可以省略不写，在对其否定时，易出现只否定判断词，而不改变省略了的全称量词的错误．【来源：21cnj*y.co*m】
命题“对任意x∈R，x＞sin x”的否定是( )
A．存在x0∈R，使x0＜sin x0
B．对任意x∈R，x≤sin x
C．存在x0∈R，使x0≤sin x0
D．对任意x∈R，x＜sin x
【解析】 将量词“任意”改成“存在”，并将判断词“＞”改成“≤”．
【答案】 C
含有一个量词的命题的应用
已知命题p：存在x0∈R，使x＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，试求实数a的取值范围．
【思路探究】 p假→p的否定真→a满足的条件→a的取值范围
【自主解答】 命题p的否定：对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0.
由p假，知p的否定真．
∴Δ＝4a2－4a＜0.
解得0＜a＜1.
即a的取值范围为(0,1)．
1．对任意x∈A，f(x)≥M f(x)min≥M；
存在x0∈A，f(x)≥M f(x)max≥M.
2．当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解．
将例3中的“命题p是假命题”改为“命题p是真命题”，如何求a的取值范围．
【解】 由p真，得Δ＝4a2－4a≥0，
解得a≥1或a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞).
对含有量词的命题否定不当致误
命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是( )
A．存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根
B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根
C．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根
D．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根
【错解】 错解一 将“任意”改成“存在”，并把“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选A.
错解二 将“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选B．
错解三 将“任意”改为“存在”，故选D．
【答案】 A或B或D
【错因分析】 (1)错解一否定了条件．
(2)错解二没有改变量词．
(3)错解三没有否定判断词．
【防范措施】 (1)弄清是全称命题还是特称命题，是求解此类问题的关键．
(2)全(特)称命题的否定既要改变量词，又要否定判断词，但不能否定条件．
【正解】 将“任意”改为“存在”，并把“方程x2＋x－k＝0有实根”否定，故选C.
【答案】 C
1．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词．
(3)否定结论．
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．
2．对含有一个量词的命题真假的判定，要用好正例与反例．
3．在综合问题中，会经常遇到这样两类问题：(1)由“恒成立”求字母参数的取值范围；
(2)探索“是否存在”的探究题．究其实质，也就是分别为全称命题和特称命题，应按全称命题和特称命题的真假进行讨论.
1．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
【解析】 将“存在”改成“任意”，并把“x＞1”改成“x≤1”．
【答案】 C
2．下列命题中是假命题的是( )
A．对任意x∈(0，)，x＞sin x
B．存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2
C．对任意x∈R,3x＞0
D．存在x0∈R，使lg x0＝0
【解析】 sin x0＋cos x0＝sin(x0＋)≤.故选B．
【答案】 B
3．已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知得，命题“对任意x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3.
【答案】 (－1,3)
4．对任意实数x，sin x＋cos x＞m恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 ∵sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
∴m＜－.
即实数m的取值范围是(－∞，－).
一、选择题
1．(2012·湖北高考)命题“ x0∈ RQ，x∈Q”的否定是( )
A． x0 RQ，x∈Q
B． x0∈ RQ，x Q
C． x RQ，x3∈Q
D． x∈ RQ，x3 Q
【解析】 根据对命题的否定知，是把量词取否定，然后把结论否定，因此选D．
【答案】 D
2．下列命题中真命题是( )
A．存在x∈Z，使1＜4x＜3
B．存在x∈Z，使2x－1＝0
C．对任意x∈R,2x＞x2
D．对任意x∈R，x2＋1＞0
【解析】 当x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0.
【答案】 D
3．命题p：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )
A．p是假命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1
B．p是假命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
C．p是真命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1
D．p是真命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
【解析】 0＜log32＜1，∴y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(log32)x在[0，＋∞)上单调递减，0＜y≤1，∴p是真命题；“对任意”的否定为“存在”，“≤”的否定为“＞”，故选C.
【答案】 C
4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 改变量词并否定判断词．
【答案】 D
5．非空集合A、B满足A?B，下面四个命题中正确的个数是( )
①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x A，使x∈B；
③存在x B，使x∈A；④对任意x B，都有x A.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 根据A?B知，①②④正确，③错误．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
【解析】 改变量词并否定判断词．
【答案】 存在向量a，使零向量与向量a不共线
7．若对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a＝0时，x＜0，不合题意．
当a≠0时，，解得a＜－1.
综上得，a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)
8．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a≤0时，取x0＝－1，得ax＋2x0＋a＝2a－2≤－2＜0.
当a＞0时，Δ＝4－4a2＞0，即0＜a＜1.
综上得，a＜1.
【答案】 (－∞，1)
三、解答题
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有惟一解．
(2)存在实数x0，使得＝.
【解】 (1)该命题是全称命题．
当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．
(2)该命题是特称命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴≤＜.
故该命题是假命题．
10．写出下列各命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．
(2)存在一个实数x0，使()x0＞1.
【解】 (1)命题的否定：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0无实根．假命题．
(2)命题的否定：对任意实数x，()x≤1.假命题．
11．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．
【解】 令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.
要使上式在t∈(0,2]上恒成立，
只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．
∵f(t)＝＝()2＋＝(＋)2－，
且∈[，＋∞)，∴f(t)min＝f(2)＝.
∴a2－a＜.
∴－＜a＜.
所以a的取值范围是(－，).
(教师用书独具)
命题“存在x∈R，使x2＞3成立”不能表述为( )
A．有一个x∈R，使x2＞3成立
B．对有些x∈R，使x2＞3成立
C．任选一个x∈R，使x2＞3成立
D．至少有一个x∈R，使x2＞3成立
【解析】 已知的命题是特称命题，而选项C是全称命题，故选C.
【答案】 C
一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述，如下：
命题 全称命题“对任意 x∈M，p(x)” 特称命题“存在 x∈M，q(x)”
表述方式 所有的x∈M，p(x)成立 存在x∈M，使q(x)成立
对一切x∈M，p(x)成立 至少有一个x∈M，使q(x)成立
命题 全称命题“对任意 x∈M，p(x)” 特称命题“存在 x∈M，q(x)”
表述方式 对每一个x∈M，p(x)成立 对有些x∈M，使q(x)成立
任选一个x∈M，p(x)成立 对某个x∈M，使q(x)成立
凡x∈M，都有p(x)成立 有一个x∈M，使q(x)成立
用“存在”或“任意”表述下列命题：
(1)有理数是实数．
(2)不等式x2＜1有负数解．
【解】 (1)任意一个有理数都是实数；(2)不等式x2＜1存在负数解．
§4逻辑联结词“且”“或”“非”
4．1 逻辑联结词“且”
4．2 逻辑联结词“或”
4．3 逻辑联结词“非”
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．
(2)会判断含有逻辑联结词的命题的真假．
2．过程与方法
通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的学习，让学生会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容．
3．情感、态度与价值观
能够运用逻辑联结词分析数学和日常生活中的问题，增强思维的敏锐性、准确性．
●重点难点
重点：逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．
难点：含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假的判断．
由于逻辑联结词是逻辑知识的基础，也是学 ( http: / / www.21cnjy.com )生能否掌握和判断一个事物并形成正确的逻辑思维能力的关键，所以逻辑联结词“或”“且”“非”的含义以及含有逻辑联结词的复合命题的理解和应用应是本节的重点，也是本节的难点．21cnjy.com
为了突出重点，突破难点，在教学上可采取以下的措施：
(1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察、探讨、联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想．
(2)通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点．
(教师用书独具)
●教学建议
依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他 ( http: / / www.21cnjy.com )们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主、讲解法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
为此，在教学活动中，通过列举两组例 ( http: / / www.21cnjy.com )子，让学生观察，找出两组例子的区别和联系，从中发现问题，并通过简单的指导，启发学生与已有的知识做模拟，来加深对理性知识的理解．现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键、因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察、分析讨论、模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用．
●教学流程
从分析命题中的联结词，引入课题从集合角度认识逻辑联结词的数学意义通过例题，探究简单命题的复合，深化对逻辑联结词的认识含有逻辑联结词的命题的真假判断方法―→反馈矫正―→归纳总结
课标解读 1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．(重点)2．会判断含“且”“或”“非”的命题的真假．(难点)
逻辑联结词“且”
【问题导思】
在A∩B的定义中，“且”的含义是什么？
【提示】 “且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要满足．
用“且”联结两个命题p和q，构成一 ( http: / / www.21cnjy.com )个新命题“p且q”．当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题．
逻辑联结词“或”
【问题导思】
在A∪B的定义中，“或”的含义是什么？与生活中的“或”含义相同吗？
【提示】 “或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个是成立的．
二者含义不同，生活中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”表示“可兼有”．
用“或”联结两个命题p和q，构成一个 ( http: / / www.21cnjy.com )新命题“p或q”．在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．
逻辑联结词“非”
【问题导思】
若命题p对应集合P，则命题非p对应的集合是什么？
【提示】 UP.
对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”．
在命题和它的非命题中，有且只有一个是真命题.
用逻辑联结词构造新命题
分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题．
(1)p：是无理数，q：大于1；
(2)p：x2＋1＞2x，q：x2＋1＜2x.
【思路探究】 (1)“p且q”形式的命题怎样用更简捷的形式表达？
(2)“x2＋1”与“2x”的大小关系有几种？
【自主解答】 (1)“p或q”：是无理数或大于1；
“p且q”：是无理数且大于1；
“綈p”：不是无理数．
(2)“p或q”：x2＋1≠2x；
“p且q”：x2＋1＞2x且x2＋1＜2x；
“綈p”：x2＋1≤2x.
命题的否定与命题的否命题的区别：
命题 命题的否定 命题的否命题
若p，则q 若p，则綈q 若綈p，则綈q
在一次模拟射击游戏中，小李连 ( http: / / www.21cnjy.com )续射击了两次．设命题p1：“第一次射击中靶”，p2：“第二次射击中靶”，试用p1，p2及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示下列命题：
(1)两次射击均中靶；(2)两次射击均未中靶；(3)两次射击恰好有一次中靶；(4)两次射击至少有一次中靶．www-2-1-cnjy-com
【解】 (1)p1且p2.(2)綈p1或綈p2.(3)“綈p1且p2”或“p1且綈p2”．(4)p1或p2.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
已知p： ?{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p且q”，“p或q”中，真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【思路探究】 先判断p、q的真假，然后根据真值表判断新命题的真假．
【自主解答】 ∵p是真命题，q是假命题．
∴命题“綈q”，“p或q”是真命题．
【答案】 B
含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：
(1)确定它的构成形式；
(2)判断其中简单命题的真假；
(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假．
若命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题．
【解析】 ∵命题“綈p”是真命题 ∴p是假命题．
又命题“p或q”是真命题∴q是真命题．
【答案】 真
逻辑联结词的应用
已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【思路探究】 判断p、q
的真假
,q真a的范围a的范围a的
范围
【自主解答】 由“p且q”是真命题，知：p，q均为真命题．
若p为真命题，则a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1.
若q为真命题，则方程x2＋2ax＋2－a有实根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，
综上，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
1．正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键．由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p，q至少一真．
2．充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集．
已知命题p：对任意x∈[1 ( http: / / www.21cnjy.com ),2]，x2－a≥0.命题q：存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
【解】 ∵对任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，∴a≤1.
即p∶a≤1，∴綈p∶a＞1.
又存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，∴a＞3或a＜－1，
即q∶a＞3或a＜－1，∴綈q∶－1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．
当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|a＜－1或a＞3}＝{a|a＞3}．
综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a＞3}.
将命题的否定与否命题混淆致误
命题“若a＞b且b＞c，则a＞c”的否定是
( )
A．若a＞b且b＞c，则a≤c
B．若a＞b且b＞c，则a＜c
C．若a≤b或b≤c，则a≤c
D．若a≤b或b≤c，则a＜c
【错解】 由于a＞b且b＞c的否定是a≤b或b≤c，a＞c的否定是a≤c.根据命题否定的定义，应选C.
【答案】 C
【错因分析】 将命题的否定与否命题混淆致误．
【防范措施】 弄清命题的否定与否命题的区别，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，否定是“若p，则綈q”．
【正解】 由于a＞c的否定是a≤c，根据命题的否定的定义知应选A.
【答案】 A
1．根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的新命题的真假时，要掌握其真假与简单命题真假关系的规律．
2．理解“且”“或”“非”与集合的“交”“ ( http: / / www.21cnjy.com )并”“补”之间的关系．建立命题“运算”和集合运算的关系，有利于从集合的角度进一步认识有关逻辑联结词的意义．
3．判断一个命题是简单命题还是由简单命题构成 ( http: / / www.21cnjy.com )的新命题(复合命题)时，不能只从字面上看是否含有“且”“或”“非”字样，需要掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“或者”“x＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“綊”的含义为“且”；“不是”“≠”的含义为“非”．
4．逻辑联结词“或”“且”“非”的意义与日常生活中的“或”“且”“非”的含义不同，应注意其区别.
1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”使用逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
【解析】 该命题即为“菱形的对角线互相垂直且互相平分”，故该命题使用了逻辑联结词“且”．
【答案】 B
2．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x、y至少有一个不为0 D．x、y不都是0
【解析】 xy≠0 x≠0且y≠0，故选A.
【答案】 A
3．命题p：0不是自然数，命题q HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ：是无理数，则在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中，真命题是________，假命题是________．
【解析】 命题p是假命题，命题q是真命题，故命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，“非p”是真命题，“非q”是假命题．
【答案】 “p或q”“非p” “p且q”“非q”
4．已知命题p：方程x2＋m ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1＝0有两个不相等的实根，命题q：不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋1＜0对任意的实数x恒成立．若“p或q”为假，求实数m的取值范围．
【解】 由于方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，所以m2－4＞0，∴m＜－2或m＞2.
又不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋1＜0恒成立，
∴∴m＜－1.
∵“p或q”为假，∴p，q都为假．
由得－1≤m≤2.
所以实数m的取值范围为{m|－1≤m≤2}.
一、选择题
1．已知原命题是“若r，则p或q”，则这一命题的否命题是( )
A．若綈r，则p且q B．若綈r，则綈p或綈q
C．若綈r，则綈p且綈q D．若綈r，则綈p且q
【解析】 “p或q”的否定为“綈p且綈q”．根据否命题的定义知：选项C正确．
【答案】 C
2．(2013·湖北八校联考)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p或q是假命题 B．p且綈q是假命题
C．綈p或綈q是真命题 D．綈p且q是真命题
【解析】 由真值表知：选项C正确．
【答案】 C
3．(2013·湖北高考)在一次 ( http: / / www.21cnjy.com )跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
【解析】 依题意得綈p：甲没有降落在指定范 ( http: / / www.21cnjy.com )围，綈q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
【答案】 A
4．如果命题“綈(p或q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )
A．p、q均为真命题
B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题
D．p、q中至多有一个为真命题
【解析】 由“綈(p或q)”是假命题，知：命题“p或q”为真，所以p、q中至少有一个为真命题．
【答案】 B
5．已知命题p：存在x0∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (0，)，使sin x0＋cos x0＜1，命题q：对任意x∈(－∞，0)，2x＞3x.则下列命题为真的是( )
A．p且q B．p或(綈q)
C．p且(綈q) D．(綈p)且q
【解析】 p假，q真，由真值表，易知(綈p)且q为真．故应选D．
【答案】 D
二、填空题
6．分别用“p且q”“p或q”“非p”填空
(1)命题“2既是偶数又是质数”是________的形式．
(2)命题“±1是方程x2－1＝0的解”是________的形式．
(3)命题“－1≠1”是________的形式．
【解析】 用含逻辑联结词的定义求解．
【答案】 p且q p或q 非p
7．已知命题p：若x＞y，则x2＞y2，命题q：若x＞y，则x3＞y3.给出下列命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.
其中真命题是________．
【解析】 命题p是假命题，命题q是真命题，由真值表可知②③为真命题．
【答案】 ②③
8．已知命题p：对任意x＞1，x＋≥a，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由题意，存在x＞1，使x＋＜a，
又∵x＋＝(x－1)＋＋1≥2 ＋1＝3，∴a＞3.
【答案】 (3，＋∞)
三、解答题
9．写出下列各命题的否定．
(1)平行四边形中至少有一组对边平行；
(2)若A∪B＝B，则A B；
(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1且x≠2；
(4)若a＜1，则方程x2－2x＋a＝0至多有一解．
【解】 (1)命题的否定：平行四边形的两组对边都不平行；
(2)命题的否定：若A∪B＝B，则A B；
(3)命题的否定：若x2－x－2≠0，则x＝－1或x＝2；
(4)命题的否定：若a＜1，则方程x2－2x＋a＝0有两个不等的实数解．
10．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，且“p(1)且p(2)”是假命题，“綈p(2)”是假命题，求实数m的取值范围．
【解】 p(1)：3－m＞0，即m＜3.
p(2)：8－m＞0，即m＜8.
由已知得：p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴3≤m＜8.
故m的取值范围是[3,8)
11．已知命题p：c2＜c和命题q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0恒成立，已知p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．
【解】 由不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，
所以命题非p：c≤0或c≥1，
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
所以命题q：－＜c＜，
所以命题非q：c≤－或c≥，
由题知：p和q必有一个为真，一个为假．
当p真q假时，≤c＜1；当q真p假时，－＜c≤0，
故c的取值范围是(－，0]∪[，1).
(教师用书独具)
写出下列语句的否定：
(1)a＞0且b＞0；(2)a＞0或b＞0；(3)x＝±1.
【思路探究】 利用否定的数学意义进行否定．
【自主解答】 (1)a≤0或b≤0；(2)a≤0且b≤0；(3)x≠1且x≠－1.
1．“p且q”的否定是“綈p或綈q”，“p或q”的否定是“綈p且綈q”．
2．下面是一些常用词语和它的否定：
关键词 等于 能 至少有一个 都是 没有 大于 至多有一个
否定词 不等于 不能 一个都没有 不都是 至少有一个 不大于 至少有两个
写出下列语句的否定：
(1)a、b、c都是正数；(2)x1，x2，…，x10中，至少有5个数大于0.
【解】 (1)a、b、c不都是正数；(2)x1，x2，…，x10中，至多有4个数大于0.
常用逻辑用语命题及
其关系四种
命题原命题等价逆命题否命题逆否命题条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件量词全称量词全称命题含有一个
量词的命
题的否定应用存在量词特称命题简单的逻
辑联结词且非或构成三
个命题p且q綈pp或q
四种命题及其关系
1.命题的四种形式：
原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.
2．四种命题之间的关系：
原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，利用这种等价关系进行命题的转换，可使求解化难为易，化繁为简．
已知某班学生报考大学的情况是：
(Ⅰ)报考A大学的人未报考B大学；
(Ⅱ)报考B大学的人也报考了D大学；
(Ⅲ)报考C大学的人未报考D大学；
(Ⅳ)未报考C大学的人报考了B大学．
根据以上情况判断如下命题是否正确，并说明理由．
(1)报考D大学的人也报考了A大学；
(2)没有人同时报考B和C大学．
【思路点拨】 从以下两点考虑：
(1)将条件与结论分别看成命题．
(2)利用原命题与它的逆否命题是等价命题来判断．
【规范解答】 报考A大学的记为A，未报考A大学的记为綈A；
报考B大学的记为B，未报考B大学的记为綈B；
报考C大学的记为C，未报考C大学的记为綈C；
报考D大学的记为D，未报考D大学的记为綈D；
则由已知条件得：(Ⅰ)A 綈B；(Ⅱ)B D；(Ⅲ)C 綈D；(Ⅳ)綈C B．
(1)由互为逆否命题的等价性知：B 綈A，綈D 綈B，D 綈C，綈B C.
D 綈C，綈C B，又B 綈A，则有D 綈A，所以第一个命题不正确；
(2)由B D，D 綈C知第二个命题正确．
在例1的条件下，判断如下命题是否正确，并说明理由．
报考B大学的人与报考D大学的人相同．
【解】 由D 綈C，綈C B及B D可知B、D可互推，所以该命题正确.
充分条件、必要条件的判断
处理充要条件的问题，首先要弄清充分 ( http: / / www.21cnjy.com )条件、必要条件、充要条件的概念，其次要会利用“定义法”“集合法”“四种命题关系法”“逆推法”来判定充要条件的问题．
已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路点拨】 进行充要关系的判断的关键是①分清条件和结论；②判断条件能否推出结论以及结论能否推出条件．
【规范解答】 当a＞0，b＞0时，有a＋b＞0且ab＞0，充分性成立．
当a＋b＞0且ab＞0时，a＋b＞0，得a，b中至少有一个为正，由ab＞0，得a，b同号，因此a，b同正，即a＞0，b＞0，必要性成立．
所以，“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充分必要条件．
【答案】 C
是的什么条件？说明理由．
【解】 当时，有x＋y＞4，xy＞4，即必要性成立．
反之不一定成立，例如，当x＝1＜2，y＝5＞2时，有x＋y＝6＞4，xy＝5＞4，但不成立，即充分性不成立．
所以，是的必要不充分条件.
全称命题与特称命题
全称命题和特称命题的否定具有特定的形式：
全称命题“对任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，綈p(x)”；
特称命题“存在x∈M，p(x)”的否定是“对任意x∈M，綈p(x)”．
对全称命题与特称命题真假的判断要用好正例与反例．
对命题“a，b是异面直线，存在直线c，使c⊥a，且c⊥b”进行否定．
【思路点拨】 这是一个特殊命题，“a，b是异面直线”是大前提．
【规范解答】 其否定是：a，b是异面直线，对任意直线c，c不垂直于a，或c不垂直于B．
对命题“若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0”进行否定．
【解】 其否定是：若a＞0，且a≠1，则存在实数x0，使≤0.
转化与化归思想的应用
本章中转化与化归思想主要体现在：
(1)原命题与其逆否命题之间的等价转化．
(2)命题的等价性与充要条件之间的等价转化．
(3)充要条件与集合包含关系之间的转化．
(4)p与綈p的转化．
判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【解】 法一 (直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a＜1，
则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a＜1，∴4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
法二 利用原命题的真假判断
∵a、x为实数，
且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥＞1，
∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，
∴逆否命题为真．
法三 (利用集合的包含关系求解)
命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．
命题q：a≥1.
∴p：A＝{a|关于x的不等式x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝{a|a≥}，q：B＝{a|a≥1}．
∵A B，∴“若p，则q”为真，
∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．
即原命题的逆否命题为真．
判断命题“若x≠±3，则x2－9≠0”的真假．
【解】 其逆否命题为：若x2－9＝0，则x＝±3.
易知该命题是真命题．
所以原命题是真命题．
综合检测(一)
第一章 常用逻辑用语
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)
1．命题“对任意x＞0，x2＋x＞0”的否定是( )
A．存在x＞0，x2＋x＞0 B．任意x＞0，x2＋x≤0
C．存在x＞0，x2＋x≤0 D．任意x≤0，x2＋x＞0
【解析】 先把任意“任意”改为存在“存在”，再把结论给予否定．
【答案】 C
2．下面有两个命题：
①当a＞0且a≠1时，存在一个实数x0，使ax0≤0.②负数的立方是负数．对这两个命题的类型判断正确的是( )
A．①是全称命题，②是特称命题
B．①是特称命题，②是全称命题
C．①②都是特称命题
D．①②都是全称命题
【解析】 命题①含有存在量词“存在一个”，所以命题①是特称命题；命题②省略了全称量词“任何一个”，所以命题②是全称命题．
【答案】 B
3．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】 命题“p且q”为真命题的含义 ( http: / / www.21cnjy.com )是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y＝2x－3上，又在直线y＝－3x＋2上，即点P是这两条直线的交点．
【答案】 C
4．设a、b∈R，那么ab＝0的充要条件是( )
A．a＝0且b＝0 B．a＝0或b≠0
C．a＝0或b＝0 D．a≠0且b＝0
【解析】 由ab＝0，知a、b至少有一个为0.
【答案】 C
5．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 x＝2kπ＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" tan x＝tan(2kπ＋)＝tan＝1，而tan x＝1 x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝2n＋1时 / x＝2kπ＋.
【答案】 A
6．下列命题中，真命题是( )
A．存在x∈[0，]，sin x＋cos x≥2
B．任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1
C．存在x∈R，x2＋x＝－1
D．任意x∈(，π)，tan x＞sin x
【解析】 对于A，sin x＋cos x＝sin(x＋)≤，因此命题不成立；
对于B，x2－(2x＋1)＝(x－1)2－2，显然当x＞3时(x－1)2－2＞0，因此命题成立；
对于C，x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，因此x2＋x＞－1对于任意实数x成立，所以命题不成立；
对于D，当x∈(，π)时，tan x＜0，sin x＞0，显然命题不成立．
【答案】 B
7．若集合A＝{1，m2}，集合B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由A∩B＝{4}，得m2＝4，m＝±2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件． 21*cnjy*com
【答案】 A
8．下列四个命题
p1：存在x∈(0，＋∞)，()x＜()x；
p2：存在x∈(0,1)，logx＞logx；
p3：对任意x∈(0，＋∞)，()x＞logx；
p4：对任意x∈(0，)，()x＜logx.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
【解析】 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D．
【答案】 D
9．“m＝1”是“f(x)＝是奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由f(－x)＝－f(x)，得(m2－1)2x＝0，
又∵2x≠0，∴m2－1＝0，m＝±1，故选A.
【答案】 A
10．已知集合A＝{x∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2
C．m＞2 D．－2＜m＜2
【解析】 A＝{x∈R|＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}．
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A B，
∴m＋1＞3，即m＞2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．下列结论：
①若命题p：存在x∈R，tan x＝1，命题q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则命题“p且綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 当a＝b＝0时，l1⊥l2，所以②是假命题，①③是真命题，故填①③.
【答案】 ①③
12．已知命题p：任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 若命题非p是假 ( http: / / www.21cnjy.com )命题，则命题p是真命题，即关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，而m＝－4x＋2x＋1＝－(2x－1)2＋1，所以m≤1.
【答案】 (－∞，1]
13．有三个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．
其中真命题的个数为________．
【解析】 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．
【答案】 1
14．设p：(4x－3)2≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，
∴∴0≤a≤.
【答案】 [0，]
三、解答题(本大题4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分12分)(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：(3x－4)2＞4，q：＞0，则非p是非q的什么条件？
【解】 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，
∴两条直线垂直．∴p q，
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直，
∴q / p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)解不等式(3x－4)2＞4得p：{x|x＞2或x＜}，
∴綈p：{x|≤x≤2}，
解不等式＞0，得q：{x|x＞2或x＜－1}，
∴綈q：{x|－1≤x≤2}，
∴綈p 綈q，綈q / 綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
16．(本小题满分12分)已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【版权所有：21教育】
【解】 p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0，
∵非p是非q的必要不充分条件，∴p q且q / p.
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．∴∴m≥9.
故m的取值范围是[9，＋∞)．
17．(本小题满分12分)已知c＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．
【解】 由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋≤，
要使此式恒成立，则2＞，即c＞.
又由p或q为真，p且q为假知p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，0＜c≤.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为{c|0＜c≤或c≥1}．
18．(本小题满分14分 ( http: / / www.21cnjy.com ))已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对任意x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．
【解】 ∵sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
∴当r(x)是真命题时，m＜－.
若对 x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1＞0恒成立，有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真，s(x)为假时，满足m＜－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2，
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2＜m＜2，
即－≤m＜2.
综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m＜2}．
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第一章 常用逻辑用语
§1命 题
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解命题的概念．
(2)通过简单的例子，让学生体会四种命题的构成形式．
(3)通过实际例子，让学生体会四种命题的关系．
2．过程与方法
经历从具体数学实例中抽象出命题概念的过程，感受命题在数学学习中的重要性和广泛性．
3．情感、态度与价值观
通过命题的学习过程，使学生了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，提高思维的严谨性．
●重点难点
重点：1.命题的概念．
2．四种命题的关系．
难点：1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．利用四种命题之间的关系判断命题的真假．
对于命题概念的教学，要从具体实例中去认知，从命题与开语句的比较中去把握．
对于命题的四种形式及其关系的教学，要遵循 ( http: / / www.21cnjy.com )认知规律，通过例子，引导学生探究四种形式及其关系，即让学生经历概念的形成和抽象过程，再通过例题分析得出四种命题之间的关系．
(教师用书独具)
●教学建议
1．教学中应多举出一些学生熟悉的数学中的例子或生活中的实例．
2．教师可以通过总结引例、例1、例2中的判断结果，引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图．21·cn·jy·com
3．在高中常用逻辑用语部分，一般只要求学生 ( http: / / www.21cnjy.com )讨论“若p，则q”形式的命题，或者可以改写成“若p，则q”的形式的命题，而超出这一形式的命题，在这里不做讨论．
●教学流程
创设问题情境，引出问题命题的概念 命题的结构 命题的分类四种命题四种命题之间的关系 反馈矫正 归纳总结
课标解读 1.了解命题的概念，会判断命题的真假．(重点)2．掌握四种命题的结构形式，会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点)3．能用四种命题之间的相互关系判断四种命题的真假．(难点)
命题及其形式
【问题导思】
下列能判断真假的语句序号是？
①π是无理数吗？
②x＞1.
③∈N.
④若a⊥b，则a·b≤0.
【提示】 ③④能判断真假．
命题及其形式
(1)定义：可以判断真假、用文字或符号表述的语句．
(2)分类
(3)形式：通常表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．
四种命题及其相互关系
【问题导思】
1．下面有四个命题．
①若x＞1，则x＞0.
②若x＞0，则x＞1.
③若x≤1，则x≤0.
④若x≤0，则x≤1.
它们的条件和结论分别是什么？
【提示】 命题①的条件是x＞1，结论是x＞0.
命题②的条件是x＞0，结论是x＞1.
命题③的条件是x≤1，结论是x≤0.
命题④的条件是x≤0，结论是x≤1.
2．命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系？
【提示】 命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件．
命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定．
命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定．
1．四种命题
互逆命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件
互否命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定
互为逆否命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定
2.四种命题之间的关系
互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．
命题及其真假判断
判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
①若a＞b，则2a＞2B．
②y＝sin x是奇函数吗？
③x2－1＜0(x∈Z)．
④空集是任何集合的子集．
【思路探究】 判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断其真假．
【自主解答】 ①由指数函数y＝2x的性质知，①是真命题．
②不是命题，不涉及真假．
③不是命题，未给x赋值之前，无法判断真假．
④由空集的性质知，④是真命题．
1．判断一个语句是否为命题，关键看这个语句能否判断真假．
2．判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
(1)斜率相同的两直线平行．
(2)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．
(3)这是一棵大树．
(4)当x＝1时，x2＋2x－3＝0.
【解析】 (1)是假命题．
(2)是假命题．当x＝时，y＝－时，x＋y是有理数．
(3)无法判断真假，不是命题．
(4)是真命题．
命题的结构
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)矩形的对角线相等．
(2)当m＞时，方程mx2－x＋1＝0无实根．
(3)已知x，y∈N＋，当x＋y＝2时，x＝y＝1.
【思路探究】 分清命题的条件和结论，是解决这类问题的关键．
【自主解答】 (1)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；是真命题．
(2)若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根；是真命题．
(3)已知x，y∈N＋，若x＋y＝2，则x＝y＝1；是真命题．
改写命题时，需要注意的事项：
①分清命题中的条件和结论；②要注意叙述的完 ( http: / / www.21cnjy.com )整性，比如第(1)题；③当命题有大前提时，不能把大前提写在条件中，应写在前面，仍然作为命题的大前提，比如第(3)题．
指出下列命题的条件和结论．
(1)若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2B．
(2)当x＝1时，x2＝1.
(3)两个奇数的和是偶数．
【解】 (1)条件：a，b，c成等差数列，结论：a＋c＝2B．
(2)条件：x＝1，结论：x2＝1.
(3)条件：两个数都是奇数，结论：它们的和是偶数．
四种命题及其真假判断
写出命题“若不等式x2＋px＋q＞0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【来源：21·世纪·教育·网】
【思路探究】 根据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写，要注意：
(1)分清命题的条件和结论；
(2)“＞”的否定是“≤”．
【自主解答】 逆命题：若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集为R；假命题．
否命题：若不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R，则p2－4q＞0；假命题．
逆否命题：若p2－4q＞0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R；真命题．
互为逆否命题的两个命题同真假，因此，在直接判断一个命题的真假困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．【出处：21教育名师】
写出命题“末位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
【解】 逆命题：能被5整除的整数的末位数字是0，假命题．
否命题：末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题．
逆否命题：不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.
对四种命题的结构认识不清致误
已知a，b∈R，命题“若a＋b＝2，则a2＋b2≥2”的否命题是( )
A．若a＋b≠2，则a2＋b2＜2
B．若a＋b＝2，则a2＋b2＜2
C．若a＋b≠2，则a2＋b2≥2
D．若a2＋b2≥2，则a＋b＝2
【错解】 只否定结论，错选B；只否定条件，错选C；误将互否理解成互逆，错选D．
【答案】 D
【错因分析】 对四种命题的结构形式认识不清致误．
【防范措施】 掌握四种命题的结构形式．
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
否命题：若p的否定，则q的否定．
逆否命题：若q的否定，则p的否定．
【正解】 “a＋b＝2”的否定是“a＋b≠2”，“a2＋b2≥2”的否定是“a2＋b2＜2”，由否命题的定义知，选项A正确．
【答案】 A
1．判断一个语句是否为命题，关键看它能否判断真假．
2．对于四种命题要掌握其结构形式．
3．由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
【解析】 只有A选项能判断真假．
【答案】 A
2．与命题“若a∈M，则b M”等价的命题是( )
A．若b M，则a∈M B．若a M，则b∈M
C．若b∈M，则a M D．若a∈M，则b∈M
【解析】 由原命题与其逆否命题等价知：选项C正确．
【答案】 C
3．命题：“菱形的对角线互相垂直”的条件是__________，结论是____________．
【解析】 该命题可写成：若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线互相垂直．
【答案】 一个四边形是菱形 它的对角线互相垂直
4．命题：若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
【解】 逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题.
一、选择题
1．下列语句不是命题的是( )
A．3是15的约数 B．3小于2
C．0不是自然数 D．正数大于负数吗？
【解析】 选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判断，故选D．
【答案】 D
2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
【解析】 一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B．
【答案】 B
3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 此命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
【答案】 D
4．假设坐标平面上一非空集合S内的点(x，y)，具有以下性质：“若x＞0，则y＞0”，试问下列哪个叙述对S内的点(x，y)必定成立( )
A．若x≤0，则y≤0 B．若y≤0，则x≤0
C．若y＞0，则x＞0 D．若y＞0，则x≤0
【解析】 若x＞0，则y＞0 若y≤0，则x≤0，故选B．
【答案】 B
5．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的否命题；
③“面积相等的三角形全等”的否命题；
④“若x≠＋2kπ(k∈Z)，则tan x≠1”的逆否命题．
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
【解析】 ①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；
②否命题为“若a＋b＜2，则a，b都小于1”，假命题；
③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；
④逆否命题为“若tan x＝1，则x＝＋2kπ(k∈Z)”，假命题．
【答案】 C
二、填空题
6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．
【解析】 根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．
【答案】 否
7．在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．
【解析】 当a＝1，b＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )时，a2＜b2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；当a＝－2，b＝1时，a＜b，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.
【答案】 3
8．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．
【解析】 负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．
【答案】 非负数的平方不是正数
三、解答题
9．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
【解】 (1)若一个数是偶数，则它能被2整除；
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的，可用反证法证明：
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，逆命题真．
(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：
由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
∴逆否命题为真．
11．a，b，c为三个人，命题A：“如 ( http: / / www.21cnjy.com )果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
【解】 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．
由命题A为真可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b＞a＞c.
同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.
故由A与B均为真可知b＞a＞c.
∴a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小.
(教师用书独具)
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【思路探究】 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去判断命题的真假．
【自主解答】 法一 写出原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2 ( http: / / www.21cnjy.com )a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a＜1，所以4a－7＜0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．
法二 先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥.
因为a≥，所以a≥1，所以原命题为真．也说明逆否命题为真．
此类问题的求解，可先写出原命题的逆否命题，再 ( http: / / www.21cnjy.com )判断其真假．也可以通过判断原命题的真假，来间接判断其真假．至于用哪种方法，要看原命题与它的逆否命题哪一个更好判断．
若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
【解】 法一 (逆否证法) ( http: / / www.21cnjy.com )依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题即可．
若a，b，c都是奇数，则 ( http: / / www.21cnjy.com )a2，b2，c2都是奇数．于是a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．
法二 (反证法)假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾．
所以假设不成立，从而原命题成立．
§2充分条件与必要条件
2．1 充分条件
2．2 必要条件
2．3 充要条件
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．
2．过程与方法
(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．
(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．
3．情感、态度与价值观
(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．
(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性．
●重点难点
重点：1.理解充分条件、必要条件的含义．
2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．
难点：对必要条件的理解．
在教学过程中，注重把教材内容与生活实际 ( http: / / www.21cnjy.com )结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．21*cnjy*com
(教师用书独具)
●教学建议
教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．
●教学流程
创设情境，
激发兴趣?引导归纳，
给出定义?深入探究，
获得新知?反馈练习，
形成方法?总结反馈，
拓展引申
课标解读 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．(重点)2．充分条件、必要条件与充要条件的判断．(难点)3．利用条件关系求字母的取值范围．(难点)
充分条件与必要条件
【问题导思】
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)由k1＝k2能推出l1∥l2吗？
【提示】 当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.
(2)由l1∥l2能推出k1＝k2吗？
【提示】 由l1∥l2能推出k1＝k2.
1．推断符号“ ”的含义
“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p q，读作“p推出q”．
2．充分条件与必要条件
推式 “若p，则q”真，即p q “若p，则q”的逆命题真，即q p
p是q的 充分条件 必要条件
q是p的 必要条件 充分条件
充要条件
【问题导思】
一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？
【提示】 不需要，因为由A是B的女儿，可推出B是A的妈妈，反之亦然．
如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
充分条件、必要条件、充要条件的判断
(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路探究】
着眼点分清条件p与结论q分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假
【自主解答】 (1)当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 .
反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，
得，
因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件．
(2)由an＋1>|an|≥an，得an＋1＞an，
∴{an}是递增数列．
反过来，由{an}是递增数列，知a ( http: / / www.21cnjy.com )n＋1＞an，但不一定有an＋1＞|an|，如递增数列{－()n}中，a1＝－，a2＝－，a2＞|a1|不成立．
因此，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
【答案】 (1)B (2)A
除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：
已知集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论．
(1)“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)当x＝y＝时，x2＋y ( http: / / www.21cnjy.com )2＝＞1，所以点P(x，y)不在圆内；反过来，当点P(x，y)在圆内时，x2＋y2＜1，所以x2＜1，y2＜1，所以|x|＜1，|y|＜1.
因此，“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的必要不充分条件．
(2){an}是递增数列，可得a1＜a2＜a3；反过来，由a1＜a2＜a3，
得a1＜a1q＜a1q2，当a1＞0时，q＞1；当a1＜0时，0＜q＜1.
∴an＋1－an＝a1qn－1(q－1)＞0，
∴an＋1＞an，
∴{an}是递增数列．
因此，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件．
【答案】 (1)B (2)C
充分条件、必要条件的应用
已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＞0，且p是q的充分条件，求k的取值范围．
【思路探究】 求出p、q对应的集合A、BA B→k满足的条件k的取值范围
【自主解答】 由4x＋k≤0，得x≤－.
由x2－x－2＞0，得x＜－1或x＞2.
设A＝{x|x≤－}，B＝{x|x＜－1或x＞2}．
由p是q的充分条件，得A B．
∴－＜－1，
∴k＞4.
即k的取值范围为(4，＋∞)．
1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理．
2．解决本题的关键是把p、q之间的关系转化为p、q所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组)求解．www.21-cn-jy.com
已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．
【解】 由4x＋k≤0，得x≤－；
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.
设A＝{x|x≤－}，B＝{x|－1＜x＜2}，
由p是q的必要条件，得A B．
∴－≥2，
∴k≤－8.
即k的取值范围为(－∞，－8].
充要条件的证明
已知数列{an}的前n项和为Sn，求证：“对任意n∈N＋，Sn＝”是“数列{an}是等差数列”的充要条件．
【思路探究】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件 结论”，证明必要性即证“结论 条件”．
【自主解答】 必要性：由等差数列的前n项和计算公式，得Sn＝.
充分性：由Sn＝，得Sn＋1＝.
两式相减得，
an＋1＝＋－
整理得(n－1)an＋1＝nan－a1，
nan＋2＝(n＋1)an＋1－a1，
两式相减得，
nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan
整理得2nan＋1＝nan＋2＋nan
∴2an＋1＝an＋2＋an，∴数列{an}是等差数列．
1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n∈N＋，Sn＝”，结论是“数列{an}是等差数列”．
2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求)．
3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．
已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n＋1(n∈N＋)，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1.
【证明】 必要性：由an＋an＋1＝2n＋1，得
a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，
由数列{an}是等差数列，得
2a2＝a3＋a1，
∴2(3－a1)＝(2＋a1)＋a1，
解得a1＝1.
充分性：由an＋an＋1＝2n＋1，得an＋1＋an＋2＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，
两式相减得an＋2－an＝2，
∴数列{a2n－1}是首项为a1＝1，公差为2的等差数列．
∴a2n－1＝1＋2(n－1)＝2n－1，即当n为奇数时，an＝n.
当n为偶数时，n＋1是奇数，
∴an＋1＝n＋1，
∴an＝(2n＋1)－an＋1＝(2n＋1)－(n＋1)＝n.
综上得an＝n，
∴an＋1－an＝(n＋1)－n＝1.
因此，数列{an}是等差数列.
充分、必要条件颠倒致误
已知p：x2－x－2＜0，q：x∈(－1，m)，且p是q的充分不必要条件，则( )
A．m＞2 B．m≥2
C．－1＜m＜2 D．－1＜m≤2
【错解】 由x2－x－2＜0，得x∈(－1,2)．
∵p是q的充分不必要条件，∴(－1，m)?(－1,2)．
∴即－1＜m＜2，故选C.
【答案】 C
【错因分析】 颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误．
【防范措施】 在求解与充分条件、必要 ( http: / / www.21cnjy.com )条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题．在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．
【正解】 由x2－x－2＜0，得x∈(－1,2)．
∵p是q的充分不必要条件，
∴(－1,2)?(－1，m)，∴m＞2.故选A.
【答案】 A
1．判断p是q的什么条件，其实质是判断p q与q p两个命题的真假．
2．当不易判断p q与q p的真假时， ( http: / / www.21cnjy.com )可从集合的角度入手．首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若A B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A B，且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3.命题“若p，则q”为真、p q、p是q的充分条件、q是p的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.
1．“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x＝时，y＝si ( http: / / www.21cnjy.com )n 2x取最大值1；但当y＝sin 2x取最大值1时，x不一定等于，比如x＝π.因此“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A B，∴a∈B且 a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分而不必要条件．2-1-c-n-j-y
【答案】 A
3．用符号“ ”、“ ”、“ ”填空：
(1)x＝0________x＜1；
(2)整数a能被2整除________整数a是偶数；
(3)M＞N________log2M＞log2N.
【解析】 利用这三种符号的意义求解．
【答案】 (1) (2) (3)
4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是什么？
【解】 由直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，得
＝.
解得m＝0或－4.
又当m＝0或－4时，直线x＋y＋m＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切．因此，直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m＝0或－4.2·1·c·n·j·y
一、选择题
1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝1时，N＝{1} M；但当N M时，推不出a＝1，比如a＝.故选A.
【答案】 A
2．“sin A＞cos B”是△ABC为锐角三角形的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当A＝120°，B＝45°时，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC为钝角三角形；当△ABC是锐角三角形时，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°
3．已知p：lg x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1
C.＜x＜ D．＜x＜2
【解析】 由x2 lg x＜0，得0＜x＜1.设p的一个必要不充分条件为q，则p q，但q /p.故选B．
【答案】 B
4．(2012·天津高考)设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】 不等式2x2＋x－1＞0的解集为x＞或x＜－1，所以“x＞”是“2x2＋x－1＞0”成立的充分不必要条件，选A.
【答案】 A
5．(2013·江浙高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立；
若φ＝，则f(x)＝Acos(ωx＋)＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝的必要不充分条件．
【答案】 B
二、填空题
6．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________________．
【解析】 对a分a＝0和a≠0两种情况讨论．
【答案】 或
7．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：
(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________；
(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；
(3)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________；
(4)对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的________．
【解析】 利用定义求解．
【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分
8．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________．
①p是q的充分条件；
②p是q的必要条件；
③q是p的充分条件；
④q是p的必要条件．
【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．
【答案】 ①④
三、解答题
9．已知：p：x＞1，q：＜1，试判断p是q的什么条件？
【解】 由＜1，得＜0，
∴x(x－1)＞0，
∴x＞1或x＜0.
∴{x|x＞1}?{x|＜1}，
∴p是q的充分不必要条件．
10．已知p、q都是r的必要 ( http: / / www.21cnjy.com )条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，试问：(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件．21·世纪*教育网
【解】 p、q、r、s的关系可以用右图表示：
(1)∵s r，r q，
∴s q，又q s，
∴s是q的充要条件．
(2)∵q s，s r，
∴q r，又r q，
∴r是q的充要条件．
(3)∵q s，s r，r p
∴q p，
∴p是q的必要条件．
11．已知p：＜0，q：＜0，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 由q是p的必要条件，可知{x|＜0} {x|＜0}．
由a2＋2＞a，得{x|＜0}＝{x|a＜x＜a2＋2}，
当3a＋1＞2，即a＞时，{x|＜0}＝{x|2＜x＜3a＋1}，
∴，
解得＜a≤；
当3a＋1＝2，即a＝时，{x|＜0}＝ ，符合题意；
当3a＋1＜2，即a＜时，{x|＜0}＝{x|3a＋1＜x＜2}，
∴，
解得－≤a＜.
综上得，a∈[－，].
(教师用书独具)
设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
【思路探究】 先由必要性求出n值，再验证所求得的n值满足充分性．
【自主解答】 ∵x2－4x＋n＝0有整数根，
∴x＝
＝2±，
∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，
∴n＝3或n＝4.
当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；
当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.
∴n＝3或n＝4.
【答案】 3或4
在一些充要条件的命题中往往是“A的充要 ( http: / / www.21cnjy.com )条件是B”，这种情况下的条件实际是B，结论是A，因此其充分性是B A，必要性是A B．在寻求A成立的充要条件时，可先由A B，再验证B A.21世纪教育网版权所有
函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π的充要条件是a＝________.
【解析】 f(x)＝cos 2ax，
由f(x)的最小正周期是π，得＝π，∴a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝cos 2x；
当a＝－1时，f(x)＝cos(－2x)＝cos 2x.
∴当a＝±1时，f(x)的最小正周期都是＝π.
∴a＝±1.
【答案】 ±1
§3全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
3．3 全称命题与特称命题的否定
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．
3．情感、态度与价值观
通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．
●重点难点
重点：理解全称量词和存在量词．
难点：1.含有一个量词的命题的否定．
2．含有一个量词的命题的真假判断．
教学时，要从学生的认知水平入手，通过几 ( http: / / www.21cnjy.com )组例子，引导学生观察、比较、分析，来理解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方法，从而突出重点，化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，在教师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假判断方法为探究内容，让学生通过个人探究、小组讨论等多种解难释疑的尝试活动去发现方法、总结规律，通过例题与练习让学生在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的认识．
●教学流程
通过实例
引入课题全称量词与存
在量词的意义―→全称命题与特
称命题的定义全称命题与特称命
题的真假判断方法含有一个量词
的命题的否定―→小结
课标解读 1.理解全称量词和存在量词的意义．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)3．能判断含有一个量词的命题的真假．(难点)
全称命题与特称命题
【问题导思】
下面有两个命题：
①高二(1)班的每一位学生的年龄都不小于15岁；
②高二(1)班存在一位学生的年龄不小于15岁．
(1)这两个命题的含义相同吗？
【提示】 不同．
(2)造成含义不同的原因是什么？
【提示】 这两个命题使用了不同的量词．命题①使用的量词是“每一位”；命题②使用的量词是“存在一位”，二者表达的含义不同．21教育名师原创作品
1．全称量词与全称命题
“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指
定范围内，表示整体或全部的含义，这样的量词叫做全称量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．存在量词与特称命题
“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
全称命题与特称命题的否定
【问题导思】
下面有两个命题：
①对任意x∈R，都有2x＞0；
②存在x0∈R，使2x0≤0.
(1)从形式上看，这两个命题有什么不同？
【提示】 ①是全称命题，判断词是“＞”；
②是特称命题，判断词是“≤”．
(2)从意义上看这两个命题有什么不同？
【提示】 意义相反，即命题②是命题①的否定，同时，命题①也是对命题②的否定．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
全称命题、特称命题及其真假判断
指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．
(1)对任意实数x，都有x2＋1＞0.
(2)存在一个自然数小于1.
(3)菱形的对角线相等．
(4)至少有一个实数x0，使sin x0＋cos x0＝.
【思路探究】 着眼点量词命题类型正(反)例命题真假
【自主解答】 (1)全称命题．由x2≥0，知x2＋1＞0，所以(1)是真命题．
(2)特称命题．由于0∈N，且0＜1，所以(2)是真命题．
(3)全称命题．由于有一个角为60°的菱形对角线不等，所以(3)是假命题．
(4)特称命题．由于sin x＋cos x＝sin(x＋)≤＜，所以(4)是假命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．
2．要判断全称命题“对任意x∈M，p(x)成 ( http: / / www.21cnjy.com )立”是真命题，需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．21教育网
要判断特称命题“存在x∈M，使p(x)成立”是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，否则，这一命题就是假命题．
判断下列命题的真假．
(1)对任意的x∈R,2x≥1.(2)对任意的x∈N,2x≥1.
(3)存在x0∈Z，使x＜1.(4)存在x0∈Q，使x＝2.
【解】 (1)当x＝－1时，2x＝＜1，故(1)是假命题．
(2)由于x∈N，所以x≥0，所以2x≥1，故(2)是真命题．
(3)当x0＝0时，x＝0＜1，故(3)是真命题．
(4)由x2＝2，得x＝±，又因± Q，故(4)是假命题．
全称命题与特称命题的否定
写出下列命题的否定．
(1)所有的矩形都是平行四边形．
(2)存在x0，使sin2x0＋cos2x0≠1.
【思路探究】 着眼点改变量词否定判断词
【自主解答】 (1)命题的否定为：存在一个矩形不是平行四边形．
(2)命题的否定为：对任意x，sin2x＋cos2x＝1.
1．弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提．
2．全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定．
提醒：由于有些命题的全称量词可以省略不写，在对其否定时，易出现只否定判断词，而不改变省略了的全称量词的错误．【来源：21cnj*y.co*m】
命题“对任意x∈R，x＞sin x”的否定是( )
A．存在x0∈R，使x0＜sin x0
B．对任意x∈R，x≤sin x
C．存在x0∈R，使x0≤sin x0
D．对任意x∈R，x＜sin x
【解析】 将量词“任意”改成“存在”，并将判断词“＞”改成“≤”．
【答案】 C
含有一个量词的命题的应用
已知命题p：存在x0∈R，使x＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，试求实数a的取值范围．
【思路探究】 p假→p的否定真→a满足的条件→a的取值范围
【自主解答】 命题p的否定：对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0.
由p假，知p的否定真．
∴Δ＝4a2－4a＜0.
解得0＜a＜1.
即a的取值范围为(0,1)．
1．对任意x∈A，f(x)≥M f(x)min≥M；
存在x0∈A，f(x)≥M f(x)max≥M.
2．当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解．
将例3中的“命题p是假命题”改为“命题p是真命题”，如何求a的取值范围．
【解】 由p真，得Δ＝4a2－4a≥0，
解得a≥1或a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞).
对含有量词的命题否定不当致误
命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是( )
A．存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根
B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根
C．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根
D．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根
【错解】 错解一 将“任意”改成“存在”，并把“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选A.
错解二 将“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选B．
错解三 将“任意”改为“存在”，故选D．
【答案】 A或B或D
【错因分析】 (1)错解一否定了条件．
(2)错解二没有改变量词．
(3)错解三没有否定判断词．
【防范措施】 (1)弄清是全称命题还是特称命题，是求解此类问题的关键．
(2)全(特)称命题的否定既要改变量词，又要否定判断词，但不能否定条件．
【正解】 将“任意”改为“存在”，并把“方程x2＋x－k＝0有实根”否定，故选C.
【答案】 C
1．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词．
(3)否定结论．
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．
2．对含有一个量词的命题真假的判定，要用好正例与反例．
3．在综合问题中，会经常遇到这样两类问题：(1)由“恒成立”求字母参数的取值范围；
(2)探索“是否存在”的探究题．究其实质，也就是分别为全称命题和特称命题，应按全称命题和特称命题的真假进行讨论.
1．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
【解析】 将“存在”改成“任意”，并把“x＞1”改成“x≤1”．
【答案】 C
2．下列命题中是假命题的是( )
A．对任意x∈(0，)，x＞sin x
B．存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2
C．对任意x∈R,3x＞0
D．存在x0∈R，使lg x0＝0
【解析】 sin x0＋cos x0＝sin(x0＋)≤.故选B．
【答案】 B
3．已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知得，命题“对任意x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3.
【答案】 (－1,3)
4．对任意实数x，sin x＋cos x＞m恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 ∵sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
∴m＜－.
即实数m的取值范围是(－∞，－).
一、选择题
1．(2012·湖北高考)命题“ x0∈ RQ，x∈Q”的否定是( )
A． x0 RQ，x∈Q
B． x0∈ RQ，x Q
C． x RQ，x3∈Q
D． x∈ RQ，x3 Q
【解析】 根据对命题的否定知，是把量词取否定，然后把结论否定，因此选D．
【答案】 D
2．下列命题中真命题是( )
A．存在x∈Z，使1＜4x＜3
B．存在x∈Z，使2x－1＝0
C．对任意x∈R,2x＞x2
D．对任意x∈R，x2＋1＞0
【解析】 当x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0.
【答案】 D
3．命题p：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )
A．p是假命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1
B．p是假命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
C．p是真命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1
D．p是真命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
【解析】 0＜log32＜1，∴y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(log32)x在[0，＋∞)上单调递减，0＜y≤1，∴p是真命题；“对任意”的否定为“存在”，“≤”的否定为“＞”，故选C.
【答案】 C
4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 改变量词并否定判断词．
【答案】 D
5．非空集合A、B满足A?B，下面四个命题中正确的个数是( )
①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x A，使x∈B；
③存在x B，使x∈A；④对任意x B，都有x A.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 根据A?B知，①②④正确，③错误．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
【解析】 改变量词并否定判断词．
【答案】 存在向量a，使零向量与向量a不共线
7．若对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a＝0时，x＜0，不合题意．
当a≠0时，，解得a＜－1.
综上得，a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)
8．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a≤0时，取x0＝－1，得ax＋2x0＋a＝2a－2≤－2＜0.
当a＞0时，Δ＝4－4a2＞0，即0＜a＜1.
综上得，a＜1.
【答案】 (－∞，1)
三、解答题
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有惟一解．
(2)存在实数x0，使得＝.
【解】 (1)该命题是全称命题．
当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．
(2)该命题是特称命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴≤＜.
故该命题是假命题．
10．写出下列各命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．
(2)存在一个实数x0，使()x0＞1.
【解】 (1)命题的否定：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0无实根．假命题．
(2)命题的否定：对任意实数x，()x≤1.假命题．
11．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．
【解】 令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.
要使上式在t∈(0,2]上恒成立，
只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．
∵f(t)＝＝()2＋＝(＋)2－，
且∈[，＋∞)，∴f(t)min＝f(2)＝.
∴a2－a＜.
∴－＜a＜.
所以a的取值范围是(－，).
(教师用书独具)
命题“存在x∈R，使x2＞3成立”不能表述为( )
A．有一个x∈R，使x2＞3成立
B．对有些x∈R，使x2＞3成立
C．任选一个x∈R，使x2＞3成立
D．至少有一个x∈R，使x2＞3成立
【解析】 已知的命题是特称命题，而选项C是全称命题，故选C.
【答案】 C
一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述，如下：
命题 全称命题“对任意 x∈M，p(x)” 特称命题“存在 x∈M，q(x)”
表述方式 所有的x∈M，p(x)成立 存在x∈M，使q(x)成立
对一切x∈M，p(x)成立 至少有一个x∈M，使q(x)成立
命题 全称命题“对任意 x∈M，p(x)” 特称命题“存在 x∈M，q(x)”
表述方式 对每一个x∈M，p(x)成立 对有些x∈M，使q(x)成立
任选一个x∈M，p(x)成立 对某个x∈M，使q(x)成立
凡x∈M，都有p(x)成立 有一个x∈M，使q(x)成立
用“存在”或“任意”表述下列命题：
(1)有理数是实数．
(2)不等式x2＜1有负数解．
【解】 (1)任意一个有理数都是实数；(2)不等式x2＜1存在负数解．
§4逻辑联结词“且”“或”“非”
4．1 逻辑联结词“且”
4．2 逻辑联结词“或”
4．3 逻辑联结词“非”
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．
(2)会判断含有逻辑联结词的命题的真假．
2．过程与方法
通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的学习，让学生会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容．
3．情感、态度与价值观
能够运用逻辑联结词分析数学和日常生活中的问题，增强思维的敏锐性、准确性．
●重点难点
重点：逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．
难点：含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假的判断．
由于逻辑联结词是逻辑知识的基础，也是学 ( http: / / www.21cnjy.com )生能否掌握和判断一个事物并形成正确的逻辑思维能力的关键，所以逻辑联结词“或”“且”“非”的含义以及含有逻辑联结词的复合命题的理解和应用应是本节的重点，也是本节的难点．21cnjy.com
为了突出重点，突破难点，在教学上可采取以下的措施：
(1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察、探讨、联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想．
(2)通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点．
(教师用书独具)
●教学建议
依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他 ( http: / / www.21cnjy.com )们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主、讲解法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
为此，在教学活动中，通过列举两组例 ( http: / / www.21cnjy.com )子，让学生观察，找出两组例子的区别和联系，从中发现问题，并通过简单的指导，启发学生与已有的知识做模拟，来加深对理性知识的理解．现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键、因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察、分析讨论、模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用．
●教学流程
从分析命题中的联结词，引入课题从集合角度认识逻辑联结词的数学意义通过例题，探究简单命题的复合，深化对逻辑联结词的认识含有逻辑联结词的命题的真假判断方法―→反馈矫正―→归纳总结
课标解读 1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．(重点)2．会判断含“且”“或”“非”的命题的真假．(难点)
逻辑联结词“且”
【问题导思】
在A∩B的定义中，“且”的含义是什么？
【提示】 “且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要满足．
用“且”联结两个命题p和q，构成一 ( http: / / www.21cnjy.com )个新命题“p且q”．当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题．
逻辑联结词“或”
【问题导思】
在A∪B的定义中，“或”的含义是什么？与生活中的“或”含义相同吗？
【提示】 “或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个是成立的．
二者含义不同，生活中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”表示“可兼有”．
用“或”联结两个命题p和q，构成一个 ( http: / / www.21cnjy.com )新命题“p或q”．在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．
逻辑联结词“非”
【问题导思】
若命题p对应集合P，则命题非p对应的集合是什么？
【提示】 UP.
对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”．
在命题和它的非命题中，有且只有一个是真命题.
用逻辑联结词构造新命题
分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题．
(1)p：是无理数，q：大于1；
(2)p：x2＋1＞2x，q：x2＋1＜2x.
【思路探究】 (1)“p且q”形式的命题怎样用更简捷的形式表达？
(2)“x2＋1”与“2x”的大小关系有几种？
【自主解答】 (1)“p或q”：是无理数或大于1；
“p且q”：是无理数且大于1；
“綈p”：不是无理数．
(2)“p或q”：x2＋1≠2x；
“p且q”：x2＋1＞2x且x2＋1＜2x；
“綈p”：x2＋1≤2x.
命题的否定与命题的否命题的区别：
命题 命题的否定 命题的否命题
若p，则q 若p，则綈q 若綈p，则綈q
在一次模拟射击游戏中，小李连 ( http: / / www.21cnjy.com )续射击了两次．设命题p1：“第一次射击中靶”，p2：“第二次射击中靶”，试用p1，p2及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示下列命题：
(1)两次射击均中靶；(2)两次射击均未中靶；(3)两次射击恰好有一次中靶；(4)两次射击至少有一次中靶．www-2-1-cnjy-com
【解】 (1)p1且p2.(2)綈p1或綈p2.(3)“綈p1且p2”或“p1且綈p2”．(4)p1或p2.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
已知p： ?{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p且q”，“p或q”中，真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【思路探究】 先判断p、q的真假，然后根据真值表判断新命题的真假．
【自主解答】 ∵p是真命题，q是假命题．
∴命题“綈q”，“p或q”是真命题．
【答案】 B
含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：
(1)确定它的构成形式；
(2)判断其中简单命题的真假；
(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假．
若命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题．
【解析】 ∵命题“綈p”是真命题 ∴p是假命题．
又命题“p或q”是真命题∴q是真命题．
【答案】 真
逻辑联结词的应用
已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【思路探究】 判断p、q
的真假
,q真a的范围a的范围a的
范围
【自主解答】 由“p且q”是真命题，知：p，q均为真命题．
若p为真命题，则a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1.
若q为真命题，则方程x2＋2ax＋2－a有实根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，
综上，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
1．正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键．由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p，q至少一真．
2．充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集．
已知命题p：对任意x∈[1 ( http: / / www.21cnjy.com ),2]，x2－a≥0.命题q：存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
【解】 ∵对任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，∴a≤1.
即p∶a≤1，∴綈p∶a＞1.
又存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，∴a＞3或a＜－1，
即q∶a＞3或a＜－1，∴綈q∶－1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．
当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|a＜－1或a＞3}＝{a|a＞3}．
综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a＞3}.
将命题的否定与否命题混淆致误
命题“若a＞b且b＞c，则a＞c”的否定是
( )
A．若a＞b且b＞c，则a≤c
B．若a＞b且b＞c，则a＜c
C．若a≤b或b≤c，则a≤c
D．若a≤b或b≤c，则a＜c
【错解】 由于a＞b且b＞c的否定是a≤b或b≤c，a＞c的否定是a≤c.根据命题否定的定义，应选C.
【答案】 C
【错因分析】 将命题的否定与否命题混淆致误．
【防范措施】 弄清命题的否定与否命题的区别，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，否定是“若p，则綈q”．
【正解】 由于a＞c的否定是a≤c，根据命题的否定的定义知应选A.
【答案】 A
1．根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的新命题的真假时，要掌握其真假与简单命题真假关系的规律．
2．理解“且”“或”“非”与集合的“交”“ ( http: / / www.21cnjy.com )并”“补”之间的关系．建立命题“运算”和集合运算的关系，有利于从集合的角度进一步认识有关逻辑联结词的意义．
3．判断一个命题是简单命题还是由简单命题构成 ( http: / / www.21cnjy.com )的新命题(复合命题)时，不能只从字面上看是否含有“且”“或”“非”字样，需要掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“或者”“x＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“綊”的含义为“且”；“不是”“≠”的含义为“非”．
4．逻辑联结词“或”“且”“非”的意义与日常生活中的“或”“且”“非”的含义不同，应注意其区别.
1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”使用逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
【解析】 该命题即为“菱形的对角线互相垂直且互相平分”，故该命题使用了逻辑联结词“且”．
【答案】 B
2．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x、y至少有一个不为0 D．x、y不都是0
【解析】 xy≠0 x≠0且y≠0，故选A.
【答案】 A
3．命题p：0不是自然数，命题q HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ：是无理数，则在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中，真命题是________，假命题是________．
【解析】 命题p是假命题，命题q是真命题，故命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，“非p”是真命题，“非q”是假命题．
【答案】 “p或q”“非p” “p且q”“非q”
4．已知命题p：方程x2＋m ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1＝0有两个不相等的实根，命题q：不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋1＜0对任意的实数x恒成立．若“p或q”为假，求实数m的取值范围．
【解】 由于方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，所以m2－4＞0，∴m＜－2或m＞2.
又不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋1＜0恒成立，
∴∴m＜－1.
∵“p或q”为假，∴p，q都为假．
由得－1≤m≤2.
所以实数m的取值范围为{m|－1≤m≤2}.
一、选择题
1．已知原命题是“若r，则p或q”，则这一命题的否命题是( )
A．若綈r，则p且q B．若綈r，则綈p或綈q
C．若綈r，则綈p且綈q D．若綈r，则綈p且q
【解析】 “p或q”的否定为“綈p且綈q”．根据否命题的定义知：选项C正确．
【答案】 C
2．(2013·湖北八校联考)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p或q是假命题 B．p且綈q是假命题
C．綈p或綈q是真命题 D．綈p且q是真命题
【解析】 由真值表知：选项C正确．
【答案】 C
3．(2013·湖北高考)在一次 ( http: / / www.21cnjy.com )跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
【解析】 依题意得綈p：甲没有降落在指定范 ( http: / / www.21cnjy.com )围，綈q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
【答案】 A
4．如果命题“綈(p或q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )
A．p、q均为真命题
B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题
D．p、q中至多有一个为真命题
【解析】 由“綈(p或q)”是假命题，知：命题“p或q”为真，所以p、q中至少有一个为真命题．
【答案】 B
5．已知命题p：存在x0∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (0，)，使sin x0＋cos x0＜1，命题q：对任意x∈(－∞，0)，2x＞3x.则下列命题为真的是( )
A．p且q B．p或(綈q)
C．p且(綈q) D．(綈p)且q
【解析】 p假，q真，由真值表，易知(綈p)且q为真．故应选D．
【答案】 D
二、填空题
6．分别用“p且q”“p或q”“非p”填空
(1)命题“2既是偶数又是质数”是________的形式．
(2)命题“±1是方程x2－1＝0的解”是________的形式．
(3)命题“－1≠1”是________的形式．
【解析】 用含逻辑联结词的定义求解．
【答案】 p且q p或q 非p
7．已知命题p：若x＞y，则x2＞y2，命题q：若x＞y，则x3＞y3.给出下列命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.
其中真命题是________．
【解析】 命题p是假命题，命题q是真命题，由真值表可知②③为真命题．
【答案】 ②③
8．已知命题p：对任意x＞1，x＋≥a，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由题意，存在x＞1，使x＋＜a，
又∵x＋＝(x－1)＋＋1≥2 ＋1＝3，∴a＞3.
【答案】 (3，＋∞)
三、解答题
9．写出下列各命题的否定．
(1)平行四边形中至少有一组对边平行；
(2)若A∪B＝B，则A B；
(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1且x≠2；
(4)若a＜1，则方程x2－2x＋a＝0至多有一解．
【解】 (1)命题的否定：平行四边形的两组对边都不平行；
(2)命题的否定：若A∪B＝B，则A B；
(3)命题的否定：若x2－x－2≠0，则x＝－1或x＝2；
(4)命题的否定：若a＜1，则方程x2－2x＋a＝0有两个不等的实数解．
10．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，且“p(1)且p(2)”是假命题，“綈p(2)”是假命题，求实数m的取值范围．
【解】 p(1)：3－m＞0，即m＜3.
p(2)：8－m＞0，即m＜8.
由已知得：p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴3≤m＜8.
故m的取值范围是[3,8)
11．已知命题p：c2＜c和命题q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0恒成立，已知p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．
【解】 由不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，
所以命题非p：c≤0或c≥1，
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
所以命题q：－＜c＜，
所以命题非q：c≤－或c≥，
由题知：p和q必有一个为真，一个为假．
当p真q假时，≤c＜1；当q真p假时，－＜c≤0，
故c的取值范围是(－，0]∪[，1).
(教师用书独具)
写出下列语句的否定：
(1)a＞0且b＞0；(2)a＞0或b＞0；(3)x＝±1.
【思路探究】 利用否定的数学意义进行否定．
【自主解答】 (1)a≤0或b≤0；(2)a≤0且b≤0；(3)x≠1且x≠－1.
1．“p且q”的否定是“綈p或綈q”，“p或q”的否定是“綈p且綈q”．
2．下面是一些常用词语和它的否定：
关键词 等于 能 至少有一个 都是 没有 大于 至多有一个
否定词 不等于 不能 一个都没有 不都是 至少有一个 不大于 至少有两个
写出下列语句的否定：
(1)a、b、c都是正数；(2)x1，x2，…，x10中，至少有5个数大于0.
【解】 (1)a、b、c不都是正数；(2)x1，x2，…，x10中，至多有4个数大于0.
常用逻辑用语命题及
其关系四种
命题原命题等价逆命题否命题逆否命题条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件量词全称量词全称命题含有一个
量词的命
题的否定应用存在量词特称命题简单的逻
辑联结词且非或构成三
个命题p且q綈pp或q
四种命题及其关系
1.命题的四种形式：
原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.
2．四种命题之间的关系：
原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，利用这种等价关系进行命题的转换，可使求解化难为易，化繁为简．
已知某班学生报考大学的情况是：
(Ⅰ)报考A大学的人未报考B大学；
(Ⅱ)报考B大学的人也报考了D大学；
(Ⅲ)报考C大学的人未报考D大学；
(Ⅳ)未报考C大学的人报考了B大学．
根据以上情况判断如下命题是否正确，并说明理由．
(1)报考D大学的人也报考了A大学；
(2)没有人同时报考B和C大学．
【思路点拨】 从以下两点考虑：
(1)将条件与结论分别看成命题．
(2)利用原命题与它的逆否命题是等价命题来判断．
【规范解答】 报考A大学的记为A，未报考A大学的记为綈A；
报考B大学的记为B，未报考B大学的记为綈B；
报考C大学的记为C，未报考C大学的记为綈C；
报考D大学的记为D，未报考D大学的记为綈D；
则由已知条件得：(Ⅰ)A 綈B；(Ⅱ)B D；(Ⅲ)C 綈D；(Ⅳ)綈C B．
(1)由互为逆否命题的等价性知：B 綈A，綈D 綈B，D 綈C，綈B C.
D 綈C，綈C B，又B 綈A，则有D 綈A，所以第一个命题不正确；
(2)由B D，D 綈C知第二个命题正确．
在例1的条件下，判断如下命题是否正确，并说明理由．
报考B大学的人与报考D大学的人相同．
【解】 由D 綈C，綈C B及B D可知B、D可互推，所以该命题正确.
充分条件、必要条件的判断
处理充要条件的问题，首先要弄清充分 ( http: / / www.21cnjy.com )条件、必要条件、充要条件的概念，其次要会利用“定义法”“集合法”“四种命题关系法”“逆推法”来判定充要条件的问题．
已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路点拨】 进行充要关系的判断的关键是①分清条件和结论；②判断条件能否推出结论以及结论能否推出条件．
【规范解答】 当a＞0，b＞0时，有a＋b＞0且ab＞0，充分性成立．
当a＋b＞0且ab＞0时，a＋b＞0，得a，b中至少有一个为正，由ab＞0，得a，b同号，因此a，b同正，即a＞0，b＞0，必要性成立．
所以，“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充分必要条件．
【答案】 C
是的什么条件？说明理由．
【解】 当时，有x＋y＞4，xy＞4，即必要性成立．
反之不一定成立，例如，当x＝1＜2，y＝5＞2时，有x＋y＝6＞4，xy＝5＞4，但不成立，即充分性不成立．
所以，是的必要不充分条件.
全称命题与特称命题
全称命题和特称命题的否定具有特定的形式：
全称命题“对任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，綈p(x)”；
特称命题“存在x∈M，p(x)”的否定是“对任意x∈M，綈p(x)”．
对全称命题与特称命题真假的判断要用好正例与反例．
对命题“a，b是异面直线，存在直线c，使c⊥a，且c⊥b”进行否定．
【思路点拨】 这是一个特殊命题，“a，b是异面直线”是大前提．
【规范解答】 其否定是：a，b是异面直线，对任意直线c，c不垂直于a，或c不垂直于B．
对命题“若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0”进行否定．
【解】 其否定是：若a＞0，且a≠1，则存在实数x0，使≤0.
转化与化归思想的应用
本章中转化与化归思想主要体现在：
(1)原命题与其逆否命题之间的等价转化．
(2)命题的等价性与充要条件之间的等价转化．
(3)充要条件与集合包含关系之间的转化．
(4)p与綈p的转化．
判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【解】 法一 (直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a＜1，
则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a＜1，∴4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
法二 利用原命题的真假判断
∵a、x为实数，
且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥＞1，
∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，
∴逆否命题为真．
法三 (利用集合的包含关系求解)
命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．
命题q：a≥1.
∴p：A＝{a|关于x的不等式x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝{a|a≥}，q：B＝{a|a≥1}．
∵A B，∴“若p，则q”为真，
∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．
即原命题的逆否命题为真．
判断命题“若x≠±3，则x2－9≠0”的真假．
【解】 其逆否命题为：若x2－9＝0，则x＝±3.
易知该命题是真命题．
所以原命题是真命题．
综合检测(一)
第一章 常用逻辑用语
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)
1．命题“对任意x＞0，x2＋x＞0”的否定是( )
A．存在x＞0，x2＋x＞0 B．任意x＞0，x2＋x≤0
C．存在x＞0，x2＋x≤0 D．任意x≤0，x2＋x＞0
【解析】 先把任意“任意”改为存在“存在”，再把结论给予否定．
【答案】 C
2．下面有两个命题：
①当a＞0且a≠1时，存在一个实数x0，使ax0≤0.②负数的立方是负数．对这两个命题的类型判断正确的是( )
A．①是全称命题，②是特称命题
B．①是特称命题，②是全称命题
C．①②都是特称命题
D．①②都是全称命题
【解析】 命题①含有存在量词“存在一个”，所以命题①是特称命题；命题②省略了全称量词“任何一个”，所以命题②是全称命题．
【答案】 B
3．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】 命题“p且q”为真命题的含义 ( http: / / www.21cnjy.com )是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y＝2x－3上，又在直线y＝－3x＋2上，即点P是这两条直线的交点．
【答案】 C
4．设a、b∈R，那么ab＝0的充要条件是( )
A．a＝0且b＝0 B．a＝0或b≠0
C．a＝0或b＝0 D．a≠0且b＝0
【解析】 由ab＝0，知a、b至少有一个为0.
【答案】 C
5．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 x＝2kπ＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" tan x＝tan(2kπ＋)＝tan＝1，而tan x＝1 x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝2n＋1时 / x＝2kπ＋.
【答案】 A
6．下列命题中，真命题是( )
A．存在x∈[0，]，sin x＋cos x≥2
B．任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1
C．存在x∈R，x2＋x＝－1
D．任意x∈(，π)，tan x＞sin x
【解析】 对于A，sin x＋cos x＝sin(x＋)≤，因此命题不成立；
对于B，x2－(2x＋1)＝(x－1)2－2，显然当x＞3时(x－1)2－2＞0，因此命题成立；
对于C，x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，因此x2＋x＞－1对于任意实数x成立，所以命题不成立；
对于D，当x∈(，π)时，tan x＜0，sin x＞0，显然命题不成立．
【答案】 B
7．若集合A＝{1，m2}，集合B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由A∩B＝{4}，得m2＝4，m＝±2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件． 21*cnjy*com
【答案】 A
8．下列四个命题
p1：存在x∈(0，＋∞)，()x＜()x；
p2：存在x∈(0,1)，logx＞logx；
p3：对任意x∈(0，＋∞)，()x＞logx；
p4：对任意x∈(0，)，()x＜logx.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
【解析】 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D．
【答案】 D
9．“m＝1”是“f(x)＝是奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由f(－x)＝－f(x)，得(m2－1)2x＝0，
又∵2x≠0，∴m2－1＝0，m＝±1，故选A.
【答案】 A
10．已知集合A＝{x∈ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2
C．m＞2 D．－2＜m＜2
【解析】 A＝{x∈R|＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}．
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A B，
∴m＋1＞3，即m＞2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．下列结论：
①若命题p：存在x∈R，tan x＝1，命题q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则命题“p且綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 当a＝b＝0时，l1⊥l2，所以②是假命题，①③是真命题，故填①③.
【答案】 ①③
12．已知命题p：任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 若命题非p是假 ( http: / / www.21cnjy.com )命题，则命题p是真命题，即关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，而m＝－4x＋2x＋1＝－(2x－1)2＋1，所以m≤1.
【答案】 (－∞，1]
13．有三个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．
其中真命题的个数为________．
【解析】 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．
【答案】 1
14．设p：(4x－3)2≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，
∴∴0≤a≤.
【答案】 [0，]
三、解答题(本大题4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分12分)(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：(3x－4)2＞4，q：＞0，则非p是非q的什么条件？
【解】 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，
∴两条直线垂直．∴p q，
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直，
∴q / p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)解不等式(3x－4)2＞4得p：{x|x＞2或x＜}，
∴綈p：{x|≤x≤2}，
解不等式＞0，得q：{x|x＞2或x＜－1}，
∴綈q：{x|－1≤x≤2}，
∴綈p 綈q，綈q / 綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
16．(本小题满分12分)已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【版权所有：21教育】
【解】 p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0，
∵非p是非q的必要不充分条件，∴p q且q / p.
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．∴∴m≥9.
故m的取值范围是[9，＋∞)．
17．(本小题满分12分)已知c＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．
【解】 由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋≤，
要使此式恒成立，则2＞，即c＞.
又由p或q为真，p且q为假知p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，0＜c≤.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为{c|0＜c≤或c≥1}．
18．(本小题满分14分 ( http: / / www.21cnjy.com ))已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对任意x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．
【解】 ∵sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
∴当r(x)是真命题时，m＜－.
若对 x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1＞0恒成立，有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真，s(x)为假时，满足m＜－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2，
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2＜m＜2，
即－≤m＜2.
综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m＜2}．
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