2013年高中数学 1.4 3常用逻辑用语教案 新人教A版选修2-1

2013年高中数学 1.4 3常用逻辑用语教案 新人教A版选修2-1
本模块中，共有常用逻辑用语，圆锥曲线与方程，导数及其应用三个教学内容
第一部分 常用逻辑用语
学习逻辑用语的目的是不仅要了解数理逻辑的 ( http: / / www.21cnjy.com )有关知识，还要让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁. 因此，在教学过程中应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，而应该通过具体、生动的实例来使学生体会常用的逻辑用语，学习使用常用的逻辑用语，掌握常用逻辑用语，并在使用过程中纠正出现的逻辑错误.
知识要求及变化
课程标准要求与大纲比较
内 容 《课程标准》目标表述 《教学大纲》目标表述
命题及其关系 ①了解命题的逆命题，否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系. 掌握充要条件的意义，理解四种命题及其相互关系.
简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
与教学大纲相比较，课程标准强调逻辑用语的教 ( http: / / www.21cnjy.com )学通过数学实例来进行，通过恰当、准确的实例来让学生领悟命题之间的逻辑关系，避免纯粹逻辑关系的推理，抽象的解释、空对空的说教，避免学生养成机械记忆，刻板模仿的习惯.
《课题标准》弱化了对“充要条件”的要求，不要求学生证明诸如“已知x,y是非零实数，且x＞y，求证＜ 的充要条件是xy＞0”之类的问题.
全称量词与存在量词是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识这两类在现实生活中广泛使用的量词，会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法.
二、教学要求
1．命题及其关系
⑴ 本模块中的命题，一般是明确给出了条件和 ( http: / / www.21cnjy.com )结论的命题，要使学生了解什么是条件，什么是结论，会将一个命题分解成“若p，则q”的形式，例如指出“若整数a能被2整除，则a是偶数”中的p和q.
对于简单的，没有明显写成“若p，则q”形式的命题，也应分清条件与结论是什么，准确地分解成“若p，则q”的形式.
例如：将命题“对顶角相等”分解成“若p，则q”的形式.
⑵ 对命题的逆命题、否命题与逆否命题，只要求作一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时是非常困难和难以理解的.
在教学中应通过简单明了的实际例子，使学生体会四个命题的构成形式
⑶ 四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价性是本模块的重点.
教师应通过实际例子引导学生得出命题关系图.
② 使学生理解四种命题间的真假关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系，能利用这一等价关系转换角度、间接解决或证明一些问题.
例：证明 若p+q=2，则p+q≤2
分析：如果直接证明这个命题比较困难，现转化为对它的逆否命题的证明
证明：当p+q＞2时
p+q=+≥＞×2=2
∴ p+q＞2
∴ p+q≠2
∴ 逆否命题为真命题
∴ 若p+q=2，则p+q≤2成立
⑷ 充分条件、必要条件、充要条件
充分条件、必要条件、充要条 ( http: / / www.21cnjy.com )件是本模块中的重点内容，要求学生熟练掌握三者之间的关系，并能解决相关问题，这里不强调对充要条件的证明，但要能结合实际例子判断两命题之间的关系.
例：①“ac＞bc”是“a＞b”的　　　　　　　条件；
②“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　　　条件；
③已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则p是q的　　　　　　　条件.
2．逻辑联结词“或”、“且”、“非”
让学生了解逻辑联结词“或”，“且”“非 ( http: / / www.21cnjy.com )”的含义，了解三者的含义，主要目的是让学生学会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容，因此内容设计上要求通过具体的数学实例来展开，避免抽象讨论.
⑴ 不要求引入和使用真值表，避免学生机械记忆.
⑵ 应该让学生明白“p或q”，“p ( http: / / www.21cnjy.com )且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
⑶ 让学生掌握识别判断复合命题的形式的能力，并能结合具体例子判断命题真假.
例：①小李是老师，小赵也是老师（p且q）；
②他是运动员兼教练员（p 且q）；
③1是质数或合数(p或q，假命题)，10不是5的倍数（非p，假命题）.
⑷ 教学中不要求写出“或命题”，“且命题”的否定命题.
例如：不要求写出“10是4或5的倍数”的否命题.
⑸ 教学中，要注意“”、“”、“≤”、“≥”、“”，“交”、“并”、“补”符号联结的命题与“或”、“且”、“非”的关系.
例：{1，2}{1，2，3}（p或q ,真命题）；
3≥3（p或q，真命题）；
A∩B（p且q）.
3．全称量词与存在量词
⑴ 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题.
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等.
特称量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等.
⑵ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
例：我们班学生都是团员.
正确否定： ① 我们班学生不都是团员；
② 我们班有学生不是团员.
错误否定：我们班学生都不是团员.
重点和难点
一、《常用逻辑用语》的教学重点
1．命题的概念和四种命题（这里的原命题是指明确地给出条件和结论的命题）的关系.
2．充分条件、必要条件、充要条件的意义
3．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
4．理解全称量词与存在量词的意义、能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
二、《常用逻辑用语》的教学难点
1．必要条件概念的理解；
2．用逻辑联结词“或”、“且”、“非”简洁、准确地表述或命题、且命题、否命题等命题，以及对新命题真假的判断.
3．全称命题和特称命题真假的判定，以及含有一个量词的命题的否定.
第二部分 圆锥曲线
知识要求及变化
一、课程标准要求与大纲比较
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质；通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合思想；了解圆锥曲线的简单应用. 掌握椭圆定义、标准方程和椭圆的简单几何性质理解椭圆参数方程；掌握双曲线定义，标准方程和双曲线几何性质；掌握抛物线定义，标准方程和抛物线几何性质；了解圆锥形成的简单应用；结合教学内容、进行运动、变化观点的教育.
与《教学大纲》相比较，《课程标准》 ( http: / / www.21cnjy.com )更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景，在《教学大纲》中，所有学生都要求学习椭圆、抛物线和双曲线的定义和几何性质，层次性体现不够，要求相对单一，而在《课程标准》中，这方面就相对有层次，对于希望在人文，社会科学等方面发展的学生来说，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其它的圆锥曲线只要作一般性的了解，这样做在很大程度上关注了学生自身的发展与需要.
在引入圆锥曲线时，《课程标准》强调要让学生了解圆锥曲线的背景与应用，目的是让学生更深刻地了解学习圆锥曲线的必要性，在教学内容设计上要求通过丰富的实例来展开内容，如行星运行轨道，抛物线运动轨迹，探照灯的镜面等，增强了学生学习圆锥曲线的兴趣，而不是为学习圆锥曲线而学习圆锥曲线.
《课程标准》要求学生能够经历椭圆曲线的形成过 ( http: / / www.21cnjy.com )程，目的是让学生对圆锥曲线的定义和几何背景有一个比较深入的了解，教学中必须使用实物模型，有条件的学校应充分发挥现代教育技术手段，向学生展示椭圆曲线的形成过程.
二、学习要求
1．让学生了解圆锥曲线的实 ( http: / / www.21cnjy.com )际背景，如开普勒发现行星绕太阳运行的轨道是一个轨圆平抛运动的物体轨迹是抛物线的一部分，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，开阔学生视野、增长见识、激发学习的兴趣和热情，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2．关于椭圆：
（1）对于椭圆的形成，《课程标准》要求学生能够经历这个过程，让学生身临其境去体会椭圆的定义和几何背景，老师应设计相应的实验并由学生动手参与操作完成.
例如：取一条定长的细绳， ( http: / / www.21cnjy.com )把它的两端都固定在图板上，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，让学生观察是什么图形，思考图形上的点有什么特点，感悟椭圆的形成过程，教师可相机提示学生注意到两定点距离之和与定长的大小关系，然后逐渐缩小两定点距离，让学生观察图形的变化特点，让学生思考如果两定点重合，画出的又将是什么图形.
（2）本章中研究的椭图，仅限于中心在原点，长轴和短轴在坐标轴上的椭圆，即形如“=1或=1(a＞b＞0)”的椭圆.
（3）椭圆作为本章的重点，必须使学生掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握定义、标准方程、图象，以及简单的几何性质：横坐标、纵坐标范围、对称性、顶点，离心率，离心率对椭圆“圆扁”程度的影响.
例：求椭圆4x+9y=36的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标
解：已知方程可化为标准方程
=1
∴ a=3, b=2, c==
∴ 长轴2a=6，短轴2b=4，离心率e==，两焦点坐标（，0）（-，0），四个顶点坐标（3，0），（-3，0），（2，0），（-2，0）.
（4）使学生了解椭圆的第二定义：到定点距离和定直线距离的比是定值e(0（5）让学生掌握求解简单轨迹方程的方法.
例：点A、B两点的坐标分别是（-1，0），（1，0）直线AM，BM相对于M，且斜率之积为-2，求点M的轨迹.
解：设M点坐标为（x,y）
则K=, K (X≠1)
∴ ·=-2 (X≠1)
∴ y=-2x+2
化简得 x+=1 (X≠1)
关于双曲线和抛物线
（1）双曲线的定义可类比椭圆，但要引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生思考定义中“到两定点距离的差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线”，为什么强调绝对值，不强调绝对值轨迹又是什么. 焦点的求法与椭圆相比较有什么区别，实轴是否一定比虚轴长，焦点位置对实轴和虚轴所在位置的影响等.
（2）了解双曲线的标准方程、定义， ( http: / / www.21cnjy.com )几何图形和简单几何性质，了解双曲线离心率和渐近线的意义，会求解渐近线，会利用渐近线解决双曲线的相关问题.
例1：双曲线的渐近方程是____________.
例2：已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线渐近线方程为y=x，焦点在x轴上，则离心率为__________，如果缺少条件“焦点在x轴上”，则离心率可能为___________.
（3）抛物线的生成可利用电脑信息技术，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果条件允许，通过几何画板的制作，学生可以从作法中了解曲线上的点所满点的几何条件，明确抛物线的定义.
（4） 使学生了解抛物线的定义，几何图形，标准方程，知道它们的简单几何性质，会求抛物线的准线和焦点，并能利用准线和焦点求解抛物线方程.
4.会判断直线与圆锥曲线的位置关系（相离、相切、相交），如果相交，会求相交弦的长度.
例1、过抛物线y=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为多少？
求解时注意渗透联立直线与圆锥曲线方程，用韦达定理求解交点弦的思想.
例2、已知抛物线的方程为y=4x，直线P过定点P（-2,1），斜率为K，当K为何值时直线P与抛物线：只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点（在求解上述问题时，应注意数形结合思想的渗透，并注意“一个交点”与“相切”的区别和联系）
5.在教学过程中，应该多结合一些圆锥曲线的应用实例，如天体运动，平抛物体运动轨迹，开拓学生视野，激发学习兴趣.
重点与难点：
重点:
①经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.
②了解双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何图形及有关性质；
③掌握圆锥曲线标准方程中a,b,c,p的几何意义；初步了解圆锥曲线的离心率；
④能用坐标法判断直线和圆锥直线的位置关系，会求动点轨迹.
难点:
椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的应用；
双曲线的标准方程程导与化简；
动点轨迹的求法.
第三部分 导数及其应用
知识要求和变化
一、《课程标准》处理方式上的特点
1．突出了导数概念的本质，以往教材在 ( http: / / www.21cnjy.com )编排上从极限概念开始学习，由于学生对极限念认识和理解有困难，影响了对导数本质的认识和理解. 因此《标准》在这部分的处理突出以下特点：不讲极限概念，没有把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，同时加强了对导数几何意义的理解.
2．强调导数在研究事物的变化率、变化的 ( http: / / www.21cnjy.com )快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性.
3．淡化计算. 针对以往这部分教学中的问题，《课程标准》对这部分内容的定位——强调对导数本质的认识，不仅仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想方法来学习，因此，在处理导数计算时，首先对几个常见的函数（如：y=c, y=x, y=x,y=）用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的导数和导数运算法则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，并明确指出“要避免过量的形式化运算练习”.
4．反复观察图形来认识和感受导 ( http: / / www.21cnjy.com )数的意义，以及用导数的几何意义法解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用，其目的之一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现几何直观这一重要思想方法对数学学习的意义和作用.
5．关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合. “算法”是高中课程中新增加的内容，《课程标准》明确指出：渗透算法思想是算法学习的一个重要方面，与信息技术的有机整合也是《课程标准》的一个基本理念. 在阅读材料中，通过介绍用切线法求方程的近似值，来渗透算法思想，以及信息技术的整合
二、教学要求
1．导数概念及其几何意义
（1）导数的概念要求通过实际背景和具体应用的实例引入，教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时速率的过程，知识瞬时变化率就是导数，通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵，帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用.
例1、 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如右图所示. 试问哪个企业治污效果好. （其中表示治污量）
（在处，虽然，然而
，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹）.
例2、我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的. 假设t秒后运动员相对地面的高度为：，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？
解：该运动员在2秒到2.1秒（记为[2，2.1]）的平均速度为
.
同样，可以计算出[2，2.01]，[2，2.001]，……的平均速度，也可以计算出[1.99，2]，[1.999，2]，……的平均速度.
时间 间隔 平均速度 时间 间隔 平均速度
[2，2.1] 0.1 -13.59 [1.9,2] 0.1 -12.61
[2，2.01] 0.01 -13.149 [1.99,2] 0.01 -13.051
[2，2.001] 0.001 -13.1049 [1.999,2] 0.001 -13.0951
[2，2.0001] 0.0001 -13.10049 [1.9999,2] 0.0001 -13.09951
[2，2.00001] 0.00001 -13.100049 [1.99999,2] 0.00001 -13.099951
…… …… …… …… …… ……
（2）通过函数图象直观地理解导数的几何意义
2．导数的计算
（1）能根据导数的定义，求函数y=c, y=x, y=x,y=的导数；
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
例：求函数y=x-2x+3的导数.
解：y′=(x)′-(2x)′+3′=3x-2.
（3）会使用导数公式表
3．导数在研究函数中的应用
（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
例. 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（ ）.
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）结合函数的图象，了解函数在某点取 ( http: / / www.21cnjy.com )得极值的必要条件和充要条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值.
例：求函数f(x)=x-4x+4的极值.
解：因为f(x)= x-4x+4, 所以
f′(x)=x-4=(x-2)(x+2)
令f′(x)=0
得x=2, x=-2
下面分两种情况讨论
⑴当f′(x)>0，即x>2或x<-2时
⑵当f′(x)<0，即-2>x<2时
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表
x (-,-2) -2 （-2，2） 2 （2，+）
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增↗ 单调递减 - 单调递增
因此，当x=-2，f(x)有最大值，并且极大值为
f(-2)=
当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为
f(2)= -
4．生活中的优化问题举例
例如通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.
例：有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒.
⑴试把方盒的容积V表示x的函数；
⑵求x多大时，做成方盒的容积V最大.
5．教学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化中的意义和价值.
教学重点与难点
重点：
⑴让学生了解导数概念的实际背景，知识瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及内容；
⑵用函数图象直观地理解导数的几何意义；
⑶求y=c, y=x, y=x,y=的导数；
⑷利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；
⑸用导数求函数的单调性，极大值，极小值；
⑹生化中的导数应用举例.
难点：
⑴导数的意义；
⑵用导数求函数的单调性、极大与极小值.
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若非p则非q
逆否命题
若非q则非p
互逆
互 互
互 为 为 互
否 逆 逆 否
否 否
互逆