2022—2023学年度第二学期期末考试试卷
高二（理科）数学（A）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知集合，，且，则m的值为（ ）
A． B．或 C．或或 D．或或或
2．已知命题p：，，则 p是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①函数与是同一个函数；②若，则或；③若随机变量，，则；④在回归分析模型中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好.
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
10．偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上).
13．函数的定义域为 .
14．设命题p：函数是增函数；命题q：方程表示椭圆. 若是真命题，则实数a的取值范围是 .
15．已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是 .
16．函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是 .
①既不是奇函数也不是偶函数；②的最小正周期为4；③在上单调递减；
④是的一个最大值；⑤.
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17．（本题12分）在数列中，，，设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
18．（本题12分）如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.
（1）证明：平面CBD⊥平面ABD；
（2）求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．
周平均阅读时间 语文成绩 少于 10小时 不少于 10小时 合计
低于75分
不低于75分 100
合计 250
19．（本题12分）某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加全市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，将调查结果整理成如下列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30% .
（1）完成列联表，并判断有多大的把握认为语文成绩与阅读时间有关？
（2）先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后再从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
附：，
20．（本题12分）已知椭圆C：的离心率是，点在C上．
（1）求C的方程；
（2）直线l:交C于P，Q两点(不同于点A)，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
21．（本题12分）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．
23．选修4—5：不等式选讲
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数m的取值范围．
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高二（理科）数学试卷（A）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B A D C B C A D C
13．； 14．； 15．； 16．②③⑤
17．（1）证明：
∴ 数列是等比数列；
（2），
18．（1）证明：取BD的中点O，
连接OC，OE
令，则
∵ E是AD的中点
∴
∵ BC⊥CD，，
∴ ，OC⊥BD
∵ ∴ OC⊥OE
∵ 平面ABD，
∴ OC⊥平面ABD
∵ 平面CBD， ∴ 平面CBD⊥平面ABD
（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则
，
平面ACD的法向量
直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.
19．（1）
周平均阅读时间 语文成绩 少于 10小时 不少于 10小时 合计
低于75分 200 150 350
不低于75分 50 100 150
合计 250 250 500
；
有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关
（2）在成绩不低于75分的样本中，抽取周阅读时间少于10小时的3人，抽取周阅读时间少于10小时的6人，故
，，
；
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
20．（1）由题意得：，，
椭圆C的方程为
（2）由题意得：
设，
由得：，
，
直线AP：
当时，，即M的坐标为
同理可得：N的坐标为
，即：
直线l过定点.
21．（1）
当时，，，
当时，，，
即：在上恒成立
所以在上的单调递增.
（2）方法一：
由得：
当时，恒成立，符合题意
令，
由（1）得：在上的单调递增，
①当时，
所以在上的单调递增
所以，符合题意
②当时，，
∴ 存在，使得
当时，；
所以在上的单调递减，
当时，，这不符合题意
综上，a的取值范围是.
方法二：
令，，
则，符合题意
，
由（1）得：在上恒成立，在上单调递增
所以，
所以在上单调递增，其图象是下凸的，如图：
所以，曲线在点处的切线方程为：
要使得在上恒成立
只需
所以，a的取值范围是.
22．（1）直线l的普通方程为
曲线C的直角坐标方程为
（2）设两点对应的参数分别为，
将l的参数方程代入得：，
23．（1）当时，
由绝对值的几何意义得：
不等式的解集为
（2）恒成立
或
m的取值范围是.
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