数学北师大版 九年级上册 第二章 一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）

第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、教学目标
1．能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程．
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
二、教学重点及难点
重点：会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单数字系数的一元二次方程．
难点：依据方程的特征，灵活选择方程的解法．
三、教学用具
多媒体课件.
四、相关资源
《因式分解法解一元二次方程》微课.
五、教学过程
【复习引入】
因式分解的方法有哪几种？
提公因式法、公式法
2．将下列各式在实数范围内因式分解：
（1）4x2-12x； （2）4x2-9； （3）(2x-1)2-(x-3)2．
3．判断正误：
（1）若ab=0，则a=0或b=0．（ ）．
（2）若(x+2)(x-5)=0，则x+2=0或x-5=0．（ ）．
（学生口答，教师点评）
4．解下列方程：
（1）2x2+x=0（用配方法）；（2）3x2+6x=0（用公式法）．
学生独立解方程，教师找学生代表回答．
答案：1．提公因式法、公式法．
2．（1）4x(x-3)；（2）(2x+3)(2x-3)；（3）(3x-4)(x+2)．
3．（1）对；（2）对．
4．（1）x1=0，x2=；（2）x1=0，x2=-2．
设计意图：回顾与复习因式分解的知识，为下一步学习作好准备，通过观察、讨论发现方程的特征，引导学生思考方程的特殊解法．
【探究新知】
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
师生活动：教师出示问题，学生倾听、思考，并尝试列方程．教师找有思路的学生讲述解题思路，并向用因式分解法解一元二次方程引导．
设计意图：创设问题情境，激发学生的好奇心和求知欲．
针对上面的问题，设这个数为x，
根据题意，得方程x2=3x，
整理得x2-3x=0
x（x -3）=0
x=0或x -3=0
所以x1=0或x2=3
像这样，先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解法求解．
设计意图：通过探究活动，激发学生学习新方法解一元二次方程的积极性和兴趣．教师和学生共同研究因式分解法解一元二次方程的过程，体验因式分解法解一元二次方程的妙用，从而获得成功的喜悦，提高学生学习的热情，体会用因式分解法“降次”的思想．出示题目后可以先让学生各自求解，然后交流，对学生的方法进步比较与评析，如果学生想不到因式分解的方法，再展示用因式分解法解方程。
【典例精析】
例 解下列方程：
（1）5x2=4x；（2）x(x-2)=x-2；（3）x2-4=0；（4）(x+1)2-25=0．
除了用因式分解法，还可以用其他方法吗？
教师分析：（1）先将原方程整理成5x2-4x=0，然后再分解因式；（2）把x-2看成一个整体，直接提出x-2分解因式；（3）和（4）用平方差公式分解因式．
解：（1）原方程可变形为5x2-4x=0，x(5x-4)=0．
x=0，或5x-4=0．∴x1=0，．
（2）原方程可变形为x(x-2)-(x-2)=0，(x-2)(x-1)=0．
x-2=0，或x-1=0．∴x1=2，x2=2．
（3）将原方程分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
于是得x+2=0，或x-2=0，x1=-2，x2=2．
（4）将原方程分解因式，得(x+1+5)(x+1-5)=0．
于是得x+6=0，或x-4=0，x1=-6，x2=4．
设计意图：主体探究、灵活运用因式分解法解一元二次方程，培养学生思维的灵活性．通过同一题的多种解法比较，使学生能根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法。
【课堂练习】
1．一元二次方程x2=2x的根是（ ）．
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2
2．用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成个一元一次方程，下列分解中正确的是（ ）．
A．x-5=0，x+2=0 B．x-1=3，x-2=4
C．x-1=2，x-2=6 D．x+5=0，x-2=0
3．方程3x(x+1)=3x+3的解是（ ）．
A．x=1 B．x= -1
C．x1=0，x2= -1 D．x1= -1，x2=1
4．一元二次方程x2-x-2=0的解是（ ）．
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2= -2
C．x1= -1，x2= -2 D．x1= -1，x2=2
5．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是________．
6．若x，y是互不相等的两个实数，且x2-y2-3(x-y)=0，求x+y的值．
7．用因式分解法解下列方程：
（1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；
（3）3x(2x+1)=4x+2．
师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．
教师引导：（1）此方程不需要去括号将方程变成一般形式，把x-2看作整体提公因式分解因式即可；（2）通过移项，构造平方差公式进行分解因式；（3）原方程的右边分解因式后变为3x(2x+1)=2(2x+1)，然后整体移项得到3x(2x+1)-2(2x+1)=0，把(2x+1)看作一个整体提公因式分解因式即可．
参考答案
C．2．A．
3．D．解析：方程3x(x+1)=3x+3可变形为3x(x+1)-3(x+1)=0．
分解因式，得3(x+1)(x-1)=0．所以x1= -1，x2=1．故选D．
4．D．解析：因为x2-x-2=0，所以(x+1)(x-2)=0．解得x1= -1，x2=2．故选D．
5．13．
6．解：x2-y2-3(x-y)=0，
(x+y)(x-y)-3(x-y)=0，
(x-y)(x+y-3)=0，
∴x-y=0，或x+y-3=0．∵x≠y，∴x+y=3．
7．解：（1）因式分解，得(x-2)(3-x)=0．
于是得x-2=0，或3-x=0，
x1=2,x2=3．
（2）原式可变形为(3x+2)2-4(x-3)2=0．
分解因式，得[(3x+2)+2(x-3)][(3x+2)-2(x-3)]=0，即(5x-4)(x+8)=0．
于是得5x-4=0，或x+8=0，
．
（3）原方程可变形为3x(2x+1)-2(2x+1)=0．
分解因式，得(3x-2)(2x+1)=0．
于是得3x-2=0或2x+1=0，
．
设计意图：复习巩固，掌握用因式分解法解一元二次方程．
六、课堂小结
本节课我们主要学习了：
1．因式分解法的概念：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2．因式分解常用的方法：（1）提公因式法；（2）平方差公式法和完全平方公式法；（3）十字相乘法．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解法的概念
2．因式分解常用的方法