"【高考调研】2014.2015学年高中数学 1.3.2 函数的奇偶性（第1课时）函数奇偶性的概念课时作业 新人教A版必修1 "
1．下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( )
A．y＝3x＋1 B．f(x)＝
C．y＝1－ D．f(x)＝x3
答案 D
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
答案 C
解析 ∵f(－a)＝－f(a)，即当x＝－a时，函数值y＝－f(a)，∴必过点(－a，－f(a))．
3．若函数f(x)＝则f(x)为( )
A．偶函数
B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 B
4．已知f(x)为奇函数，则f(x)－x为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数又不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 A
解析 令g(x)＝f(x)－x，g(－x)＝f(－x)＋x＝－f(x)＋x＝－g(x)．
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D． |f(x)|－g(x)是奇函数
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．
由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)．
由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
6．对于定义域为R的任意奇函数f(x)都恒成立的是( )
A．f(x)－f(－x)≥0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0
答案 C
解析 由f(－x)＝－f(x)知f(－x)与f(x)互为相反数，∴只有C成立．
7．如图是偶函数y＝f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( )
A．f(－1)－f(2)>0 B．f(－1)－f(2)＝0
C．f(－1)－f(2)<0 D．f(－1)＋f(2)<0
答案 C
解析 ∵y＝f (x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∵由图得f(x)在[1,3]上递增，
∴f(1)
8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0； ②f(x)－f(－x)＝2f(x)；
③f(x)·f(－x)<0； ④＝－1.
其中一定正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 ∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．
＝无意义，故④不正确．
9．若函数y＝f(x)，x∈R是奇函数，且f(1)A．f(－1)f(－2)
C．f(－1)＝f(－2) D．不确定
答案 B
10．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 ∵定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称．
11．如果定义在区间[3＋a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a的值为________．
答案 －8
解析 ∵f(x)定义域为[3＋a,5]，且为奇函数，
∴3＋a＝－5，∴a＝－8.
12．下列命题正确的是________．
①对于函数y＝f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则f(x)是奇函数；
②若f(x)是奇函数，则f(0)＝0；
③若函数f(x)的图像不关于y轴对称，则f(x)一定不是偶函数．
答案 ③
13．(2011·安徽文)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
答案 －3
14．(2011·全国新课标理)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案 0
15．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0，给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④f(a)－f(－b)其中成立的是________．
答案 ①③
解析 －f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)，
∵a>b>0，∴f(a)>f(b)，g(a)>g(b)．
∴f(b)－f (－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)
>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴①成立．
又∵g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)，∴③成立．
16．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(－x)的最小值．
解析 ∵F(x)有最大值8，则
af(x)＋bg(x)＋2≤8，即af(x)＋bg(x)≤6.
又f(x)，g(x)都是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)．
于是F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－[af(x)＋
bg(x)]＋2≥－6＋2＝－4.
即F(－x)的最小值为－4.
?重点班·选做题
17．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝，求实数p，q的值．
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，即＝.
∴－3x＋q＝－3x－q，解得q＝0，∴f(x)＝.
又∵f(2)＝，∴＝.
∴4p＋2＝10，得p＝2.
综上p＝2，q＝0.
18．若对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)，并证明：f(x)为奇函数；
(2)若f(1)＝3，求f(－3)．
解析 (1)令x＝y＝0，∴f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵f(1)＝3，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＝6.
∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝9.
由①得f(x)为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－9.
1．已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．部分为增函数，部分为减函数
D．无法确定增减性
答案 A
解析 ∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，
∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，因此f(x)在(－5，－2)上为增函数，故选A.
【高考调研】2014.2015学年高中数学 1.3.2 函数的奇偶性（第2课时）奇偶性的应用课时作业 新人教A版必修1
1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则下列各式中一定成立的是( )
A．f(－1)C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)
答案 A
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．
2．设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)则大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(－π)D．f(－π)答案 A
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝
f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)f(－π)，∴f(－2)3．若奇函数f(x)当1≤x≤4时的关系式是f(x)＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f(x)的最大值是( )
A．5 B．－5
C．－2 D．－1
答案 D
解析 当－4≤x≤－1时，1≤－x≤4，
∵1≤x≤4时，f(x)＝x2－4x＋5.
∴f(－x)＝x2＋4x＋5，又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1, 当x＝－2时，取最大值－1.
4．已知f(x)是奇函数且对任意正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有>0，则一定正确的是( )
A．f(3)>f(－5) B．f(－5)>f(－3)
C．f(－5)>f(3) D．f(－3)>f(－5)
答案 D
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.
答案 －0.5
6．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为
________.
答案 －15
7．若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)答案 (－π，π)
解析 若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)若a<0，∵f(π)＝f(－π), 则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．
由于f(－π)－π，即－π由上述两种情况知a∈(－π，π)．
8．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，
f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝________.
答案 －5
解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝22＋1＝5.
∴f(－2)＝－5.
9．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________.
答案 ，
解析 ∵f(x)＋g(x)＝， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝.
又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝. ②
①＋②，得f(x)＝，①－②，得g(x)＝
10．已知函数f(x)＝，令g(x)＝f()．
(1)如图，已知f(x)在区间[0，＋∞)的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g (x)＝1(x≠0)．
解析 (1)因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.又任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
故f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
(2)∵g(x)＝f()＝＝(x≠0)，
∴g(x)＋f(x)＝＋＝＝1，
即g(x)＋f(x)＝1(x≠0)
点评 利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称．
11．已知f(x)是偶函数，它在区间[a，b]上是减函数，(0<
a证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x10.
∵－b≤x1∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)>f(－x1)．
又∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
12．已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，－3≤x≤3.
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间；
(3)求函数的值域．
解析 (1)∵f(－x)＝(－x)2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)f(x)＝
∴f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
(3)f(x)的值域为[－2,2]．
13．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)答案 m∈[－1，)
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)f(|1－m|)∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<，又f(x)定义域为[－2,2]，
∴解之得－1≤m≤2，综上得m∈[－1，)．
14．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝
x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．
思路点拨 解决本题的关键是利用x<0时，f(x)＝x(1－x)，将x>0时，f(x)的解析式的求解，转化到x<0上．
解析 当x>0时，－x<0，
∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)．
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)．
又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
点评 若f(x)是奇函数，且f(x)在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0，这是因为：
若f(x)为奇函数，则对定义域内的任意实数x，都有f(－x)＋f(x)＝0，∴当x＝0时，有f(0)＋f(0)＝0.
∴f(0)＝0.
?重点班·选做题
15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)及f(－1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
解析 (1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，所以f(－1)＝0.
(2)令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，故对任意的x≠0都有f(－x)＝f(x)．所以f(x)是偶函数．
1．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
答案 B
2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．
答案 {x|－13．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析 (1)∵x≠0且x∈R，f(－x)＝x2＋，
当a＝0时，f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．
(2)设x1，x2∈[2，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝x－x＋－
＝(x1－x2)(x1＋x2－)，
∵f(x)在[2，＋∞)上为增函数，
∴x1＋x2>恒成立，∴a≤16.
